2023版大一轮数学人教A版-第七章-§7-6-空间向量的概念与运算.pptx

,第,七,章,7.6,空间向量的概念与运算,考试,要求,1.,了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交,分,解,及其坐标表示,.,2,.,掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，,能,用,向量的数量积判断向量的共线和垂直,.,3,.,理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面,位置,关系,的一些简单定理,.,落实主干知识,探究核心题型,内容,索引,课时精练,LUOSHIZHUGANZHISHI,落实主干知识,1.,空间向量的有关概念,名称,定义,空间向量,在空间中，,具有,和,的,量,相等向量,方向,且模,的,向量,相反向量,方向,且模,的,向量,共线向量,(,或平行向量,),表示若干空间向量的有向线段所在的直线,互相,或,的,向量,共面向量,平行,于,的,向量,大小,方向,相同,相等,相反,相等,平行,重合,同一个平面,2.,空间向量的有关定理,(1),共线向量定理：对任意两个空间向量,a,，,b,(,b,0,),，,a,b,的充要条件是存在实数,，使,.,(2),共面向量定理：如果两个向量,a,，,b,不共线，那么向量,p,与向量,a,，,b,共面的充要条件是存在,的有序实数对,(,x,，,y,),，使,p,.,(3),空间向量基本定理,如果三个向量,a,，,b,，,c,不共面，那么对任意一个空间向量,p,，存在唯一的有序实数组,(,x,，,y,，,z,),，使得,p,，,a,，,b,，,c,叫做空间的一个基底,.,a,b,唯一,x,a,y,b,x,a,y,b,z,c,3.,空间向量的数量积及运算律,(1),数量积,非零向量,a,，,b,的数量积,a,b,.,(2),空间向量的坐标表示及其应用,设,a,(,a,1,，,a,2,，,a,3,),，,b,(,b,1,，,b,2,，,b,3,).,|,a,|,b,|cos,a,，,b,向量表示,坐标表示,数量积,ab,_,共线,a,b,(,b,0,，,R,),_,a,1,b,1,a,2,b,2,a,3,b,3,a,1,b,1,，,a,2,b,2,，,a,3,b,3,垂直,a,b,0,(,a,0,，,b,0,),_,模,|,a,|,_,夹角余弦值,cos,a,，,b,(,a,0,，,b,0,),cos,a,，,b,_,a,1,b,1,a,2,b,2,a,3,b,3,0,4.,空间位置关系的向量表示,(1),直线的方向向量：如果表示非零向量,a,的有向线段所在直线与直线,l,平行或重合，则称此向量,a,为直线,l,的方向向量,.,(2),平面的法向量：直线,l,，取直线,l,的方向向量,a,，则向量,a,为平面,的法向量,.,(3),空间位置关系的向量表示,位置关系,向量表示,直线,l,1,，,l,2,的方向向量分别为,n,1,，,n,2,l,1,l,2,n,1,n,2,n,1,n,2,(,R,),l,1,l,2,n,1,n,2,n,1,n,2,0,直线,l,的方向向量为,n,，平面,的法向量为,m,，,l,l,n,m,n,m,0,l,n,m,n,m,(,R,),平面,，,的法向量分别为,n,，,m,n,m,n,m,(,R,),n,m,n,m,0,常用,结论,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),直线的方向向量是唯一确定的,.(,),(2),若直线,a,的方向向量和平面,的法向量平行，则,a,.(,),(3),在空间直角坐标系中，在,Oyz,平面上的点的坐标一定是,(0,，,b,，,c,).,(,),(4),若,a,b,0,，则,a,，,b,是钝角,.(,),1.,若,a,，,b,，,c,为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是,A.,a,，,a,b,，,a,b,B.,b,，,a,b,，,a,b,C.,c,，,a,b,，,a,b,D.,a,b,，,a,b,，,a,2,b,a,b,(,，,R,),与,a,，,b,共面,.,A,，,B,，,D,不正确,.,由题意，根据向量运算的几何运算法则，,3.,设直线,l,1,，,l,2,的方向向量分别为,a,(,2,2,1),，,b,(3,，,2,，,m,),，若,l,1,l,2,，则,m,_.,l,1,l,2,，,a,b,，,a,b,6,4,m,0,，,m,10.,10,TANJIUHEXINTIXING,探究核心题型,题型一,空间向量的线性运算,P,是,C,1,D,1,的中点，,N,是,BC,的中点，,M,是,AA,1,的中点，,教师备选,思维升华,用基向量表示指定向量的方法,(1),结合已知向量和所求向量观察图形,.,(2),将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中,.,(3),利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来,.,题型,二,空间向量基本定理及其应用,(2),判断点,M,是否在平面,ABC,内,.,所以,M,，,A,，,B,，,C,四点共面，从而点,M,在平面,ABC,内,.,所以,M,，,A,，,B,，,C,四点共面，从而,M,在平面,ABC,内,.,教师备选,思维升华,跟踪训练,2,(1),(,多选,)(2022,武汉质检,),下列说法中正确的是,A.