高三常州期末数学试卷讲解.doc

2016届高三模拟考试试卷(六)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
2016．1
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 设复数z满足(z＋i)(2＋i)＝5(i为虚数单位)，则z＝____________．
2. 设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，则B∩∁UA＝____________．
3. 某地区有高中学校10所、初中学校30所、小学学校60所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校________所．
4. 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点P(1，－2)，则该双曲线的离心率为____________．

(第7题)

5. 函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为____________．
6. 某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为____________．
7. 如图所示的流程图中，输出S的值是____________．
8. 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝3.若点M是BC的中点，则三棱锥MPAD的体积为__________．
9. 已知实数x，y满足则2x＋y的最大值为____________．
10. 已知平面向量a＝(4x，2x)，b＝，x∈R.若a⊥b，则|a－b|＝__________．
11. 已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋a2＝，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则的值为__________．

(第12题)

12. 如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为____________．
13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x＋y－b＝0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是____________．
14. 已知函数f(x)＝若不等式f(x)≥kx对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(B－C)＝1－cosA，且b，a，c成等比数列．求：
(1) sinB·sinC的值；
(2) A的值；
(3) tanB＋tanC的值．

16.(本小题满分14分)
如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中，点D，E分别是A1C，AB的中点．
(1) 求证：ED∥平面BB1C1C；
(2) 若AB＝BB1，求证：A1B⊥平面B1CE.

17. (本小题满分14分)
已知等差数列{an}的公差d为整数，且ak＝k2＋2，a2k＝(k＋2)2，其中k为常数且k∈N*.
(1) 求k及an；
(2) 设a1＞1，{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项为1，公比为q(q＞0)，前n项和为Tn.若存在正整数m，使得＝T3，求q.
18. (本小题满分16分)
如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭．现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合)建栈桥．考虑到美观需要，设计方案为DP＝DC，∠CDP＝60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部．已知BC＝2OB＝2(km)．设湖岸BC与直线栈桥CD，DP及圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km2)，∠BOP＝θ.
(1) 求S关于θ的函数关系式；
(2) 试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值；若不存在，说明理由．

19. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率是e，定义直线y＝±为椭圆的“类准线”．已知椭圆C的“类准线”方程为y＝±2，长轴长为4.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上)，过点P作圆O：x2＋y2＝3的切线l，过点O且垂直于OP的直线与l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．
20. (本小题满分16分)
已知a，b为实数，函数f(x)＝ax3－bx.
(1) 当a＝1且b∈[1，3]时，求函数F(x)＝＋2b＋1的最大值M(b)；
(2) 当a＝0，b＝－1时，记h(x)＝.
① 函数h(x)的图象上一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝y(x)，记g(x)＝h(x)－y(x)．问：是否存在x0，使得对于任意x1∈(0，x0)，任意x2∈(x0，＋∞)，都有g(x1)g(x2)＜0恒成立？若存在，求出所有可能的x0组成的集合；若不存在，说明理由；
② 令函数H(x)＝若对任意实数k，总存在实数x0，使得H(x0)＝k成立，求实数s的取值集合．

2016届高三模拟考试试卷(六)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修41：几何证明选讲)
如图所示，△ABC是圆O的内接三角形，且AB＝AC，AP∥BC，弦CE的延长线交AP于点D.求证：AD2＝DE·DC.

B. (选修42：矩阵与变换)
已知矩阵M＝的属于特征值8的一个特征向量是e＝，点P(－1，2)在M对应的变换作用下得到点Q，求Q的坐标．

C. (选修44：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＋4＝0.求曲线C上的点到直线l的最大距离．
D. (选修45：不等式选讲)
已知|x|＜2，|y|＜2，求证：|4－xy|＞2|x－y|.

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A＝D1D＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2.
(1) 在平面ABCD内找一点F，使得D1F⊥平面AB1C；
(2) 求二面角CB1AB的平面角的余弦值．

23.已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，a≠－1，0，1.设b＝a＋.
(1) 求证：an＋1＝ban－an－1(n≥2，n∈N*)；
(2) 当n(n∈N*)为奇数时，an＝，猜想当n(n∈N*)为偶数时，an关于b的表达式，并用数学归纳法证明．

