全等三角形判定经典.doc

11.2三角形全等的判定

（1） 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）。

例1. 如图所示，AB＝CD，AC＝DB。求证：△ABC≌△DCB。

分析：由已知可得AB＝CD，AC＝DB，又因为BC是两个三角形的公共边，所以根据SSS可得出△ABC≌△DCB。

证明：在△ABC和△DCB中，
∵，
∴△ABC≌△DCB（SSS）
评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。

（2） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA）。

例2. 如图所示，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF，求证：AB＝CD。

分析：要证明AB＝CD，由于AB、CD分别是△ABF和△DCE的边，可尝试证明△ABF≌△DCE，由已知易证：∠B＝∠C，∠AFB＝∠DEC，下面只需证明有一边对应相等即可。事实上，由BE＝CF可证得BF＝CE，由ASA即可证明两三角形全等。
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）
又∵AF∥DE，∴∠AFC＝∠DEB（同上）
∴∠AFB＝∠CED（等角的补角相等）
又∵BE＝CF，∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（ASA）
∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）

（3） 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）。

例3. 如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于D，BF⊥CD于F，AB交CD于E，求证：AD＝BF－DF。

分析：要证AD＝BF－DF，观察图形可得CF＝CD－DF，只需证明CF＝AD，CD＝BF即可，也就是要证明△CFB≌△ADC。由已知BC＝AC，∠CFB＝∠ADC＝90°，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BF⊥CD，∠ACB＝90°，易证得∠CBF＝∠ACD，问题便得到证明。

证明：∵∠ACB＝90°，BF⊥CD
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠CBF＋∠BCD＝90°
∴∠CBF＝∠ACD（同角的余角相等）
又∵AD⊥CD，∴∠CFB＝∠ADC＝90°
在△CFB和△ADC中，（已知）
∴△CFB≌△ADC（AAS）
∴CF＝AD，BF＝CD（全等三角形的对应边相等）
又∵CF＝CD－DF
∴AD＝BF－DF

评析：由条件AC＝BC和垂直关系可得，AC、BC为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用AAS证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。

（4） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）。

例4. 已知：如图所示，AB＝DE，∠B＝∠DEF，BE＝CF。求证：AC∥DF。

分析：欲证AC∥DF，可通过证明∠ACB＝∠F，由平行线的判定定理即可得证。而∠ACB与∠F分别是△ABC和△DEF的内角，所以应先证明△ABC≌△DEF。由BE＝CF易得BC＝EF，再结合已知条件AB＝DE，∠B＝∠DEF即可达到目的。
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF。
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS）。
∴∠ACB＝∠F。
∴AC∥DF。
评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。这里大括号中的条件按照“SAS”顺序排列

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。表示方法：如图所示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵AB＝DE，
BC＝EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。

注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。

例5. 如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动。
问点P运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△PQA全等？

分析：要使△ABC与△PQA全等，由于∠C＝∠PAQ＝90°，PQ＝AB，则只需AP＝CB或AP＝CA，由HL即可知道它们全等，从而容易确定P点的位置。
解：由题意可知，∠C＝∠PAQ＝90°，又AB＝PQ，
要使△ABC≌△PQA，则只需AP＝CB或AP＝CA即可，
从而当点P运动至AP＝5cm，即AC中点时，△ABC≌△QPA；
或点P与点C重合时，即AP＝CA＝10cm时，△ABC≌△PQA。
评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。

例6. 如图，△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，A、B、D三点在同一直线上，连结CD、AE，并延长AE交CD于F。
（1） 求证：△ABE≌△CBD。
（2）直线AE与CD互相垂直吗？请证明你的结论。

分析：根据已知条件易得AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠CBD＝90°正好是△ABE和△CBD全等的条件。对于AE与CD垂直关系的证明需要推证出∠CFA＝90°。
证明：（1）∵△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠CBD＝90°
∴△ABE≌△CBD（SSA）
（2）AE⊥CD，
∵在△ABE和△CEF中，∠EAB＝∠ECF，∠AEB＝∠CEF，
且∠ABE＝90°，
∴∠ECF＋∠CEF＝∠EAB＋∠AEB
∴∠ECF＋∠CEF＝180°－（∠EAB＋∠AEB）
即∠AFC＝∠ABE＝90°
∴AE⊥CD。
评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。

拓展提高
1.(07北京中考)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点分别在上，
设相交于点，若，．
请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形
是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
1. 解：
（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可.
（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）
四边形DBCE是等对边四边形.
（3）此时存在等对边四边形DBCE.
证明1：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点.
∵∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边
∴△BGC≌△CFB
∴BF=CG
∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A
∠GEC=∠ABE+∠A
∴△BDF≌△CEG
∴BD=CE
故四边形DBCE是等对边四边形。

证明2：如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF.
易证△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB=∠DBC.
∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A
∠CEF=∠ABE+∠A
∴CF=CE
∴BF=CE
故四边形DBCE是等对边四边形.

