2022北京五中分校初三零模数学(教师版).docx

2022北京五中分校初三零模
数 学
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下列几何体中，其三视图的三个视图完全相同的是　　
A． B． C． D．
2．（2分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为　　
A． B． C． D．
3．（2分）如图，将一张矩形纸片折叠，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
4．（2分）若一个多边形的每个内角均为，则该多边形是　　
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
5．（2分）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，若，且，则原点可能是　　

A．点 B．点 C．点 D．点
6．（2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是　　
A． B． C． D．
7．（2分）某校交响乐团有90名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是　　
年龄（单位：岁）
13
14
15
16
17
频数（单位：名）
17
29

18
A．平均数、中位数 B．平均数、方差
C．众数、中位数 D．众数、方差
8．（2分）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为米，的长米，菜园的面积为（单位：平方米）．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是　　

A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是　　．
10．（2分）分解因式：　 　．
11．（2分）方程的解为 　　．
12．（2分）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交于，，，两点，则的值为 　　．
13．（2分）如图，，是的切线，，是切点．若，则　　．

14．（2分）如图，已知，请添加一个条件，使得　　．

15．（2分）已知，，，．若为整数且，则的值是 　　．
16．（2分）某企业有，两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时，第一天，该企业将8吨原材料分配到，两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为 　　；第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了8吨原材料后，又给产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 　　．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤证明过程。
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知，求代数式的值．
20．（5分）已知：，平分．
求作：菱形，使点在边上点在边上，下面是尺规作图过程作法：①分别以、为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点、；
②作直线分别与、交于点、；
③连接、，与的交点记为点；四边形为所求作的菱形．
（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：，，
为的垂直平分线．
，
．
平分，
．
．
　　　　　　（填推理依据）．
同理可证，
四边形为平行四边形．
又　　，
四边形为菱形．

21．（5分）已知关于的方程．
（1）求证：当时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．
22．（5分）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．

23．（6分）在平面直角坐标系中，直线过点，直线过点．
（1）求直线的解析式；
（2）用含的代数式表示；
（3）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，求的取值范围．
24．（6分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了35家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据理行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，；
．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.2 10.3 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：

平均数
中位数
甲城市
10.8

乙城市
11.0
11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较，的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有300家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入．

25．（6分）已知：如图，在中，，是中点，平分交于点，点是上一点，过、两点，交于点，交于点．
（1）求证：与相切；
（2）当，时，求的半径．

26．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点．
（1）直接写出点的坐标；
（2）点是抛物线上一点，当点在抛物线上运动时，存在最大值．
①若，求抛物线的表达式；
②若，结合函数图象，直接写出的取值范围．
27．（7分）如图，在中，，，作射线，．在射线上，连接，是的中点，关于点的对称点为，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）判断与的数量关系并证明；
（3）平面内一点，使得，，求的值．

28．（7分）定义：、分别是两条线段和上任意一点，线段长度的最小值叫做线段与线段的“冰雪距离”．已知，，，，是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，完成下面的问题：
①当，时，如图1，线段与线段的“冰雪距离”是 　　；
②当时，线段与线段的“冰雪距离”是，则的取值范围是 　　．
（2）如图2，若点落在圆心为，半径为的圆上，当时，线段与线段的“冰雪距离”记为，结合图象，求的最小值；
（3）当的值变化时，动线段与线段的“冰雪距离”始终为，线段的中点为．直接写出点随线段运动所走过的路径长．

参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．
【解答】解：、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；
、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；
、三棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；
、球的三视图完全相同，都是圆，正确；
故选：．
【点评】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
2．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：将169200000000用科学记数法表示应为．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．【分析】利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：，
，
由翻折不变性可知：，
故选：．

【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．【分析】首先可求得每个外角为，然后根据外角和为即可求得多边形的边数．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题主要考查的是正多边形的内角和与外角和，掌握正多边形的一个内角与它相邻的一个外角互补，边数一个外角是解题的关键．
5．【分析】由若可知，、异号，所以原点可能是点或点，而又由即可根据距离正确判断．
【解答】解：
、异号
原点可能是点或点
又由，观察数轴可知，原点应该是点．
故选：．
【点评】本题考查的是绝对值的意义，利用数形结合的思想研究绝对值会让问题更加明确清晰，是一种常用的方法．
6．【分析】画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树形图得：

由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，
一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为，
故选：．
【点评】本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
7．【分析】由频数分布表可知年龄15岁和年龄16岁的两组的频数和为26，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第45、46个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为，故该组数据的众数为14岁，
一共有90个数，则中位数为：（岁．
即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．
故选：．
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
8．【分析】先根据得出；再根据矩形的面积公式列出关于的函数关系式，从而得出结论．
【解答】解：，，，
，
即，
与满足的函数关系是一次函数；
，
与满足的函数关系是二次函数．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数和一次函数的应用，关键是找等量关系列出函数解析式．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：使在实数范围内有意义，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于0．
10．【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：，
，
．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
故答案为：．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
12．【分析】根据反比例函数和正比例函数均是中心对称图形可知，进一步可知的值．
【解答】解：直线与双曲线的交于，，，两点，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数与正比例函数的中心对称性是解题的关键．
13．【分析】先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数．
【解答】解：，是的切线，，是切点，
，，
，
，
．
故答案为：135．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
14．【分析】已知两个三角形的一条对应边相等和一个对应角相等，所以根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：由题意知，，则根据，可以添加或，使得，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
15．【分析】估算出的值即可解答．
【解答】解：，，
，
，
为整数且，
，
故答案为：44．
【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
16．【分析】设分配到生产线的吨数为吨，则分配到生产线的吨数为吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．
【解答】解：设分配到生产线的吨数为吨，则分配到生产线的吨数为吨，依题意可得：
，
解得：，
分配到生产线的吨数为（吨，
分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为；
第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，
加工时间相同，
，
解得：，即，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤证明过程。
17．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式