2016届高三模拟考试试卷(六)(常州)
数学参考答案及评分标准

1. 2－2i　2. {2}　3. 6　4. 　5. 　6. 　7. 　8. 　9. 7.5　10. 2
11. 117　12. 　13. 　14. [－3，e2]
15. 解：(1) 因为A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)．
由cos(B－C)＝1－cosA，得cos(B－C)＝1＋cos(B＋C)，
展开，整理得sinB·sinC＝.(2分)
(2) 因为b，a，c成等比数列，所以a2＝bc.
由正弦定理，得sin2A＝sinBsinC，从而sin2A＝.(6分)
因为A∈(0，π)，所以sinA＝.
因为a边不是最大边，所以A＝.(8分)
(3) 因为B＋C＝π－A＝，
所以cos(B＋C)＝cosBcosC－sinBsinC＝－，从而cosBcosC＝.(10分)
所以tanB＋tanC＝＋＝(12分)
＝＝－2－.(14分)
16. 证明：(1) 连结AC1，BC1，
因为AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，所以D是AC1的中点．(2分)
在△ABC1中，因为D，E分别是AC1，AB的中点，所以DE∥BC1.(4分)
因为DE平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以ED∥平面BB1C1C.(6分)
(2) 因为△ABC是正三角形，E是AB的中点，所以CE⊥AB.
因为正三棱柱A1B1C1ABC中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交线为AB，所以CE⊥平面ABB1A1.从而CE⊥A1B.(9分)
在矩形ABB1A1中，因为＝＝，所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，
从而∠B1A1B＝∠BB1E.因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90°，
所以A1B⊥B1E.(12分)
因为CE，B1E平面B1CE，CE∩B1E＝E，所以A1B⊥平面B1CE.(14分)
17. 解：(1) 由题意，得(2分)
②－①，得d＝4＋.
因为d，k∈N*，所以k＝1，或k＝2.(4分)
当k＝1时，d＝6，代入①，解得a1＝3，所以an＝6n－3.
当k＝2时，d＝5，代入①，解得a1＝1，所以an＝5n－4.(6分)
(2) 因为a1＞1，所以an＝6n－3，从而Sn＝3n2.(7分)
由＝T3，得＝1＋q＋q2，整理，得q2＋q＋1－＝0.(9分)
因为Δ＝1－4≥0，所以m2≤.
因为m∈N*，所以m＝1或m＝2.(11分)
当m＝1时，q＝(舍)，q＝.
当m＝2时，q＝0或q＝－1(均舍去)．
综上所述，q＝.(14分)
18. 解：(1) 在△COP中，CP2＝CO2＋OP2－2CO·OPcosθ＝10－6cosθ，
从而△CDP的面积S△CDP＝CP2＝(5－3cosθ)．
因为△COP的面积S△COP＝OC·OPsinθ＝sinθ，(6分)
所以S＝S△CDP＋S△COP－S扇形OBP
＝(3sinθ－3cosθ－θ)＋，0＜θ≤θ0＜π，cosθ0＝.(9分)
(注：定义域2分．当DP所在直线与半圆相切时，设θ取得最大值θ0，此时在△COP中，OP＝1，OC＝3，∠CPO＝30°，CP＝，由正弦定理得＝6sinθ0，cosθ0＝.)
(2) 存在．
S′＝(3cosθ＋3sinθ－1)，令S′＝0，得sin＝.(12分)
当0＜θ＜θ0时，S′＞0，所以当θ＝θ0时，S取得最大值．(14分)
(或者：因为0＜θ＜π，所以存在唯一θ0∈，使得sin＝.
当0＜θ＜θ0＜π时，S′＞0，所以当θ＝θ0时，S取得最大值．)
此时cos＝－，cosθ0＝cos＝.(16分)
19. 解：(1) 由题意又a2＝b2＋c2，解得b＝，c＝1，(4分)
所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分)
(2) 点A在椭圆C上．证明如下：
设切点为Q(x0，y0)，x0≠0，则x＋y＝3，切线l的方程为x0x＋y0y－3＝0，
当yP＝2时，xP＝，即P，
则kOP＝＝，(7分)
所以kOA＝，直线OA的方程为y＝x.(9分)
由解得即A(，)．(11分)
因为＋＝
＝＝1，
所以点A的坐标满足椭圆C的方程．(14分)
当yP＝－2时，同理可得点A的坐标满足椭圆C的方程，
所以点A在椭圆C上．(16分)
20. 解：(1) F(x)＝|x2－lnx－b|＋2b＋1，
记t(x)＝x2－lnx，x∈，则t′(x)＝2x－，
令t′(x)＝0，得x＝.(1分)
当＜x＜时，t′(x)＜0，t(x)在上为单调减函数，
当＜x＜2，t′(x)＞0，t(x)在上为单调增函数，
又t＝＋ln2，t(2)＝4－ln2，t＝且t(2)－t＝－2ln2＞0，
所以t(x)的取值范围为.(3分)
当b∈[1，3]时，记v(t)＝|t－b|＋2b＋1，则v(t)＝
因为函数v(t)在上单调递减，在(b，4－ln2]上单调递增，
且v＝3b＋，v(4－ln2)＝b＋5－ln2，
v－v(4－ln2)＝2b＋，
所以当b≤时，最大值M(b)＝v(4－ln2)＝b＋5－ln2，
当b＞时，最大值M(b)＝v＝3b＋，
所以M(b)＝(5分)
(2) h(x)＝，
① h′(x)＝，h′(x0)＝，所以y(x)＝(x－x0)＋y0，
g(x)＝－y0－(x－x0)，g(x0)＝0.(7分)
g′(x)＝－，g′(x0)＝0.
令G(x)＝g′(x)＝－，G′(x)＝，
所以g′(x)在上单调递减，在上单调递增，
若x0＜e，则x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，g(x)＜g(x0)＝0；x∈(x0，e)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)＜g(x0)＝0，不符合题意；
若x0＞e，则x∈时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)＞g(x0)＝0；
x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，g(x)＞g(x0)＝0，不符合题意；
若x0＝e，则x∈时g(x)＜0，x∈时g(x)＞0，符合题意．
综上，存在x0满足要求，且x0的取值集合为{e}．(10分)
② 因为对任意实数k，总存在实数x0，使得H(x0)＝k成立，所以函数y＝H(x)的值域为一切实数．
y＝x在[s，＋∞)上是增函数，其值域为.(11分)
对于函数y＝，y′＝，当x＝e时，y′＝0，
当x＞e时，y′＞0，在(e，＋∞)上为单调增函数，
当0＜x＜e时，y′＜0，在(0，e)上为单调减函数．
若s＞e，则函数y＝在(0，e]上是增函数，在[e，s)上是减函数，其值域为，
又＜，不符合题意，舍去；(13分)
若0＜s≤e，则函数y＝在(0，s)上是增函数，值域为，
由题意得≤，即s2－2elns≤0.　①
记u(s)＝s2－2elns，u′(s)＝2s－＝.
当0＜s＜时，u′(s)＜0，u(s)在(0，)上为单调减函数．
当s＞时，u′(s)＞0，u(s)在(，e)上为单调增函数，
所以，当s＝时，u(s)有最小值u()＝0，从而u(s)≥0恒成立(当且仅当s＝时，u(s)＝0.)　②(15分)
由①②得，u(s)＝0，所以s＝.
综上所述，实数s的取值集合为{}．(16分)

