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?概率与数理统计?
一、单项选择题〔3*10=30〕
1、设A⊂B， ∀P〔A〕>0，下面四个结论中，错误的选项是 D 。
A〕、P(B|A)=1 B〕、P(AB)=P(A) C〕、P(A+B)=P(B) D〕、P(A-B)=P(A)-P(B)
2、加工一个产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出现废品的概率分别是0.9、0.95、0.8. 假设假设各工序是否出现废品相互独立，求经过三道工序而不出现废品的概率为 A 。
3、设X与Y为两个相互独立的随机变量，那么下面结论错误的选项是 C 。
A)、Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) B)、E(X+Y)=E(X)+E(Y)
C)、Var(XY)=Var(X) Var(Y) D、E(XY)=E(X)E(Y)
4、设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24，假设Y ~ N〔0，1〕，那么Y= A 。
A〕(x+3)2 B〕(x+3)2 C〕(x-3)2 D〕(x-3)2
5、设X1 ，X2，…，X4，是取自总体X ~ N〔1，4〕的样本，那么X= 14i=44Xi服从的分布是 C 。
A〕N〔0，1〕 B〕〔1，4〕 C〕〔1，1〕 D〕〔0，4〕
6、设随机变量X ~ N〔10，0.6〕，Y ~ N〔1，2〕，且X与Y相互独立，那么Var(3X+Y)= B 。
7、离散型随机变量X的分布率为：
X
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
其分布函数为F(x)，那么F(3)= D 。
A〕0 B〕0.3 C〕0.8 D〕1
8、设X ~ N〔μ，σ2〕，其中μ，σ2未知，X1 ，X2，X3为样本，那么以下选项中不是统计量的是 A 。
A〕i=13Xi2σ2 B〕max{ X1，X2，X3} C〕X1+X2+X3 D〕X1-μ
9、对参数的一种区间估计及一组样本观察值(x1, x2,…, xn)来说，以下结论中正确的选项是 A 。
A〕置信度越大，置信区间越长。 B〕置信度越大，对参数取值范围估计越准确。
C〕置信度越大，置信区间越短。 D〕置信度大小与置信区间的长度无关。
注：置信度越大，置信区间包含真值的概率就越大，置信区间的长度就越大，对未知参数的估计精度越低.反之，对参数的估计精度越高，置信区间的长度越小，它包含真值的概率变越低，置信度就越小。
10、设X ~ N〔μ1，σ12〕，Y ~ N〔μ2，σ22〕，那么X与Y的联合分布为 C 。
A〕 二维正态分布，且ρ=0 B〕二维正态分布，且ρ不定
C〕 未必是二维正态分布 D〕以上都不对
注：如果X与Y都服从正态分布，那么二维随机变量(X,Y)不一定服从二维正态分布；但如果X与Y都服从正态分布，且相互独立，那么二维随机变量(X,Y)一定服从二维正态分布。
二、填空题〔3*5=15〕
1、设P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(A∪B)=0.7，那么P(A|B)= 2/3 。
2、随机变量X的分布律为：P{X=k} = a2k，k=1,2,3,那么a= 8/7 。
3、设随机变量X服从参数为2的柏松分布，随机变量Y=2X-2，那么E(Y)= 2 。
4、设总体X服从区间[0,θ]上的均匀分布，那么未知参数θ的矩估计量为 2X 。
5、设随机变量X的方差为2，那么由切比雪夫不等式可得，P{|X—EX|>=2}<= 1 。
三、计算题〔共55分〕
1、〔14分〕设随机变量X与Y相互独立，其联合分布律为
Y X
1
2
3
1
118
19
16
2
19
ａ
ｂ
求：〔1〕a，b的值；〔2〕X与Y的边缘分布律；〔3〕P{Y=1|X=2}；〔4〕E(X+Y)；
解：〔1〕因为X与Y相互独立，故
PX=i ,Y=j=PX=i PY=j
从而 P{X=2 ,Y=1=P{X=2}P{Y=1}
=19+a118+19+16=1319+a=19
又 P{X=3 ,Y=1=P{X=3}P{Y=1}
=16+b118+19+16=1316+b=16
∴a=29 b=13
〔2〕关于X的边缘分布为
X
1
2
3
p.j
16
13
12
关于Y的边缘分布为：
Y
1
2
pi.
