高斯消元法.pptx

Henan Agricultural University第一节第一节 高斯消元法高斯消元法 1.增广矩阵增广矩阵 可以写成一、几个基本概念一、几个基本概念称为线性方程组的增广矩阵 Henan Agricultural University2.齐次线性方程组和非齐次线性方程组齐次线性方程组和非齐次线性方程组一、几个基本概念一、几个基本概念对于对于AX b，若，若b=0,即即 AX 0，称为，称为 齐次线性方程组；齐次线性方程组；对于对于AX b，若，若b0,即即 AX b，称为，称为 非非齐次线性方程组齐次线性方程组.AX 0 称为称为 AX b 的的导出导出方程组方程组.3.相容、不相容相容、不相容方程组有解称为方程组有解称为相容相容；方程组无解称为方程组无解称为不相容不相容.Henan Agricultural University二、高斯消元法二、高斯消元法1.线性方程组的消元解法与其增广矩阵的行变换是线性方程组的消元解法与其增广矩阵的行变换是等价的等价的2.研究线性方程组增广矩阵的行变换，得到方程组研究线性方程组增广矩阵的行变换，得到方程组的相容性理论的相容性理论 定理定理1 1 线性方程组有解的充分必要条件是其系数矩阵线性方程组有解的充分必要条件是其系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩的秩等于增广矩阵的秩.定理定理2 2 当方程组有解时当方程组有解时 (1)(1)若系数矩阵的秩等于未知量的个数，则方程若系数矩阵的秩等于未知量的个数，则方程 组有唯一解；组有唯一解；(2)(2)当系数矩阵的秩小于未知量的个数时，方程当系数矩阵的秩小于未知量的个数时，方程 组有无穷多解组有无穷多解.Henan Agricultural Universityv推论推论1 当当n个未知数个未知数n个方程的线性方程组个方程的线性方程组Ax b有解时有解时，(1)(1)有有唯唯一一解解的的充充分分必必要要条条件件是是方方程程组组的的系系数数行行列列式式不不等于零等于零 (2)(2)有有无无限限多多解解的的充充分分必必要要条条件件是是方方程程组组的的系系数数行行列列式式等于零等于零.v推论推论2 Ax 0 总有零解，总有零解，(1)(1)只有只有零解零解的充要条件是的充要条件是A的秩等于未知数的个数；的秩等于未知数的个数；(2)(2)有有非零解非零解的充要条件是的充要条件是A的秩小于未知数的个数的秩小于未知数的个数.Henan Agricultural University 例1 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B施行初等行变换 得 可见R(A)2 R(B)3 故方程组无解 Henan Agricultural University所以有 例2 求解非齐次线性方程组 解 因为 (k1 k2R)k1k2k1k2k1k2Henan Agricultural University 解 对矩阵A继续进行初等行变换 有因为r(A)24 所以方程组有非零解3Henan Agricultural University方程组的解可表为 解 3Henan Agricultural University 解 对增广矩阵B施行初等行变换 得 例4 设有线性方程组 此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解 问取何值时 (1)当0时 R(A)1 R(B)2 方程组有无解 (2)当0且3时 R(A)R(B)3 方程组有唯一解 (3)当3时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解 下页Henan Agricultural University 解 例4 设有线性方程组 此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解 问取何值时(3)当3时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解 这时 由此得 下页Henan Agricultural University 一、解的判定定理 二、方程组的求解 结束v小结