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等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点
一、等差等比数列基础知识点
（一）知识归纳：
1．概念及公式：
①等差数列：1°.定义：若数列称等差数列；
2°.通项公式：
3°.前n项和公式：公式：
②等比数列：1°.定义若数列（常数），则称等比数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：当q=1时
2．简单性质：
①首尾项性质：设数列
1°.若是等差数列，则
2°.若是等比数列，则
②中项及性质：
1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且
2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且
③设p、q、r、s为正整数，且
1°. 若是等差数列，则
2°. 若是等比数列，则
④顺次n项和性质：

1°.若是公差为d的等差数列，组成公差为n2d的等差数列；
2°. 若是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）
⑤若是等比数列，
则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.
⑥若是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数，则而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；
2°.若n为偶数，则
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解及运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“”④四数成等比数列，可设四数为“”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.
[例1]解答下述问题：
（Ⅰ）已知成等差数列，求证：
（1）成等差数列；
（2）成等比数列.
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，
①
②

[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.①

②

（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为
，求项数n.
[解析]设公比为

（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
求数列
[解析]
①，②
①②

[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.
[例3]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，
设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有

（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
[解析]设此四数为,

解得所求四数为47，57，67，77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.

二、等差等比数列练习题
一、 选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）
（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在
2.、在等差数列中，,且,,成等比数列，则的通项公式为 （ ）
（A） （B） （C）或 （D）或
3、已知成等比数列，且分别为及、及的等差中项，则的值为 （ ）
（A） （B） （C） （D） 不确定
4、互不相等的三个正数成等差数列，是a,b的等比中项，是b,c的等比中项，那么，，三个数（ ）
（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列
（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列
5、已知数列的前项和为,,则此数列的通项公式为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
6、已知，则 （ ）
（A）成等差数列 （B）成等比数列 （C）成等差数列 （D）成等比数列
7、数列的前项和，则关于数列的下列说法中，正确的个数有 （ ）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
8、数列1,前n项和为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
9、若两个等差数列、的前项和分别为 、，且满足，则的值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
10、已知数列的前项和为,则数列的前10项和为 （ ）
（A）56 （B）58 （C）62 （D）60
11、已知数列的通项公式为, 从中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
12、下列命题中是真命题的是 ( )
A．数列是等差数列的充要条件是()
B．已知一个数列的前项和为,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
C．数列是等比数列的充要条件
D．如果一个数列的前项和,则此数列是等比数列的充要条件是
二、填空题
13、各项都是正数的等比数列，公比,成等差数列，则公比=
14、已知等差数列，公差,成等比数列，则=
15、已知数列满足,则=
16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为
二、 解答题
17、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列， ，求公比及。

18、已知等差数列的公差及等比数列的公比相等，且都等于 , ，,,求。

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。

20、已知为等比数列，，求的通项式。

21、数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求

22、已知数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列满足，证明：是等差数列；
数列综合题
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
A
A
A
C
A
D
D
D
D
二、 填空题
13. 14. 15. 16. 6
三、解答题
17.a=a1,a=a10=a1+9d,a=a46=a1+45d
由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.
∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1
∴bn=3·4n-1-2
18.∴ a3=3b3 , a1+2d=3a1d2 , a1(1-3d2)=-2d ①
a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d ②
,得=2，∴ d2=1或d2=,由题意，d=,a1=-。∴an=a1+(n-1)d=(n-6) bn=a1dn-1=-·()n-1
19.设这四个数为
则 由①，得a3=216,a=6 ③
③代入②，得3aq=36,q=2 ∴这四个数为3，6，12，18
20.解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q
所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,
当q1=, a1=18.所以 an=18×()n－1= = 2×33－n.
当q=3时, a1= , 所以an=×3n－1=2×3n－3.
21.解：(I)由可得，两式相减得

又 ∴
故是首项为，公比为得等比数列
∴
（Ⅱ）设的公差为
由得，可得，可得
故可设
又
由题意可得
解得
∵等差数列的各项为正，∴
∴
∴
22（I）：

是以为首项，2为公比的等比数列。

即　
（II）证法一：

　　　　　　　　　　　　　①
　　　　　　②
②－①，得
即 ③
④
　 ④－③，得　
即　

是等差数列。
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