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导数及其应用例题详解
第十五单元--导数及其应用说课稿
肖婕

一、导数（导数的本质：变化率）
2、函数的平均变化率定义：一般的，已知函数y= f（x），x0、x1是其定义域内不同的两点，记△x= x1- x0 ，△y= y1- y0 。则当△x≠0时，商=称作函数y= f（x）在区间[x0，x0+ △x ]（或[x0+ △x，x0]）的平均变化率
因此：就是度量数△y相对于度量标准△x的变化率

例如：①、一火车从青岛开往北京，以v=300km\h匀速行驶，途经A（t1，s1）、B（t2，s2）两站，求火车A站到B站的距离S的相对于时间从A点到B点的变化率为t的变化率
s=300t
A（t1，s1），B（t2，s2），从A点到B点的变化率为：
=，其平均变化率即为火车行驶的速度300
②、单价85元的篮球，花费f相对于个数x的变化率为
A（x1，f1），B（x2，f2），（其中，x1，x2∈N）从A到B的变化率为：
，其平均变化率即为篮球的单价85
③、超市离你家有些远,你花1元坐公交去的,在超市买同样规格牌子的杯子,价钱一样,买一个是10元,两个是20元,，你买的个数及总的花费s之间的关系：s=2+10x
A（x1，S1），B（x2，S2），（其中，x1，x2∈N）从A到B的变化率为：
，其平均变化率即为杯子的单价10
④、一水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S,
则：g=S-ft。
A（t1，g1），B（t2，g2），从A时刻到B时刻的变化率为：
=，其平均变化率为-f

⑤、当弹簧原长度10cm（未挂重物时的长度），弹簧挂重物时的长度y及重物的重量x的关系
Y=2x+10，（k为任意正整数）（x∈[0,2500g]
A（x1，y1），B（x2，y2），（其中，x1，x2∈[0,500g]）从A到B的变化率为：

,其平均变化率为2
有以上例子可以归纳出直线的变化率：即为直线的斜率
2、直线的平均变化率：
（1）：一次函数的平均变化率：（推导过程）
Y=kx+b（k≠0）

有图可以看出，一次函数的平均变化率：即为直线的斜率k
直线的斜率k是均匀变化，即直线中△y及△x是同比例增加，因此直线在任何两点的变化率不变。

例如：①、y=2x

所以：直线y=2x的变化率为直线y=2x的斜率2.

②、y=-x+1

所以：直线y=-x+1的变化率为直线y=-x+1的斜率-1

（2）特别的：常值函数y=c，

平均变化率：

3、曲线的平均率：

(1)在曲线任上取两点A，B求变化率，取得点不同，变化率的数值不一定相等同，因此，曲线中求得的变化率为曲线的平均变化率。

(2) 变化率的含义：有图可以看出。变化率反应了

例如：求y=x2，分别求各题的平均变化率
①、A（2,4）到B（3,9）
②、D（-3,9）到C（-1,2）

①、＞0，△y及△x变化的趋势相同，同时增加，反映的是从A到B曲线增加的快慢
②、＜0，△y及△x变化的趋势相反，△y减少，△x增加，反映的是从A到B曲线减少的快慢

4、导数（瞬时变化率）
（1）导数:中，当△x→0时，→某一常数，表示某点瞬时变化率，即为某点处的导数。
即，即△x无限趋近于0时，无限趋近于一个常数
＞0，，△y及△x的变化趋势相同，有①图象可以看出：反应的是增加快慢；

＜0，，△y及△x的变化趋势相反，有②图象可以看出：反应的是减少快慢；

（2）关于瞬时变化率：
①、一位移相对于时间t在某一时刻的变化率，即瞬时速度为瞬时变化率
②、汽车的码表显示的100km\h,120km\h均指的是我们看到的这一时刻的汽车的行驶速度，即瞬时变化率。

（3）导数的几何意义：△x→0时，曲线的割线趋近于切线，割线的斜率就变成了过点A的切成的斜率。

（4）、对于切线问题，应注意一下三点：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率

5、导函数
①、定义：即为导数，如果函数y = f(x)在（a，b）每一点可都导，就称函数f(x)在区间 （a，b） 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 （a，b） 内的每一个确定的 x 值都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数称，这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数记作 y', f'(x),导函数简称导数
对谁运算：自变量x 运算法则：导函数 运算结果：曲线点处切线斜率