．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19．【分析】先根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可化简原式，继而根据已知等式得出，代入计算即可．
【解答】解：原式
，
，
，
则原式．
【点评】本题主要考查整式的混合运算化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
20．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先证明，，则可判断四边形为平行四边形，然后利用得到四边形为菱形．
【解答】（1）解：如图，四边形为所求作；

（2）证明：，，
为的垂直平分线．
，
．
平分，
．
．
（内错角相等两直线平行），
同理可证，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形．
故意答案为，，内错角相等两直线平行；．
【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形和菱形的判定．
21．【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；
（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】（1）证明：△，
方程总有两个实数根；

（2）由题意可知，△，
即：．
以下答案不唯一，如：
当，时，方程为．
解得．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式，本题属于基础题型．
22．【分析】（1）由矩形的性质可得，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得结论；
（2）由相似三角形的性质可求，的长，即可求解．
【解答】证明：（1）四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
；
（2）过点作于，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）将点的坐标代入即可得出结论；
（3）由图象可知，当时，函数的值大于即可．
【解答】解：（1）直线过点，
，
，
直线的解析式为；
（2）直线过点，
，
；
（3）由题意可知，当时，，即
解得．
的取值范围为：．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关键是由题意得出关于的不等式．
24．【分析】（1）根据中位数的意义，求出甲城市抽样25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，得出处在第13位的数据即可；
（2）根据，所表示的意义，结合两个城市抽取的邮政企业4月份的营业额的具体数据，得出答案；
（3）根据乙城市邮政企业4月份营业额的平均数以及企业的数量进行计算即可．
【解答】解：（1）将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1，
因此中位数是10.1，即；

（2）由题意得（家，
由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0，中位数是11.5，
因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，
也就是的值至少为13，
；

（3）根据题意得：
（百万元），
答：乙城市300家邮政企业4月份的总收入约为3300百万元．
【点评】本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提．
25．【分析】（1）连接，根据等腰三角形性质求出，推出和，得出，推出，得出，根据切线的判定定理推出即可；
（2）根据求出，设 的半径为，则，得出，根据，得出，即可求出半径．
【解答】（1）证明：连接，
且是中点，
，
平分，
，

，
，
，
，
，
为半径，
与相切．

（2）解：，，，
，
，
设 的半径为，则，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
答：的半径是．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的性质和判定的应用，解（1）小题的关键是求出，解（2）小题的关键是得出关于的方程，题型较好，难度适中，用了方程思想．
26．【分析】（1）根据轴上点的坐标特征求得即可；
（2）①由题意得抛物线的顶点为，把代入即可求出的值，继而求出抛物线的表达式；
②把点代入得出与的关系，再把和代入求出对应的值，从而求出抛物线解析式，利用解析式求出最大值，即可得到的取值范围．
【解答】解：（1）把代入得，，
；
（2）①依题意，当时，该抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
由抛物线过，得，
解得，
抛物线的表达式为；
②抛物线经过点，
，
，
当时，，则，
此时，函数有最大值，
当时，，则，
此时，函数有最大值为2，
．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象与性质及最值的求法是解决问题的关键．
27．【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；
（2）由“”可证，可得；
（3）由题意可得点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，则两圆的交点为，由“”可证，可得，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：

（2），理由如下：
是的中点，
，
关于点的对称点为，
，
又，
，
，
，
；
（3）如图2，连接，

，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
两圆的交点为，
，，，
，
，
，
同理可证，
，
，
综上所述：或．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，确定点的位置是本题的关键．
28．【分析】（1）①读懂题意，结合图形可判断极为冰雪距离；②注意到到的距离正好为，可知点到的垂足正好在线段上；
（2）结合图象观察点在移动时，的变化情况，判断出取最小值的点，再计算；
（3）找出运动的情况，注意到点运动的路径长与点、运动的路径长相同，转化为求或运动的路径长即可．
【解答】解：（1）①当，时，，，，．
线段与线段的冰雪距离为．
故答案为：．
②当时，点到直线的距离为．
若线段与线段的冰雪距离是，则点到的垂线的垂足在线段上，
，即．
故答案为：．
（2）如图，为圆与轴的切点，，满足．
当在右侧时，冰雪距离．
当在弧上时，冰雪距离为点到的距离，
结合图象可知，当且仅当处在点时，取最小值1．

（3）如图，当点位于图中弧、线段、弧时，线段与线段的“冰雪距离”始终为．
当点位于图中弧、线段、弧时，线段与线段的“冰雪距离”始终为．
当线段由图中向上平移到时，或由向上平移到时，线段与线段的“冰雪距离”始终为．
对应中点所走过的路线长为：．

【点评】本题考查结合圆和动点问题．解题的关键在于找到满足条件的动点的轨迹，求出临界点的值．

18 / 18