|,a,|,|,b,|,|,a,b,|,是,a,，,b,共线的充要条件,由,|,a,|,|,b,|,|,a,b,|,，可得向量,a,，,b,的方向相反，此时向量,a,，,b,共线，反之，当向量,a,，,b,同向时，不能得到,|,a,|,|,b,|,|a,b,|,，所以,A,不正确；,由,A,，,B,，,C,三点不共线，对空间任意一点,O,，,可得,P,，,A,，,B,，,C,四点共面，故,C,正确；,若,P,，,A,，,B,，,C,为空间四点，,当,1,时，即,1,，,所以,A,，,B,，,C,三点共线，反之也成立，即,1,是,A,，,B,，,C,三点共线的充要条件，所以,D,正确,.,属于,M,，,A,，,B,，,C,四点共面,.,即点,M,平面,ABC,.,例,3,如图所示，已知空间四边形,ABCD,的每条边和对角线长都等于,1,，点,E,，,F,，,G,分别是,AB,，,AD,，,CD,的中点，计算：,题型三,空间向量数量积及其应用,则,|,a,|,|,b,|,|,c,|,1,，,a,，,b,b,，,c,c,，,a,60,，,(2),求异面直线,AG,和,CE,所成角的余弦值,.,教师备选,设正方体内切球的球心为,O,，,则,OM,ON,1,，,MN,为球,O,的直径，,又,P,在正方体表面上移动，,思维升华,由向量数量积的定义知，要求,a,与,b,的数量积，需已知,|,a,|,，,|,b,|,和,a,，,b,，,a,与,b,的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使,ab,计算准确,.,跟踪训练,3,如,图所示，在四棱柱,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，底面为平行四边形，以顶点,A,为端点的三条棱长都为,1,，且两两夹角为,60,.,(1),求,AC,1,的长,；,则,|,a,|,|,b,|,|,c,|,1,，,a,，,b,b,，,c,c,，,a,60,，,a,2,b,2,c,2,2(,a,b,b,c,c,a,),(2),求证：,AC,1,BD,；,a,b,|,b,|,2,b,c,|,a,|,2,a,b,a,c,0.,(3),求,BD,1,与,AC,夹角的余弦值,.,b,2,a,2,a,c,b,c,1.,例,4,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AD,AB,，,AB,DC,，,AD,DC,AP,2,，,AB,1,，点,E,为棱,PC,的中点,.,证明,：,(1),BE,DC,；,题型四,向量法证明平行、垂直,依题意，以点,A,为坐标原点建立空间直角坐标系,(,如图,),，可得,B,(1,0,0),，,C,(2,2,0),，,D,(0,2,0),，,P,(0,0,2).,由,E,为棱,PC,的中点，得,E,(1,1,1).,所以,BE,DC,.,(2),BE,平面,PAD,；,因为,AB,AD,，又,PA,平面,ABCD,，,AB,平面,ABCD,，,所以,AB,PA,，,PA,AD,A,，,PA,，,AD,平面,PAD,，,所以,AB,平面,PAD,，,所以,BE,AB,，,又,BE,平面,PAD,，,所以,BE,平面,PAD,.,(3),平面,PCD,平面,PAD,.,设平面,PCD,的一个法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,令,y,1,，可得,n,(0,1,1),为平面,PCD,的一个法向量,.,所以平面,PAD,平面,PCD,.,教师备选,(1),求证：,EF,平面,A,1,B,1,BA,；,因为,AB,AC,，,E,为,BC,的中点，所以,AE,BC,.,因为,AA,1,平面,ABC,，,AA,1,BB,1,，,所以以过,E,作平行于,BB,1,的垂线为,z,轴，,EC,，,EA,所在直线分别为,x,轴、,y,轴，,建立如图所示的空间直角坐标系,.,所以,AE,2,，,A,(0,，,2,0),，,设平面,AA,1,B,1,B,的一个法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,又,EF,平面,A,1,B,1,BA,，,所以,EF,平面,A,1,B,1,BA,.,(2),求证：平面,AEA,1,平面,BCB,1,.,因为,EC,平面,AEA,1,，,又,EA,平面,BCB,1,，,故平面,AEA,1,平面,BCB,1,.,思维升华,(1),利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系,(,尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素,).,(2),向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理,.,跟踪训练,4,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,是边长为,a,的正方形，侧面,PAD,底面,ABCD,，且,PA,PD,AD,，设,E,，,F,分别为,PC,，,BD,的中点,.,求证：,(1),EF,平面,PAD,；,如图，取,AD,的中点,O,，连接,OP,，,OF,.,因为,PA,PD,，所以,PO,AD,.,又侧面,PAD,底面,ABCD,，,平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,PO,平面,PAD,，,所以,PO,平面,ABCD,.,又,O,，,F,分别为,AD,，,BD,的中点，,所以,OF,AB,.,又四边形,ABCD,是正方形，,所以,OF,AD,.,如图，以,O,为坐标原点，,