13
23
〔3〕
PY=1X=2=PY=1PX=2=13*13=19
〔4〕因为
EX=1*16+2*13+3*12=73
EY=1*13+2*23=53
所以
EX+Y=EX+EY=73+53=4
2、〔10分〕设 总体X的概率密度函数为
fx=θ+1xθ 0<x<10 其它 ，(θ>-1，未知)
其中x1、x2，…，xn是来自总体X的一组样本观测值，求未知参数θ的极大似然估计值。
解：1) 极大似然估计法：根据题意，构造似然函数如下：
Lx1、x2，…，xn;θ=(θ+1)ni-1nxiθ0 ， 其它 ，0<xi<1;
取对数： 当 0<xi<1, (i=1,2, …,n) 时
建立似然方程
求解得极大似然估计值为
极大似然估计 量为
2) 矩估计法
3、〔10分〕设 某种电子管的寿命X〔以天计〕近似服从N〔1195，152〕，随机抽取3只，求：
〔1〕其中没有一只寿命超过1210天的概率。
〔2〕其中没有一只寿命小于1210天的概率。〔ϕ(1)〕
解：〔1〕根据X~ N〔1195，152〕，且X≤1210表示电子管的寿命不超过1210天，那么
PX≤1210=φ1210-119515=φ1=0.8413
〔2〕由〔1〕可知PX≤1210=0.8413，且X≥1210表示电子管的寿命不小于1210天，那么
PX≥1210=1-PX≤1210=1-0.8413=0.1587
4、〔13分〕设随机变量X的概率密度为
f(x)=k1-x 0≤x≤10 其它
求：〔1〕常数k；〔2〕P{0.5<X<1.5} 〔3〕E(X) 〔4〕Var(x);
解：〔1〕因为-∞+∞fxdx=1，即
-∞+∞fxdx=01k1-xdx=kx-12kx2|10=12k=1
所以 k=2
〔2〕P0.5<X<1.5=-∞1fxdx+11.5f(x)dx--∞0.5fxdx
=011-xdx-00.51-xdx
=x-12x10-x-12x0.50=14
〔3〕EX=-∞+∞xfxdx=-∞+∞x1-xdx=01x1-xdx
=12x2-13x3|10=12-13=16
〔4〕∵ EX2=-∞+∞x2fxdx=-∞+∞x21-xdx=01x21-xdx
=13x3-14x4|10=13-14=112
又∵EX=16
∴Varx=EX2-EX2=112-162=118
5、〔8分〕设X与Y的联合密度函数为
f x, y=6e-2x-3y x>0,y>00 其它
求：〔1〕边缘密度函数fX(x)，fY(y)；〔2〕X与Y是否独立？并说明理由。
解：〔1〕fXx=-∞+∞f x, ydy=0+∞6e-2x-3ydy ，x>0，0， 其它
因为 0+∞6e-2x-3ydy=6e-2x0+∞e-3ydy
=-2e-2x0+∞e-3yd-3y=-2e-2x0-1=2e-2x
所以 fXx=-∞+∞f x, ydy=2e-2x ， x>0，0， 其它
fYy=-∞+∞f x, ydx=0+∞6e-2x-3ydx ，y>0，0， 其它
因为 0+∞6e-2x-3ydx=6e-3y0+∞e-2xdx
=-3e-3y0+∞e-2xd-2x=-3e-3y0-1=3e-3y
所以 fYy=-∞+∞f x, ydx=3e-3y ， y>0，0， 其它
〔2〕因为 f x, y=fXx*fYy 所以X与Y相互独立。
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