②、导数即瞬时变化率，是小范围内表达变化率的近似值，表达的是曲线的局域特征。是一个连续的平缓的变化过程，因此，当曲线平滑变化时导数存在。当曲线突变时，导数不存在。
例如：函数f(x)=｜x｜,在x=0处不可导

③、如果函数y=f（x）区间（a，b）上可导，且在每一点的导数的值大于0，，见①图，原函数为增函数
如果函数y=f（x）区间（a，b）上可导，且在每一点的导数的值小于0，，见图②，原函数为减函数
④、极大值点及极小值点

从A点到B点切线的斜率大于0，即导数在每一点的函数值大于0，反映的是曲线的变化率的增加，随着曲线的不断升高，切线的斜率逐渐趋近于0，即增加的速度减慢，逐渐趋近于0，达到B点时，切线的斜率是0，即函数在B点处，导数值为0，经过B点后，切线的斜率开始小于0，从图象可以看出，在B点取得极大值
从B点到C点，切线的斜率开始小于0，反映的是曲线的变化率的减少，接近C点时，减少减慢，逐渐趋势近于0，C点处，导数值为0，切线斜率为0，C点到D点，切线的斜率又大于0，反映的是曲线的变化率的增加，从图象可以看出，在C点取得极小值
由此可以得出：
在x=x1的左侧，f\（X）＞0，右侧f\（X）＜0，则在x=x1处取得极大值，x1为其极大值点；
f（X1）为曲线的极大值
在x=x2的左侧，f\（X）＜0，右侧f\（X）＞0，则在x=x2处取得极小值，x2为其极小值点；
f（X2）为曲线的极小值

例如：指出图形中f（X）的极值点
X1，x5为极小值点；
X3为极大值点。

6、基本初等函数的导数公式

原函数
导函数
①、f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
②、f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn-1
③、f(x)＝sin x
f′(x)＝cosx
④、f(x)＝cos x
f′(x)＝-sinx
⑤、f(x)＝ax
f′(x)＝axlna
⑥、f(x)＝ex
f′(x)＝ex
⑦f、(x)＝logax
f′(x)＝
⑧、f (x)＝ln x
f′(x)＝
对于公式①、直线的斜率是1，有前面的证明可知，导函数为0
对于公式③、因为正弦函数的单调性及余弦函数的函数值的符号一致，所以f′(x)＝cosx
对于公式④、因为余弦函数的单调性及正弦函数的函数值的符号相反，所以f′(x)＝-sinx

其他：记住即可

7、导数的运算法则
（1）、=f/（x)±g/（x); （2）、 =f/（x)g（x）±f（x）g/（x);
（3）、=Cf/（x)(C为常数); （ 4）、 =.
8．复合函数的导数
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数y＝f[v(x)]在点x处可导，
则y/=f/(u)v/(x) （ 即外导乘以内导）

换元： xvy
△x

二、例题分析：
1.(2010·辽宁文，12)已知点P在曲线y＝上，角α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A．[0，)　　　　　B．[，)
C．(，] D．[，π)
分析：（1)对谁运算：x∈R
运算法则：什么也不是，想性质（单调性、奇偶性、周期性）
(2)切线问题应注意一下三点：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率
（3)对函数求导数
y′＝－=k=tanα（α为切线的倾斜角）
（4）y′＝－=k=tanα（α为切线的倾斜角）
对谁运算：x∈R
运算法则：换元后，可以变成对号函数
令t=ex，则t＞0，g(t)=-=
运算结果：作图：h（t）=t+
看图说话：
所以：h（t）=t+≥2，t++2≥4
，

-1≤tanα＜0
（3） 作出正切函数的图像所以：α∈[，π)

2..2011·吉林省实验中学模拟)如图，函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f ′(5)＝(　　)
A. B．1 C．2 D．0 [答案]　C
[解析]　由条件知，又在点P处切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f ′(5)＝2.
分析：（1）看到点P(5，f(5))问题，想到两个方面的问题：

一般处理这类问题有两个方面：
（2） 本题是已知P(5，f(5))满足的关系，即为曲线的切点，找位置的问题
（3） 看到切线问题应该想到三个方面的问题：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率
（4） 因此：f ′(5)=k,为切线的斜率，所以：f ′(5)=-1，过点P(5，f(5))的切线方程
有点斜式可得：
y-f（5）=-（x-5），得到：y＝－x＋5＋f(5)，又，切线方程为y＝－x＋8