OA,，,OF,，,OP,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系，,因为,E,为,PC,的中点，,易知平面,PAD,的一个法向量为,且,EF,平面,PAD,，所以,EF,平面,PAD,.,(2),平面,PAB,平面,PDC,.,所以,PA,CD,.,又,PA,PD,，,PD,CD,D,，,PD,，,CD,平面,PDC,，,所以,PA,平面,PDC,.,又,PA,平面,PAB,，所以平面,PAB,平面,PDC,.,KESHIJINGLIAN,课时精练,1.,已知,a,(2,1,，,3),，,b,(0,，,3,2),，,c,(,2,1,2),，则,a,(,b,c,),等于,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为,b,c,(,2,，,2,4),，,所以,a,(,b,c,),4,2,12,18.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.,必要不,充分条件,B,.,充分不必要条件,C.,充要条件,D,.,既不充分也不必要条件,由,x,y,z,1,，得,P,，,A,，,B,，,C,四点共面，,当,P,，,A,，,B,，,C,四点共面时，,x,y,z,1,，显然不止,2,，,3,2.,故,“,x,2,，,y,3,，,z,2,”,是,“,P,，,A,，,B,，,C,四点共面,”,的充分不必要条件,.,3.,已知空间向量,a,(1,0,1),，,b,(1,1,，,n,),，且,ab,3,，则向量,a,与,b,的夹角为,由题意，,a,b,1,0,n,3,，,解得,n,2,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又,a,，,b,0,，,，,4.,直线,l,的一个方向向量为,(2,1,1),，平面,的一个法向量为,(4,2,2),，则,A.,l,B.,l,C.,l,或,l,D.,l,与,的位置关系不能判断,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,直线,l,的一个方向向量为,(2,1,1),，平面,的一个法向量为,(4,2,2),，,显然它们共线，所以,l,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为,B,(,1,1,4),，,C,(2,，,1,3),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得,1,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以点,P,的坐标为,(4,，,2,2),或,(,2,2,4).,6.(,多选,),已知空间中三点,A,(0,1,0),，,B,(2,2,0),，,C,(,1,3,1),，则下列结论正确的有,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以,B,错误；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以,C,正确；,对于,D,，设平面,ABC,的法向量是,n,(,x,，,y,，,z,),，,令,x,1,，则,n,(1,，,2,5),，所以,D,正确,.,7.,已知,a,(,x,，,1,1),，,b,(,2,2,，,y,),，,a,b,0,，则,2,x,y,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2,因为,a,(,x,，,1,1),，,b,(,2,2,，,y,),，,a,b,0,，,所以,2,x,2,y,0,2,x,y,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.,如图所示，在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,CA,CB,1,，,BCA,90,，棱,AA,1,2,，,M,，,N,分别是,A,1,B,1,，,A,1,A,的中点,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,以,C,为坐标原点，,CA,，,CB,，,CC,1,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系，如图,.,B,(0,1,0),，,N,(1,0,1),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A,1,(1,0,2),，,B,(0,1,0),，,C,(0,0,0),，,B,1,(0,1,2,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3),求证：,A,1,B,C,1,M,.,A,1,B,C,1,M,.,10.,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PD,底面,ABCD,，底面,ABCD,为正方形，,PD,DC,，,E,，,F,分别是,AB,，,PB,的中点,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1),求证：,EF,CD,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设,AD,a,，则,D,(0,0,0),，,A,(,a,，,0,0),，,B,(,a,，,a,，,0),，,C,(0,，,a,，,0),，,如图，以,D,为坐标原点，分别以,DA,，,DC,，,DP,所在直线为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2),在平面,PAD,内求一点,G,，使,GF,平面,PCB,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设,G,(,x,，,0,，,z,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即,G,为,AD,的中点时，,GF,平面,PCB,.,11.