解三角形知识点归纳(附三角函数公式).doc

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c
3、三角形中的基本关系：

4、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
5、正弦定理的变形公式：
①化角为边：，，；
②化边为角：，，；
③；④．
6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)
7、余弦定理：在中，有等，变形： 等，
8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角）
9、三角形面积公式：．=2R2sinAsinBsinC===
10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设、、是的角、、的对边，则：
①若，则；②若，则；③若，则．
11、三角形的四心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）
内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）
12同角的三角函数之间的关系
（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：

特殊角的三角函数值

三角
函数值

0

1

1

0

0

１

不存在
三角函数诱导公式：“ （）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（），k∈Z的三角函数值，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;
当k为偶数时，函数名不变。然后符号与 ‘将α看成锐角时原三角函数值的正负号’一致。
三角函数的图像与性质：

定义域
R
R

值域

R
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数

单调性
上为增函数；上为减函数（）
；上为增函数
上为减函数
（）

上为增函数（）
有关函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；
其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
函数y＝sin(ωx＋)的图象与函数y＝sinx的图象的关系:
由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。（先相位变换，再周期变换）
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。（先周期变换，再相位变换）
对称轴与对称中心：
的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；
y=tan x 图像的对称中心是（，0），无对称轴。

★诱导公式★(以下k∈Z)
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα 　tan（2kπ＋α）＝tanα
公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα
公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα
公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα　　cos（π－α）＝－cosα　　tan（π－α）＝－tanα
公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα　　cos（2π－α）＝cosα　　tan（2π－α）＝－tanα
公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα　　cos（π/2＋α）＝－sinα　　tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα　sin（π/2－α）＝cosα　 cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα　　cot（π/2－α）＝tanα 　　sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα　　tan（3π/2＋α）＝－cotα　　cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα　　cos（3π/2－α）＝－sinα　tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系式
商的关系：sinα/cosα＝tanα
平方关系：sin2α＋cos2α＝1
两角和差公式 两角和与差的三角函数公式
　sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
　cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ　　cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)
tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)
二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]
半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sin2(α/2)＝(1－cosα)／2　　cos2(α/2)＝(1＋cosα)／2
tan2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)
另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)
万能公式
　　万能公式
　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]
　　cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]
　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)]
三倍角公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin3α
cos3α＝4cos3α－3cosα
tan3α＝（3tanα－tan3α）／（1－3tan2α）
和差化积公式 三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]
sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]
cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]
cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]
积化和差公式 三角函数的积化和差公式
sinα ·cosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]/2
cosα ·sinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]/2
cosα ·cosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]/2
sinα ·sinβ＝—[cos(α＋β)－cos(α－β)]/2