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平面向量数量积的坐标表示模夹角
教学目标
1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)
2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)
3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)
[基础·初探]
教材整理　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题．
1．平面向量数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝．
3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝．
4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则
cos θ＝＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度．(　　)
(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．(　　)
(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．(　　)
解：(1)×.因为当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b的夹角也可能为180°.
(2)√.由向量数量积定义可知正确．
(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
[小组合作型]
平面向量数量积的坐标运算
　(1)(2016·安溪高一检测)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于(　　)
A．　　　　　　 B．－
C． D．－
(2)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)，则a·b＝________，a·(a－b)＝________.
(3)已知a＝(2，－1)，b＝(3，2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.
根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．
解：(1)因为a＝(1，2)，b＝(2，x)，
所以a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，
解得x＝－.
(2)a·b＝(－1，2)·(3，2)＝(－1)×3＋2×2＝1，
a·(a－b)＝(－1，2)·[(－1，2)－(3，2)]＝(－1，2)·(－4，0)＝4.
(3)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，
所以解得所以c＝.
【答案】　(1)D　(2)1　4　(3)
1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a；(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2；
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．
3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．
[再练一题]
1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝(　　)
A．(－15，12) B．0
C．－3 D．－11
解：依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
【答案】　C
向量的模的问题
　(1)(2016·莱州期末)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于(　　)
A．4 B．5
C．3 D．4
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
(1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.
(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝.
解：(1)由y＋4＝0知
y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝4.故选D．
(2)由题意知，a＋b＝(－2，4)，a－b＝(4，0)，
因此|a＋b|＝＝2，|a－b|＝4.
【答案】　(1)D　(2)2　4
向量模的问题的解题策略：
(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．
(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝.
[再练一题]
2． 已知向量a＝(2x＋3，2－x)，b＝(－3－x，2x)(x∈R)，则|a＋b|的取值范围为________.
解：∵a＋b＝(x，x＋2)，
∴|a＋b|＝＝
＝≥，
∴|a＋b|∈[，＋∞)．
【答案】　[，＋∞)
[探究共研型]
向量的夹角与垂直问题
探究1　设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
【提示】　cos θ＝＝.
探究2　已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，当a与b的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？
【提示】　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
∵a，b的夹角α为钝角，
∴
即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．
　(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．∪
C．(－∞，－2) D．(－2，2)
(2)已知a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m为何值？
(1)可利用a，b夹角为锐角⇔求解．
(2)可利用两非零向量a⊥b⇔a·b＝0来求m.
解：(1)当a·b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B．
【答案】　B
(2)a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)，因为(a＋mb)⊥(a－b)，所以(a＋mb)·(a－b)＝0，
即(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0，所以m＝.
1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝
求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．
2．涉及非零向量a、b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．
[再练一题]
3．已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．
解：设a与b的夹角为θ，
则a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos θ<0且cos θ≠－1，
所以a·b<0且a与b不反向．
由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向，
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向．
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2，所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
[构建·体系]

1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝(　　)
A．5 B．4
C．－2 D．－1
【解析】　a·b＝(1，－1)·(2，3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.
【答案】　D
2．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解：由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.故选A．
【答案】　A
3．(2016·邢台期末)平行四边形ABCD中，＝(1，0)，＝(2，2)，则·等于(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
解：·＝(－)·(－2)
＝＋2－3·
＝8＋2－3×2＝4.故选D．
【答案】　D
4．已知a＝(3，－4)，则|a|＝________.
解：因为a＝(3，－4)，所以|a|＝＝5.
【答案】　5
5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．
解：(1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.
(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
所以(a＋b) 2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.
(3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2，1)，
(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2，1)＝8－3＝5.
学业分层测评
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·开封质检)已知向量a＝(3，1)，b＝(x，－2)，c＝(0，2)，若a⊥(b－c)，则实数x的值为(　　)
A．　　　　　　 B．
C．－ D．－
解：b－c＝(x，－4)，由a⊥(b－c)知3x－4＝0，
∴x＝.故选A．
【答案】　A
2．(2016·马鞍山质检)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，4)，且a∥b，则|a－b|＝(　　)
A．5 B．3
C．2 D．2
解：∵a∥b，∴4＋2x＝0，
∴x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，
∴|a－b|＝3.故选B．
【答案】　B
3．已知向量a＝(1，)，b＝(－2，2)，则a与b的夹角是(　　)
A． B．
C． D．
解：设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
解得θ＝.故选C．
【答案】　C
4．若a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影为(　　)
A． B．
C． D．
解：a在b方向上的投影为|a|cos<a，b>＝＝＝＝.
【答案】　A
5．已知正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E，则∠DOE的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
解：以点O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，设边长为1，则D，E，于是cos∠DOE＝＝.
【答案】　D
二、填空题
6．已知＝(－2，1)，＝(0，2)，且∥，⊥，则点C的坐标是________．
解：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2，1)．
由∥，⊥，得
解得
∴点C的坐标为(－2，6)．
【答案】　(－2，6)
7．(2016·德州高一检测)若向量a＝(－2，2)与b＝(1，y)的夹角为钝角，则y的取值范围为________．
解：若a与b夹角为180°，则有b＝λa(λ<0)
即，解得y＝－1且λ＝－，所以b≠λa(λ<0)时y≠－1；①
若a与b夹角θ∈时，则只要a·b<0且b≠λa(λ<0)．
当a·b<0有－2＋2y<0解得y<1.②
由①②得y<－1或－1<y<1
【答案】　(－∞，－1)∪(－1，1)
三、解答题
8．已知＝(6，1)，＝(4，k)，＝(2，1)．
(1)若A，C，D三点共线，求k的值；
(2)在(1)的条件下，求向量与的夹角的余弦值．
解：(1)因为＝＋＝(10，k＋1)，由题意知A，C，D三点共线，
所以∥，所以10×1－2(k＋1)＝0，即k＝4.
(2)因为＝(2，1)，设向量与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.
9．已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
解：∵a＝(1，1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1，1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，
a＋b＝(1，1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
(1)∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0，∴k＝－1.
即当k＝－1时，ka－b与a＋b共线．
(2)∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝，
(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)
＝k－k－2＝－2，
而ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos 120°＝，
即－＝，
化简整理，得k2＋2k－2＝0，解之得k＝－1±.
即当k＝－1±时，ka－b与a＋b的夹角为120°.
[能力提升]
1．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　)
A． B．
C． D．
解：设c＝(x，y)，
又因为a＝(1，2)，b＝(2，－3)，
所以c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又因为(c＋a)∥b，
所以有(x＋1)·(－3)－2·(y＋2)＝0，
即－3x－2y－7＝0，①
又a＋b＝(3，－1)，
由c⊥(a＋b)得：3x－y＝0，②
由①②解得
因此有c＝.
【答案】　D
2．(2016·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求：
(1)，的坐标；(2)|－|的值；(3)cos∠BAC的值．
解：(1)＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．
(2)因为－＝(－1，1)－(1，5)＝(－2，－4)，
所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1，1)·(1，5)＝4，
||＝，||＝，
cos∠BAC＝＝＝.