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数列知识点回顾
第一部分：数列的基本概念
1．理解数列定义的四个要点
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现．
⑶项a与项数n是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．
2．数列的通项公式
一个数列{ a}的第n项a与项数n之间的函数关系，如果用一个公式a=来表示，就把这个公式叫做数列{ a}的通项公式。若给出数列{ a}的通项公式，则这个数列是已知的。若数列{ a}的前n项和记为S，则S与a的关系是：a=。
第二部分：等差数列
1．等差数列定义的几个特点：
⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = a－a(n≥2)或d = a－a (nN)．
⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意nN，a－a= d (n≥2)或d = a－a都成立．一般采用的形式为：
① 当n≥2时，有a－a= d (d为常数)．
②当n时，有a－a= d (d为常数)．
③当n≥2时，有a－a= a－a成立．
若判断数列{ a}不是等差数列，只需有a－a≠a－a即可．
2．等差中项
若a、A、b成等差数列，即A=，则A是a与b的等差中项；若A=，则a、A、b成等差数列，故A=是a、A、b成等差数列，的充要条件。由于a=，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。
3．等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．
⑶若{ a}、{ b}为等差数列，则{ a±b}与{ka＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n，在等差数列{ a}中有：a= a+ (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a}为等差数列时，有：a+ a+ a+ … = a+ a+ a+ … ．
⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．
⑺如果{ a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{ a}中，a－a= a－a= md ．(其中m、k、)
⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（≠－1），则a=．
4．等差数列前n项和公式S=与S= na＋的比较
前n项和公式
公式适用范围
相同点
S=
用于已知等差数列的首项和末项
都是等差数列的前n项和公式
S= na＋
用于已知等差数列的首项和公差
5．等差数列前n项和公式S的基本性质
⑴数列{ a}为等差数列的充要条件是：数列{ a}的前n项和S可以写成S= an+ bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列{ a}中，当项数为2n (nN)时，S－S= nd，=；当项数为(2n－1) (n)时，S－S= a，=．
⑶若数列{ a}为等差数列，则S，S－S，S－S，…仍然成等差数列，公差为．
⑷若两个等差数列{ a}、{ b}的前n项和分别是S、T(n为奇数)，则=．
⑸在等差数列{ a}中，S= a，S= b (n＞m)，则S=(a－b)．
⑹等差数列{a}中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y =x + (a－)上．
⑺记等差数列{a}的前n项和为S．①若a＞0，公差d＜0，则当a≥0且a≤0时，S最大；②若a＜0 ，公差d＞0，则当a≤0且a≥0时，S最小．
第三部分：等比数列
1．正确理解等比数列的含义
⑴q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q = (n)或q = (n≥2)．
⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q也不为0．
⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n，= q；或= q (n≥2)都成立．
2．等比中项与等差中项的主要区别
如果G是a与b的等比中项，那么=，即G= ab，G =±．所以，只要两个同号的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A是a与b的等差中项，那么等差中项A唯一地表示为A=，其中，a与b没有同号的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．
3．等比数列的基本性质
⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q( m为等距离的项数之差)．
⑵对任何m、n，在等比数列{ a}中有：a= a· q，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a}为等比数列时，有：a．a．a．… = a．a．a．… ．．
⑷若{ a}是公比为q的等比数列，则{| a|}、{a}、{ka}、{}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q}、{q}、{}．
⑸如果{ a}是等比数列，公比为q，那么，a，a，a，…，a，…是以q为公比的等比数列．
⑹如果{ a}是等比数列，那么对任意在n，都有a·a= a·q＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．
⑻当q＞1且a＞0或0＜q＜1且a＜0时，等比数列为递增数列；当a＞0且0＜q＜1或a＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．
4．等比数列前n项和公式S的基本性质
⑴如果数列{a}是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S=
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a，q，n时，用公式S=；当已知a，q，a时，用公式S=．
⑶若S是以q为公比的等比数列，则有S= S＋qS．⑵
⑷若数列{ a}为等比数列，则S，S－S，S－S，…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列．
二、难点突破
1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．
2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．
3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a}与a是不同的，前者表示数列a，a，…，a，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a，a，…，a，…，与集合{ a，a，…，a，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．
4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：
⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq， aq， a，aq，aq，…；
⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq， aq， aq，aq，…．
5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a≠0，因为当a= 0时，虽有a= a· a成立，但{a}不是等比数列，即“b= a · c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a}，“2b = a + c”是a、b、 c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．
6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．
另外，对于等差数列的求法，在进行详细总结，注意最后一种不动点法不要求掌握，其实是因为老师从来没讲过。
数列通项公式的求法
一、公式法
①；
②等差、等比数列公式.
例 已知数列满足，，求数列的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
二、累加法
例 已知数列满足，求数列的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例 已知数列满足，求数列的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
三、累乘法
例 已知数列满足，求数列的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
四、取倒数法
例 已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。
解 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.
五、待定系数法(这个我们老师特殊讲过啦，可以根据例题巩固一下)
例 已知数列满足，求数列的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
例 已知数列满足，求数列的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
六、对数变换法
例 已知数列满足，，求数列的通项公式。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
七、迭代法
例 已知数列满足，求数列的通项公式。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。
八、数学归纳法（这个东西最好是不要用，除非是你实在不会做的情况下就最好用一下，因为这样可以使得不会做的题目也可以拿分，在一般的选择填空题里面也最好用一下，可以节约大量时间的。在很多给定的条件求不出的情况下，其实那是要我们就是用这个方法的，相当于周期函数啦，还有就是常数函数。）
例 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由与，得。。。。。。
由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，
。。。。。。
由此可知，当时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。
九、换元法
例 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
故，代入得。。。。。。即
因为，故则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
十、构造等差、等比数列法
① ；②；③；④.
例 已知数列中，，求数列的通项公式.
【解析】
【反思归纳】递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法：
①令；
② 在中令，；
③由得，.
例 已知数列中，，求数列的通项公式.
【解析】，，令