2016届高三模拟考试试卷(六)(常州)
数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 证明：连结AE，则∠AED＝∠B.(2分)
∵ AB＝AC，∴ ∠ACB＝∠B，

∴ ∠ACB＝∠AED.(4分)
∵ AP∥BC，∴ ∠ACB＝∠CAD，∴ ∠CAD＝∠AED.(6分)
又∠ACD＝∠EAD，∴ △ACD∽△EAD.(8分)
∴ ＝，即AD2＝DE·DC.(10分)
B. 解：由题意知＝8×，故解得(5分)
∴ ＝，∴ 点Q的坐标为(－2，4)．(10分)
C. 解：将l转化为直角坐标方程为x＋y＋4＝0.(3分)
在C上任取一点A(cosα，sinα)，α∈[0，2π)，则点A到直线l的距离为
d＝＝＝.(7分)
当α＝时，d取得最大值，最大值为2＋，此时A点为(，1)．(10分)
D. 证明：因为|4－xy|2－4|x－y|2＝(4－xy＋2x－2y)(4－xy－2x＋2y)(2分)
＝(2＋x)(2－y)(2－x)(2＋y)＝(4－x2)(4－y2)＞0，(7分)
∵ |x|＜2，|y|＜2，∴ |4－xy|＞2|x－y|.(10分)
22. 解：(1) 以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D1(0，1，1)，B1(1，－1，1)，设F(a，b，0)，则＝(a，b－1，－1)，(3分)

由得a＝b＝，(5分)
∴ F，即F为AC的中点．(6分)
(2) 由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1＝＝.(7分)
设平面B1AB的法向量n2＝(x，y，z)，
得取n2＝(0，1，1)．(8分)
则cos〈n1，n2〉＝＝－.(9分)
∴ 二面角CB1AB的平面角的余弦值为.(10分)
23. (1) 证明：ban－an－1＝－＝＝an＋1.(3分)
(2) 解：猜想当n(n∈N*)为偶数时，an＝(4分)
下面用数学归纳法证明这个猜想．
① 当n＝2时，a2＝＝a2＋1＋a－2＝－1＝b2－1，结论成立．(5分)
② 假设当n＝k(k为偶数)时，结论成立，即
ak＝＝0,(－1)iCb－2i＝bk－Cbk－2＋…＋(－1)iCbk－2i＋…＋(－1)，此时k＋1为奇数，
∴ ak＋1＝＝0,(－1)iCbk＋1－2i＝bk＋1－Cbk－1＋…＋(－1)iCbk＋1－2i＋…＋(－1)Cb，(6分)
则当n＝k＋2(k为偶数)时，
ak＋2＝bak＋1－ak＝[bk＋2－Cbk＋…＋(－1)iCbk＋2－2i＋…＋(－1)Cb2]－[bk－Cbk－2＋…＋(－1)iCbk－2i＋…＋(－1)]
＝bk＋2－bk＋…＋(－1)i(C＋C)bk＋2－2i＋…＋(－1)
＝bk＋2－bk＋…＋(－1)iCbk＋2－2i＋…＋(－1)
＝＝0,(－1)iCbk＋2－2i，结论也成立．(9分)
根据①和②，可知当n(n∈N*)为偶数时，均有an＝(10分)