资源描述
§3.1.1 数系的扩充与复数的概念
学习目标
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P60~ P62，找出疑惑之处）
复习1：实数系、数系的扩充脉络是：
→ → → ，
用集合符号表示为：
复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：
（1） （2）
（3） （4）
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：复数的定义
问题：方程的解是什么？
为了解决此问题，我们定义，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .
新知：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集.
试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
，，，，，，，0
反思：形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部.
对于复数当且仅当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数；
探究任务二：复数的相等
若两个复数与的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等.
= ；
=0 .
注意:两复数 比较大小.
※ 典型例题
例1 实数取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
变式：已知复数，试求实数分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
小结：数集的关系：
例2已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值.
变式：设复数，则为纯虚数的必要不充分条件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.
※ 动手试试
练1. 若，求的值.
练2. 已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：
（1）实数；（2） 虚数；（3）纯虚数；（4）零.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 复数的有关概念；
2. 两复数相等的充要条件；
3. 数集的扩充.
※ 知识拓展
复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 实数取什么数值时，复数是实数（ ）
A．0 B． C． D．
2. 如果复数与的和是纯虚数，则有（ ）
A．且
B．且
C．且
D．且
3. 如果为实数,那么实数的值为（ ）
A．1或 B．或2
C．1或2 D．或
4.若是纯虚数，则实数的值是
5. 若，则实数
= ；= .
课后作业
1. 求适合下列方程的实数与的值:
(1)
(2)
2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举出例子；若不存在,请说明理由.
(1)实部为的虚数
(2)虚部为的虚数
(3)虚部为的纯虚数
§3.1.2 复数的几何意义
学习目标
理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P62~ P64，找出疑惑之处）
复习1：复数，当取何值时为实数、虚数、纯虚数？
复习2：若，试求的值，（呢？）
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：复平面
问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.
结论：复数与平面内的点或序实数一一对应.
新知：
1.复平面：以轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.
复数与复平面内的点一一对应.
显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2. 复数的几何意义:
复数复平面内的点；
复数平面向量；
复平面内的点平面向量.
注意：人们常将复数说成点或向量，规定相等的向量表示同一复数.
3. 复数的模
向量的模叫做复数的模,记作或.如果,那么是一个实数,它的模等于(就是的绝对值),由模的定义知:
试试：复平面内的原点表示 ，实轴上的点表示 ，虚轴上的点表示 ，点表示复数
反思：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.
※ 典型例题
例1在复平面内描出复数，，，，，，，0分别对应的点.
变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).
小结：
复数复平面内的点.
例2已知复数，试求实数分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线上；（4）在上半平面（含实轴）
变式：若复数表示的点（1）在虚轴上，求实数的取值；（2）在右半平面呢？
小结：复数平面向量.
※ 动手试试
练1. 在复平面内画出所对应的向量.
练2. 在复平面内指出与复数，，，对应的点，，，.试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 复平面的定义；
2. 复数的几何意义；
3．复数的模.
※ 知识拓展
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是（2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2. 对于实数，下列结论正确的是（ ）
A．是实数 B．是虚数
C．是复数 D．
3. 复平面上有点A，B其对应的复数分别为和，O为原点，那么是是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
4. 若，则
5. 如果P是复平面内表示复数的点，分别指出下列条件下点P的位置：
（1） （2）
（3） （4）
课后作业
1．实数取什么值时，复平面内表示复数的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线上？
2. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数.（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.
§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
学习目标
掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P66~ P67，找出疑惑之处）
复习1：试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量.
复习2：求复数的模
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：复数代数形式的加减运算
规定：复数的加法法则如下：
设，是任意两个复数，那么。
很明显，两个复数的和仍然是 .
问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？
新知：对于任意，有
探究任务二：复数加法的几何意义
问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
由平面向量的坐标运算，有==（ ）
新知：
复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）
试试：计算
（1）=
（2）=
（3）=
（4）=
反思：复数的加法运算即是：
探究任务三：复数减法的几何意义
问题：复数是否有减法？如何理解复数的减法？
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算.
新知：复数的减法法则为：
由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.
复数减法的几何意义：复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.
※ 典型例题
例1 计算
变式：计算
（1）（2）
（3）
小结：
两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减.
例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，，，试求：
（1）表示的复数；（2）表示的复数；
（3）B点对应的复数.