所以：f(5)=3
f(5)＋f ′(5)＝-1+3=2

3.[2013·北京卷] 设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．
(1)求L的方程；
(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．
分析：（1）看到切线问题应该想到三个方面的问题：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率

设f(x)＝，则f′(x)＝.
f′(1)＝1.，切线的斜率为1，过点（1，0)
有点斜式得
Y-0=1(x-1).整理得，L的方程为：y＝x－1

（2） 要想证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．
只要证明：g(x)=（x-1）--＞0（x≠1）
①对谁运算：x＞0
运算法则：什么也不是，想性质（单调性、奇偶性、周期性）
有本题条件可知，需要考虑函数的单调性
对g(x)=（x-1）--＞0（x≠1）求导，
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”

得到：
g′(x)＝
g′(x)中，分母x2大于0，只需考虑x2-1+lnx的正负即可

②令h（x）=x2-1+lnx
对谁运算：x＞0
运算法则：什么也不是，想性质（单调性、奇偶性、周期性）
有本题条件可知，需要考虑函数的单调性
对h（x）=x2-1+lnx求导
h′(x)＝2x+=
X＞0时，h′(x)＞0，所以h（x）=x2-1+lnx为增函数
③又h（1）=1-1+0=0，所以：在(0,1)内，h（x）＜0
在(1,+∞)内，h（x）＞0

④因此g(x)在(0,1)内为减函数，在(1,+∞)内为增函数
⑤又g(1)=
所以，在(0,1)内，g(x)＞0；在(1,+∞)内，g(x)＞0

即x=1时，g(1)=0，
X≠1时，g(x)＞0
⑥故：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方

4.[2013·全国卷] 若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，0] B．[－1，＋∞)
C．[0，3] D．[3，＋∞)
分析：（1）对谁运算：x≠0
运算法则：什么也不是，想性质。（单调性、奇偶性、周期性）
本题及单调性有关。对函数f(x)＝x2＋ax＋求导数
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
f′(x)＝2x＋a－
（2） 因为f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，
所以：x∈，f′(x)＝2x＋a－ ≥0，
分离常数，只要：a≥-2x，x∈，
（3)令g（x）=-2x，x∈，
因为：x∈时，为减函数，-2x也是减函数，
所以：g（x）=-2x，在x∈上也是减函数，
所以，当x=时，g（）max=3
所以：a≥3
D　

5.[2013·江西卷] 设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．

分析：（1）对谁运算：x∈R
运算法则：换元：令ex=t，则x=lnt，(t＞0），f（t）=lnt+t，(t＞0）
（2） 对谁运算：t＞0，
运算法则：什么也不是，想性质，求导数

f′(t)=+1，所以：f′(1)=1+1=2【答案】2

6.(2010·东北师大附中模拟)定义方程f(x)＝f ′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为(　　)
A．α>β>γ B．β>α>γ
C．γ>α>β D．β>γ>α
分析：（1）依题意α满足：g(x)=g/(x)，即x=1，所以：α=1
（2)β满足：h(x)＝ln(x＋1)=h/(x)，即ln(x＋1)=，作图：
有图可知：0＜β＜1

(3)γ满足：φ(x)＝φ/(x),即x3－1=3x2
有图可知：γ＞1

（4）γ＞α＞β

故选C

[答案]　C

7. (2010·胶州模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝4sin B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin D．f(x)＝4sin
分析：（1）对谁运算：x∈R
运算法则：换元：令t=ωx＋φ，则f（t)=Asint
(2）依题意，求导
f/（t)=Acost,所以f/（x)=Acost（ωx＋φ）/=Aωcos（ωx＋φ）
(3)①有图像可以看出，f/（x)=Aωcos（ωx＋φ）的周期：2[]=4π
所以：ω==
②当x=时，×+φ=+2kπ（k∈Z），得到：φ=+2kπ（k∈Z）
又0<φ<π，当k=0时，φ=符合题意
③当x=-时,f/（x)取最大值2，所以：Aω=2，A=2，所以：A=4
（4）f（x）=4sin
[答案]　A