(,多选,)(2022,山东百师联盟大联考,),下面四个结论正确的是,A.,向量,a,，,b,(,a,0,，,b,0,),，若,a,b,，则,ab,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,D.,任意向量,a,，,b,，,c,满足,(,ab,),c,a,(,bc,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由向量垂直的充要条件可得,A,正确；,A,，,B,，,C,三点共线，故,B,正确；,当,x,3,时，两个向量共线，夹角为,，故,C,错误；,由于向量的数量积运算不满足结合律，故,D,错误,.,12.,(,多选,)(2022,重庆市第七中学月考,),给出下列命题，其中为假命题的是,A.,已知,n,为平面,的一个法向量，,m,为直线,l,的一个方向向量，若,n,m,，,则,l,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,B.,已知,n,为平面,的一个法向量，,m,为直线,l,的一个方向向量，若,n,，,m,，,则,l,与,所成角为,C.,若两个不同的平面,，,的法向量分别为,u,，,v,，且,u,(1,2,，,2),，,v,(,2,，,4,4),，则,D.,已知空间的三个向量,a,，,b,，,c,，则对于空间的任意一个向量,p,，总,存在,实数,x,，,y,，,z,使得,p,x,a,y,b,z,c,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对于,A,，由题意可得,l,或,l,，故,A,错误；,(1,2,，,2),，,所以,u,v,，故,，故,C,正确,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对于,D,，当空间的三个向量,a,，,b,，,c,不共面时，对于空间的任意一个向量,p,，总存在实数,x,，,y,，,z,使得,p,x,a,y,b,z,c,，故,D,错误,.,13.(2022,杭州模拟,),在棱长为,1,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别,为,A,1,D,1,，,BB,1,的中点，则,cos,EAF,_,；,EF,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,如图，以,A,为坐标原点，,AB,，,AD,，,AA,1,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系，,正方体棱长为,1,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为点,Q,在直线,OP,上，所以设点,Q,(,，,，,2,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2022,株州模,拟,),如图，棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的所有棱长都等于,2,，,ABC,和,A,1,AC,均为,60,，平面,AA,1,C,1,C,平面,ABCD,.,(1),求证：,BD,AA,1,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设,BD,与,AC,交于点,O,，,则,BD,AC,，连接,A,1,O,，,在,AA,1,O,中，,AA,1,2,，,AO,1,，,A,1,AO,60,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由于平面,AA,1,C,1,C,平面,ABCD,，,且平面,AA,1,C,1,C,平面,ABCD,AC,，,A,1,O,平面,AA,1,C,1,C,，所以,A,1,O,平面,ABCD,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,以,O,为坐标原点，,OB,，,OC,，,OA,1,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,(2),在直线,CC,1,上是否存在点,P,，使,BP,平面,DA,1,C,1,，若存在，求出点,P,的位置，若不存在，请说明理由,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,假设在直线,CC,1,上存在点,P,，,使,BP,平面,DA,1,C,1,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设平面,DA,1,C,1,的一个法向量为,n,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,本课结束,