变式： ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是，求点D对应的复数.
小结：减法运算的实质为终点复数减去起点复数，即：
※ 动手试试
练1. 计算：（1）；（2）；
（3）；
（4）
练2. 在复平面内，复数与对应的向量分别是与，其中是原点，求向量，对应的复数.
三、总结提升
※ 学习小结
两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行.
※ 知识拓展
复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 是复数为纯虚数的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
2. 设O是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
3. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4. 在复平面内表示的点在第 象限.
5. 已知，点和点关于实轴对称，点和点关于虚轴对称，点和点关于原点对称，则= ；= ；=
课后作业
1. 计算：
（1）；（2）；
（3）；
（4）
2. 如图的向量对应的复数是，试作出下列运算的结果对应的向量：
（1）；（2）；（3）
§3.2.2 复数代数形式的乘除运算
学习目标
1. 理解共轭复数的概念；
2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P68~ P70，找出疑惑之处）
复习1：计算（1）
（2）
（3）
复习2：计算：
=
=
=
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：复数代数形式的乘法运算
规定，复数的乘法法则如下：
设，是任意两个复数，那么
=
即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可.
问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？
试试：计算（1）
（2）
（3）
（4）
新知：对于任意，有
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.
探究任务二：共轭复数
新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
试试：的共轭复数为
的共轭复数为
的共轭复数为
问：若是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为：
（2）是一个怎样的数？
探究任务三：复数的除法法则
※ 典型例题
例1 计算：
（1）； （2）
变式：计算：
（1）；（2）；
（3）
小结：复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算.
例2 计算（1）；
（2）
变式：计算（1），（2）
小结：复数的除法运算类似于实数集上的除法运算。
※ 动手试试
练1. 计算：（1）
练2. 计算：（1）， （2）， （3）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 复数的乘除运算；
2. 共轭复数的定义.
※ 知识拓展
具有周期性，即：；；；
；
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2. 复数的值是（ ）
A． B． C． D．1
3. 如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
4.若，则的值为
5. 若复数满足，则的值为
课后作业
1. 计算：
（1）；（2）
（3）；（4）
2. 已知是关于的方程的一个根，求实数的值.
第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课）
学习目标
掌握复数的的概念，复数的几何意义以及复数的四则运算.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P72找出疑惑之处）
复习1：复数集C、实数集R、有理数集Q、整数集Z和自然数集N之间的关系为：
复习2：已知，，，求.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：复数这一章的知识结构
问题：数系是如何扩充的？本章知识结构是什么？
新知：
试试：若，且为纯虚数，求实数的值.
变式：（1）对应的点在复平面的下方（不包括实轴），求的取值范围.（2）对应的点在直线，求实数的值.
反思：若复数是实数，则
是虚数，则 ；是纯虚数，则 ；
其模为 ；其共轭复数为 .
若，则 .
※ 典型例题
例1 已知，复数，当为何值时，
（1）？（2）是纯虚数？（3）对应的点位于复平面第二象限？（4）对应的点在直线上？
变式：已知，其中是实数，是虚数单位，则=
小结：掌握复数分类是解此题的关键.在计算时，切不可忘记复数为纯虚数的一个必要条件是，计算中分母不为0也不可忽视.
例2 设存在复数同时满足下列条件：
（1）在复平面内对应的点位于第二象限；
（2）；试求的取值范围
变式：已知复数满足，求复数
小结：复数问题实数化是解决复数问题的主要方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式，由复数相等得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量.
例3 在复平面内
（1）复数，（2）满足的复数，对应的点的轨迹分别是什么？
※ 动手试试
练1. 已知复数，当实数取什么值时，复数是（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
练2. 若，则实数的值（或范围）是 .
三、总结提升
※ 学习小结
复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量.根据复数相等一般可解决如下问题：（1）解复数方程；（2）方程有解时系数的值；（3）求轨迹问题.
※ 知识拓展
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设，，则在复平面内对应的点（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2. 等于（ ）
A． B． C． D．2
3. 复数的值是（ ）
A． B． C． D．
4.复数的实部是 ，虚部是
5. 的值是
课后作业
1. 已知，求及.
2. 设是虚数，是实数，且（1）求的值以及的实部的取值范围；
（2）若，求证为纯虚数.
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