2.(09宣武一模)已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请写出结论，并说明理由；
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
A
E
F
D

B
N
C
M

（第23题图1） （第23题图2） （第23题图3）
2．解：（1）判断： EN=MF，点F在直线NE上．
证明：如答图1,连结DE、DF、EF．
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D、E、F是三边的中点，
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线．
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°．
∵△DMN是等边三角形，
∴∠MDN＝60°，DM=DN．
∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN+∠NDF，
∴∠MDF=∠NDE．
在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE， DM=DN， （第23题答图1）
∴△DMF≌△DNE． ∴MF=NE．
设EN与BC交点为P，连结NF．
由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形，
∴∠MDN=∠BDF＝60°,
∴∠MDN－∠BDN =∠BDF－∠BDN，即∠MDB=∠NDF.
在△DMB和△DNF中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，
∴△DMB≌△DNF． ∴∠DBM=∠DFN．
∵∠ABC =60°，
∴∠DBM =120°，
∴∠NFD =120°. （第23题答图2）
∴∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°.
∴N、F、E三点共线，∴F与P重合，F在直线NE上．…………………………………………4分
（2）成立。
证明：如答图2，连结DE、DF、EF．
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为△ABC的中位线．
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°，
∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．
在△DMF和△DNE中，DF=DE，
∠MDF=∠NDE， DM=DN，
∴△DMF≌△DNE． ∴MF=NE．……………… 6分
（3） MF=NE仍成立． ……………………………………7分 （第23题答图

3.(09崇文一模)在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且, ,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．

图1 图2 图3
（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是___________； 此时__________；
（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，
若AN=，则Q=________（用、L表示）．
3.解：（I）如图1， BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN ．
此时 ．
（II）猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
,且．．
又是等边三角形，
．
在与中：

(SAS) ．
DM=DE,

在与中：

(SAS)
MN=NE=NC+BM
的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+(NC+BM)
　　　　　　=(AM+BM)+(AN+NC)
　　　　　　=AB+AC
　　　　　　 =2AB
而等边的周长L=3AB
.
（III）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=，
则Q= 2+ （用、L表示）．

课堂试题（答题时间：60分钟）
一. 选择题
1. 下列条件不能判定两个三角形全等的是 （ ）
A. 有两边和夹角对应相等 B. 有三边分别对应相等
C. 有两边和一角对应相等 D. 有两角和一边对应相等
2. 下列条件能判定两个三角形全等的是 （ ）
A. 有三个角相等 B. 有一条边和一个角相等
C. 有一条边和一个角相等 D. 有一条边和两个角相等
3. 如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形（ ）

A. 1对 B. 2对
C. 4对 D. 8对

4. 如图所示，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（ ）

A. ∠E＝∠B B. ED＝BC
C. AB＝EF D. AF＝CD

5. 如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，则 （ ）

A. △ABC≌△AFE B. △AFE≌△ADC
C. △AFE≌△DFC D. △ABC≌△ADE

6. 我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有（ ）
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
7. 如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么图中的全等三角形有 （ ）

A. 1对 B. 2对
C. 3对 D. 4对
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，且BC＝6cm，则BD的值（ ）

A. 1cm B. 2cm
C. 3cm D. 4cm

9. 如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是 （ ）

A. BD＝CD B. DE＝DF
C. ∠B＝∠C D. AB＝AC

二. 填空题
10. 如图所示，AC∥BD，AC＝BD，那么__________，理由是__________.

11. 已知△ABC≌△A'B'C'，AB＝6cm，BC＝7cm，AC＝9cm，∠A'＝70°，∠B'＝80°，则A'B'＝__________，B'C'＝__________，A'C'＝__________
∠C'＝__________，∠C＝__________.

12. 如图所示，已知AB＝AC，在△ABD与△ACD中，要使△ABD≌△ACD，还需要再添加一个条件是____________________.

13. 如图所示，已知△ABC≌△DEF，AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝5cm，CF＝2cm，∠A＝70°，∠B＝65°，则∠D＝__________，∠F＝__________，
DE＝__________，BE＝__________.

14. 如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是__________（只要求写一个条件）.

15. 如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是__________.

三. 解答题
16. 已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝AD.

17. 如图，A、E、B、D在同一直线上，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AC∥DF. （1）求证：△ABC≌△DEF；（2）你还可以得到的结论是__________（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）

18. 你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直. 当一方着地时，另一方上升到最高点. 问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA'、BB'有何数量关系？为什么？

19. MN、PQ是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C等距离的B、E两处，这时他们分别从B、E两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A、D两点，他们的行走路线AB、DE平行吗？请说明你的理由.

20. 有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A、B的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由.
方案一：小明想出了这样一个方法，如图①所示，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，测得DE的长就是AB的长. 你能说明一下这是为什么吗？
方案二：小军想出了这样一个方法，如图②所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A、B的点C，连结AC并延长到点D，使CD＝CA，连结BC并延长到E，使CE＝CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离. 你能说明一下这是为什么吗？

课堂试题答案
1. C 2. D 3. C 4. D 5. D 6. A 7. C 8. C 9. B
10. △AOC≌△BOD；AAS或ASA
11. 6cm 7cm 9cm 30° 30°
12. BD＝CD或∠BAD＝∠CAD
13. 70° 45° 4cm 2cm
14. ∠B＝∠C、∠AEB＝∠ADC、∠CEO＝∠BDO、AB＝AC、BD＝CE（任选一个即可）
15. AO＝DO或AB＝DC或BO＝CO
16. 证△ACB≌△ADB
17. （1）证明：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）
（2）答案不唯一，如：AE＝DB，∠C＝∠F，BC∥EF等.
18. 答：AA'＝BB'，证△AA'O≌△BB'O
19. 平行. 理由如下：
由已知条件得，AB＝DE，BC＝CE，
在Rt△ABC和Rt△DCE中，AB=DE
BC=CE
∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL），∴∠ABC＝∠DEC，∴AB∥DE.
20. 小明的做法有道理，
其理由如下：因为AB⊥BF，DE⊥BF，
所以∠ABC＝∠EDC，又因为A、C、E三点在同一条直线上，
所以∠ACB＝∠ECD，且BC＝DC，
所以△ABC≌△EDC（ASA），
所以AB＝DE（全等三角形的对应边相等）.
小军的做法有道理，
其理由如下：因为在△ABC和△DCE中，
CD＝CA，∠ACB＝∠DCE（对顶角相等），CE＝BC，
所以△ABC≌△DEC（SAS），
所以AB＝DE（全等三角形的对应边相等）.

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