微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版).doc

专题30 圆锥曲线中的最值问题
【考情分析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展
【备考策略】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】
1．已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
2． P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为7
3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是
4．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 .
5．已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.
解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
所求方程为： （x>0）
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，
此时A（x0，），B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，
代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
解得|k|>1，
又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）
＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2
综上可知的最小值为2

【典型示例】
求抛物线上的点到直线距离的最小值?
分析一：设抛物线上任一点坐标为P(,-)，
由点到直线的距离公式得P到直线的距离d()==，
当=时，d()取得最大值,
分析二：设抛物线上点P(,-)到直线4x+3y-8=0距离最小，
则过P且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，
故y( )=-2 =-,∴=,∴P(,-),
此时d==，.
分析三：设直线方程为4x+3y+C=0
则当l与抛物线相切时l与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，
由得4x-3x+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-,此时
d=
【分类解析】
例1:已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；（2）求的最小值和最大值
分析：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q，
则由椭圆的第二定义，
∴，
显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。
（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，
则∴，
根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。
当P到P"位置时，，有最大值，最大值为；当P到位置时，，有最小值，最小值为.
（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）
变式:
点A（3，2）为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF|
取得最小值，求点P的坐标。
解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，
设P到准线的距离为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d。
要使|PA|+|PF|取得最小值，由图3可知过A点
的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2
代入y2=4x，得P（1，2）。

例2: 已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为L，若在L上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，求椭圆的离心率e的取值范围?
解：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM的垂直平分线经过点F，则利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的距离），则有 2≥≥，
∴椭圆的离心率e的取值范围椭圆的离心率e的取值范围为
变式1: 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,求此双曲线的离心率e的最大值?
解：双曲线的离心率e的最大值为
变式2: 已知椭圆方程为 ，（）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在为椭圆上的任意一点，且|PF1|=4|PF2|,求此椭圆的离心率e的最小值?
解：椭圆的离心率e的最小值为
例3: 已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ①
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ②
将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2
因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，
此时
【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。
变式1: 设P是椭圆+= 1 ( a > 1 ) 短轴的一个端点, Q为椭圆上的一个动点,
求| PQ | 的最大值.
解法1: 依题意可设 P (0, 1 ), Q (x , y ), 则| PQ | = .
又因为Q在椭圆上, 所以 = (1) .
= (1) + －2y + 1
= (1)－2y + 1 +
= (1) + 1 + .
因为 | y | ≤ 1, a > 1,
若a ≥, 则≤1, 当y = 时, | PQ | 取最大值;
若1< a <, 则当y = －1时, | PQ | 取最大值2 .
解法2:
设P (0, 1 ), Q (, ), 则
= +
= (1)－2++ 1
= (1)－++ 1.
注意到 || ≤ 1, a > 1. 以下的讨论与解法1相同.
变式2:已知△OFQ的面积为，
（1）设，求ÐOFQ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）， 当 取得最小值时，求此双曲线的方程。
解析：（1）设ÐOFQ =q

（2）设所求的双曲线方程为

∴，∴
又∵，∴

当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标是或
，所求方程为
【精要归纳】
圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：
（1）当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；
（2）范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？例2中可以利用方程和垂直平分线性质构建。利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化，回味本题的探究过程，认识解析几何中“形助数”简化运算的途径。
（3）.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。
（4）利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。
【课后训练】
1．已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值
2．给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，则B点的坐标为 。
3．抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________，1）
4．如图，已知A、B是椭圆的两个顶点，
C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD
面积的最大值是_______
5．如图所示，设点，是的两个焦点，过的直线与椭圆相交于两点，求△的面积的最大值，并求出此时直线的方程。
解：，设，，则
设直线的方程为代入椭圆方程得
即
令，∴，（）利用均值不等式不能区取“＝”
∴利用（）的单调性易得在时取最小值
在即时取最大值为，此时直线的方程为
6． P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知与共线，与共线，且。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。
分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。
解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），故PQ方程为。代入椭圆方程得

设P、Q两点的坐标分别为，则：

从而
①当时，MN的斜率为，同上可推得

故四边形面积
令，得
因为，此时，且S是以u为自变量的增函数，所以。
②当时，MN为椭圆长轴，

综合①②知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为。