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平面向量知识点总结及习题

平面向量知识点汇总
基本知识回顾：
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示-----(几何表示法)；
②用字母、等表示(字母表示法)；
③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：
分别取及轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，。；若，，则，
3.零向量、单位向量：
①长度为0的向量叫零向量，记为；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）
4.平行向量：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定及任一向量平行.向量、、平行，记作∥∥.共线向量及平行向量关系：平行向量就是共线向量.
性质：是唯一）
（其中 ）

5.相等向量和垂直向量：
①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
②垂直向量——两向量的夹角为
性质：
（其中 ）
6.向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
平行四边形法则：
（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）

三角形法则

——加法法则的推广： ……
即个向量……首尾相连成一个封闭图形，则有……
②向量的减法向量加上的相反向量，叫做及的差。即： -= + (-)；
差向量的意义： = , =, 则=-

③平面向量的坐标运算：若，，则，，。
④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
⑤常用结论：
（1）若，则D是AB的中点
（2）或G是△ABC的重心，则
7．向量的模：
1、定义：向量的大小，记为 || 或 ||
2、模的求法：
若 ，则 ||
若， 则 ||
3、性质：
（1）； （实数及向量的转化关系）
（2），反之不然
（3）三角不等式：
（4） （当且仅当共线时取“=”）
即当同向时 ，； 即当同反向时 ，
（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，
即
8．实数及向量的积：实数λ及向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；
（2）λ>0时λ及方向相同；λ<0时λ及方向相反；λ=0时λ=；
（3）运算定律 λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ

交换律：;
分配律：
()·=(·)=·();
——①不满足结合律：即
②向量没有除法运算。如：，都是错误的
（4）已知两个非零向量，它们的夹角为，则
=
坐标运算：，则
（5）向量在轴上的投影为：
︱︱， （为的夹角，为的方向向量）
其投影的长为 （为的单位向量）
（6）的夹角和的关系：
（1）当时，同向；当时，反向
（2）为锐角时，则有； 为钝角时，则有
9．向量共线定理：
向量及非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。
10．平面向量基本定理：
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。
(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。
向量坐标及点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)
11. 向量和的数量积：
①·=| |·||cos，其中∈[0，π]为和的夹角。
②||cos称为在的方向上的投影。
③·的几何意义是：的长度||在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。
④若 =（，）, =（x2，）, 则
⑤运算律：a· b=b·a, (λa)· b=a·(λb)=λ（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。
⑥和的夹角公式：cos=＝
⑦||2=x2+y2，或||=⑧| a·b |≤| a |·| b |。

12.两个向量平行的充要条件：
符号语言：若∥，≠，则=λ
坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0
在这里，实数λ是唯一存在的，当及同向时，λ>0；当及异向时，λ<0。
|λ|=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号及大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
13.两个向量垂直的充要条件：
符号语言：⊥·=0
坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0

《平面向量》测试题
一、选择题
1.若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则（ ）
A.x=-1 B.x=3 C.x= D.x=51
2.及向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）
A.（-5k,4k） B.(-,-) C.(-10,2) D.(5k,4k)
3.若点P分所成的比为，则A分所成的比是（ ）
A. B. C.- D.-
4.已知向量a、b，a·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a及b的夹角为（ ）
A.60° B.-60° C.120° D.-120°
5.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5，则向量a·b=（ ）
A.10 B.-10 C.10 D.10
6．(浙江)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)
A. B. C. D.
7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x）·b及b垂直，则x的值为（ ）
A. B. C.2 D.-
8.设点P分有向线段的比是λ，且点P在有向线段的延长线上，则λ的取值范围是（ ）
A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-)
9.设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为（ ）
A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10
11.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，则a等于（ ）
A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)
12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是（ ）
A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a)
二、填空题
13.设向量a=(2,-1)，向量b及a共线且b及a同向，b的模为2，则b= 。
14.已知：|a|=2,|b|=,a及b的夹角为45°，要使λb-a垂直，则λ= 。
15.已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b= 。
16.在菱形ABCD中，（+）·（-）= 。
三、解答题
17.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a,=b,试用a、b分别表示、、。

18．设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，
(1)求证a及b不共线，并求a及b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；
(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.

19.设e1及e2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角θ。

20.以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，求点B的坐标和。

21. 已知 ,的夹角为60o, , ,当当实数为何值时，⑴∥ ⑵

22. 已知△ABC顶点A（0，0），B（4，8），C（6，-4），点M内分所成的比为3，N是AC边上的一点，且△AMN的面积等于△ABC面积的一半，求N点的坐标。

参考答案
1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C
13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0
17.[解] 连结AC
==a,…… =+= b+a,……
=-= b+a-a= b-a,……
=+=++= b-a,……
=-=a-b。……
18．【解析】　(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a及b不共线．
又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝，|b|＝5，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7∴c在a方向上的投影为＝＝－.
(3)∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3) ＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，
∴，解得.
19.[解] ∵a=2e1+e2,∴|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,∴|a|=。
同理得|b|=。又a·b==（2e1+e2）·(-3e1+2e2,)=-6e12+ e1·e2+2e22=-，
∴ cosθ===-,∴θ=120°.
20.[解] 如图8，设B(x,y),

则=(x,y), =(x-4,y-2)。
∵∠B=90°，∴⊥，∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2=4x+2y。①
设OA的中点为C，则C(2,1), =（2，1），=(x-2,y-1)
∵△ABO为等腰直角三角形，∴⊥，∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5。②
解得①、②得或
∴B(1,3)或B(3,-1)，从而=(-3,1)或=（-1,-3）
21. ⑴若∥ 得 ⑵若得
22.[解] 如图10，

==。
∵M分的比为3，∴=，则由题设条件得
=，∴ =，∴=2。
由定比分点公式得
∴N(4,-)。

平面向量及三角形“四心”的应用问题
三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中所加的内容，更加引起我们的重视，尤其及平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。本文拟对及三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考．

1 课本原题

例１、已知向量满足条件，，求证：是正三角形．
分析　对于本题中的条件，容易想到，点是的外心，而另一个条件表明，点是的重心．
故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心及外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？及本题实质是相同的．
显然，本题中的条件可改为．

2 高考原题

例２、O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）．
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析　已知等式即，设，显然都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故为的平分线，选．
例３、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = 　．
分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有，将已知代入，有，即，由是外心，得，由于是任意三角形，则不恒为０，故只有恒成立．
或者，过点作及，则是的中点，有；是垂心，则，故及共线，设，则，又，故可得，有，得．
根据已知式子中的部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为，是平面内任一点，均有，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，均及三角形的边垂直，则；其二，点是三角形的中线的三等分点．此时，会先猜想，但现在缺少一个关键的条件，即，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明．
本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心，则O、G、H三点共线，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是．
例４、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（　 ）．
A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
分析　移项后不难得出，，点O是的垂心，选．

3 推广应用题
例５　在内求一点，使最小．
分析　如图２，构造向量解决．取为基向量，设，有．
于是，．
当时，最小，此时，即，则点为的重心．
例６　已知为所在平面内一点，满足，则为的　　　心．
分析　将，也类似展开代入，已知等式及例４的条件一样．也可移项后，分解因式合并化简，为垂心．
例７　已知为的外心，求证：．
分析　构造坐标系证明．如图３，以为坐标原点，在轴的正半轴，在轴的上方．，直线的方程是，由于点及点必在直线的同侧，且，因此有，得
．
直线的方程是，由于点及点必在直线的同侧，且，因此有，得．
于是，容易验证，，又，
，，又，则所证成立．

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