【反思归纳】递推关系形如“”通过适当变形可转化为：
“”或“求解.
十一、不动点法（对于这种方法，个人觉得十分有用，其实是我们老师没讲，然后立达的老师讲了啦，一般只有复杂的数列题中会遇到。不过觉得被你看到复杂的数列题就会跳过的。）
例 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的不动点。
因为，所以
。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式
再总结一下求和的技巧：这个稍稍复杂很多。
四、数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
前个正整数的和
前个正整数的平方和
前个正整数的立方和
公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数的值；
（2）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。
例 已知，求的前n项和.
例 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
∴ ＝ ＝＝
∴ 当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和（一定要小心计算）
这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。
例：（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，
（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和
分析：（I）由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()
（II）由（I）知,=
而,又是一个典型的错位相减法模型，
易得 =
三、 倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
例 求证：
证明： 设

∴
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n项和：，…
解：设

当a＝1时，＝
当时，＝
例：（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）已知是各项均为正数的等比数列，且，
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） （2）（注意这个，能记得话尽量记下来，我们老师以前讲的时候就出过几个这样的题目，相信要是考试中有的话肯定死一片）
（3） （列项相消法） （4）（我想说的是，这个也有过）
（5）（这个可以算是新知识咯）
(6)
例 求数列的前n项和.

则 ＝
例 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解： 　 ∵
　 ∴
＝
（这些例题在我没看这个之前我想我肯定一个都不会）
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
例 数列{an}：，求S2002.(很显然就是糅合周期函数来解题)
解：设S2002＝

∵
S2002＝ ＝＝5
例 在各项均为正数的等比数列中，若的值.
解：设
由等比数列的性质 ＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构与特征进行分析，找出数列的通项与其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
例 求之和.
解：由于
∴ ＝
＝ ＝
除此之外，我再增加几种题型：
前n项的最值问题
等差数列前n项和最值问题的快速解法
1. 1．二次函数法：即用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值（但要注意的是：），借助于与二次函数之间的关系，确定出对称轴的取值范围，然后确定n值，使最大（小）。确定n值的方法是找出离对称轴最近的正整数。
等差数列前n项和公式是，记住抛物线对称轴方程.最值一定在离对称轴最近的整数中取到.图像是过原点的抛物线上的一些离散点，由于二次函数图像的对称性，一旦给出关系式，则马上知道抛物线的对称轴方程为，即两足标和的一半！关于的最值问题可以转化成二次函数求解。其实，它还有一个零点式方程，
★设抛物线顶点的横坐标为，则抛物线的两个零点为0和，则可设 ■ （图像中x轴对应n轴，y轴对应轴，等差最值问题要立刻想到这2个图像！）
例1 等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
速解：抛物线对称轴方程为，则可设，
由
时，

例2 在等差数列中,已知,前项和为,且,求当取何值时, 有最大值,并求它的最大值。
解：抛物线对称轴方程为，则可设
由，则
所以 n=12或13时，

例3 等差数列中，，，该数列前多少项的和最小？
解 ∵，∴的图像所在的抛物线的对称轴为，又 ,，∴的前10项或前11项的和最小。

变式：等差数列中，，，该数列前多少项的和最大？
解：抛物线的对称轴为，又，所以n=6 or 7

例4 设等差数列的前n项和为，已知
（1） 求公差d的取值范围
（2） 指出中哪一个值最大,并说明理由.
解：（1）

的取值范围是
另外，还可以利用数列的通项公式来解决数列前n项和的最值问题，即：
2．通项法：当，时，n为使成立的最大的自然数时，最大，这是因为：当时，，即递增；当时，，即递减。类似地，当，时，则n为使成立的最大自然数时，最小。
下面举一例加以说明。
例：等差数列中，，，该数列前多少项的和最小？
分析一：利用通项法求的最值，关键是要正确解不等式组，求出n的取值范围，然后利用确定n的值。
解法一：（通项法）
设该数列前n项和最小，则必须有， （1）
∵，∴，∴，
∴（1）式可转化为，解得，
∴取10或11时，取得最小值。
分析二：利用二次函数的最值研究等差数列前n项和的最值关键是算准对称轴，若，则在处取得最值，若，则在离最近的正整数处取得最值。
解法二：（二次函数法）
设等差数列的公差为，
则由题意得，
即，∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴有最小值，
又∵，∴或时，取最小值。
分析三：利用图像法求最值的关键也是要确定的对称轴，但不一定非要转化为的形式，直接利用已知条件也可以。
解法三：（图像法）
∵，∴的图像所在的抛物线的对称轴为，
又，∴的前10项或前11项的和最小。
说明：此处虽说是用图像法，但不一定要画出图像，而是利用图像的性质去解题。
以上是关于等差数列前n项和的最值的方法总结。（其实一般来讲没这么复杂的）

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