基本不等式柯西不等式知识点复习.doc

基本不等式及应用
一、考纲要求：
1.了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
3．了解证明不等式的基本方法——综合法．
二、基本不等式
基本不等式
不等式成立的条件
等号成立的条件
≤
a>0，b>0
a＝b

三、常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R) (2)ab≤()2(a，b∈R)
(3)≥()2(a，b∈R) (4)＋≥2(a，b同号且不为零)
上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.

四、算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

四个“平均数”的大小关系；

a，b∈R+：

当且仅当a＝b时取等号.

五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数．
(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2.
(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值S2.
强调：1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等：等号成立的条件必须存在.
2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）
想一想:错在哪里？

3、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)的最小值为________．

解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，从而z＝(x＋)(y＋)≥4，所以z的最小值是4.
解二：z＝＝(＋xy)－2≥2－2＝2(－1)，所以z的最小值是2(－1)．
【错因分析】　错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．

【正确解答】　z＝(x＋)(y＋)＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，
令t＝xy，则0<t＝xy≤()2＝，由f(t)＝t＋在(0，]上单调递减，故当t＝时， f(t)＝t＋有最小值，所以当x＝y＝时z有最小值.

误区警示：
(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y＝1＋2x＋(x<0)有最大值1－2而不是有最小值1＋2.
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．
课堂纠错补练：
若0<x≤，则f(x)＝sinx＋的最小值为________．

考点1　利用基本不等式证明不等式
1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．
2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．
例1：（1）已知均为正数，求证：

（2）已知为不全相等的正数，求证：

（3）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋≥4.

练习：已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.

考点2　利用基本不等式求最值
(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．
例4： (1)设0<x<2，求函数的最大值．
【分析】　由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件
【解】　(1)∵0<x<2，∴2－x>0，

(2) x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；

（3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求 xy的最大值.

4）已知＋a，求的取值范围．

．

(5)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．

练习：
求下列各题的最值．
(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值；

(2)x0，求f(x)＝＋3x的最大值；

(3)x<3，求f(x)＝＋x的最大值．

（4），求的最大值。

考点3　利用基本不等式求最值的解题技巧
1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值．

例3：（1）已知,，求的最小值。

（2）已知，求的最大值。

（3）已知，，求的最大值。

（3）已知，，求的最小值及相应的的值。

考点4　基本不等式的实际应用
应用基本不等式解决实际问题的步骤是：
(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；
(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；
(3)应用基本不等式求出函数的最值；
(4)还原实际问题，作出解答．

练习：
1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d＝kv2l＋l(k为正常数)，假定车身长都为4 m，当车速为60 km/h时，车距为2.66个车身长．
(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；
(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

归纳提升：
1．创设应用基本不等式的条件：
(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；
(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．
2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．
(1)a＋≥2(a>0，且a∈R)，当且仅当a＝1时“＝”成立．
(2)＋≥2(a>0，b>0，a，b∈R)，当且仅当a＝b时“＝”成立．

柯西不等式
一、二维形式的柯西不等式

二、二维形式的柯西不等式的变式

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

例题
【5】. 设x，y，z Î R，且满足x2 + y2 + z2 = 5，则x + 2y + 3z之最大值为　　　　　
解(x + 2y + 3z)2 £ (x2 + y2 + z2)(12 + 22 + 32) = 5．14 = 70∴　x + 2y + 3z最大值为

【6】 设x，y，z Î R，若x2 + y2 + z2 = 4，则x - 2y + 2z之最小值为　　　　　时，(x，y，z) = 　　　　　
解(x - 2y + 2z)2 £ (x2 + y2 + z2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4．9 = 36
∴　x - 2y + 2z最小值为 - 6，公式法求 (x，y，z) 此时
∴　，，

练习【8】、设，试求的最大值与最小值。

【9】、设，试求之最小值。

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