8.[2013·安徽卷] 若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
分析：（1）对谁运算：x∈R
运算法则：什么也不是，想性质。求导
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
f/(x)＝3x2＋2ax＋b
（2）因为：函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2
所以： f/(x)＝3x2＋2ax＋b有两个实数根x1，x2，两个根的关系可能是①图，也能是②

（3) 令f(x)=t，则g（t)=3t2+2at+b=0,即t=f（x)有几个解
（有图①、图②分别作出图③、图④）

（4）有图可知，g（t)=3t2+2at+b=0有3解A　

9.[2013·天津卷] 已知函数f(x)＝x2ln x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)；
(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)．证明：当t>e2时，有<<.
分析：（1）①对谁运算：x＞0，
运算法则：什么也不是，想性质。求导数
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
②f/(x)=2xlnx+x=x（2lnx+1）
f/(x)=x（2lnx+1）＞0，2lnx+1＞0，即x＞，x∈（，+∞）为增函数
f/(x)=x（2lnx+1）＜0，0＜x＜，即x∈（0，）为减函数

（2）要证明对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)，只要证明：对任意的t>0，t＝f(s)为单调函数即可。
t＝f(s)=s2lns，
因为：t>0，所以：s＞1

①对谁运算：s＞1，
②运算法则：t＝f(s)=s2lns，什么也不是，想性质。求导
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
t/=f/(s)=s（2lns+1）,
③有（1）可知s＞1，t＝f(s)=s2lns为增函数，

④所以：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)
（3）因为：t＝f(s)，s＝g(t)
==
t=s2lns，当s2lns=e2，得到：s=e
所以：t>e2时，s＞e

要证当t>e2时，有<<.
只要证：s＞e时，<<即可
①令m=lns，，因为：s＞e，所以：（m＞1）；则g（m）= （m＞1）
②g（m）=（m＞1）
③令h（m）=（m＞1）
④ 2＜h（m）＜2+
⑤g（m）=（m＞1）（作图）
⑥所以：＜＜g（m）＜.
＜g（m）＜，＞
所以：＜g（m）＜
⑦即：当t>e2时，有<<.

10.【2012高考陕西理7】设函数，则（ ）
A. 为的极大值点 B.为的极小值点
C. 为的极大值点 D. 为的极小值点[学
分析：（1）对谁运算：x∈R
运算法则：什么也不是：想性质。求导数
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
(2)f/(x）=ex+xex=ex（1+x）；
f/(x）＞0时，为增函数，此时，x＞-1
f/(x）＜0时，为减函数，此时，x＜-1
（3）所以： 为的极小值点
【答案】D.

11.【2012高考山东理22】(本小题满分13分)
已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线及轴平行.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意.
分析：（Ⅰ）对谁运算：x＞0
运算法则：什么也不是，想性质。求导

（2） 看到点 想点的位置及点满足的关系
（3） 为切点，已知点满足的关系，求点所在的位置
（4） 看到切线想三个方面的问题：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率
f/(1)=,得：1-k=0，所以：k=1
（Ⅱ）f（x）=
对谁运算：x＞0
运算法则：什么也不是，想性质。求导

求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”

令h(x）==
（作图）

有图可以看出：x∈（0,1)时，h(x）＞0，为增函数

x∈（（1，+∞）时，h(x）＜0，为减函数

（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意
g（x）=（x2+x）=
g（x）=
（1）令h（x)=1-x-xlnx
对谁运算：x＞0，
运算法则：什么也不是，想性质。及单调性有关，求导
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
h/（x)=-1-lnx-1=-2-lnx，当h/（x)＞0时，0＜x＜e-2，h（x)=1-x-xlnx为增函数
当h/（x)＜0时，x＞e-2，h（x)=1-x-xlnx为减函数

所以：h（e-2)max=1-e-2-e-2lne-2=1+e-2
（2）令g（x）=
对谁运算：x＞0，
运算法则：什么也不是，想性质。及单调性有关，求导
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
p/(x)=＜0，所以 ： p（x）在（0，+∞）上为减函数
p（0）max=1
g（x）的最大值为1×（1+e-2）=1+e-2
又x＞0，所以g（x）＜1+e-2

12、（2013·新课标I理）已知函数f(x)＝，若| f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A、（－∞，0] B、（－∞，1] C、[－2，1] D、[－2，0]
分析：对谁运算：x∈R
运算法则：情况不同，结果不同
运算结果：作图

①当x≤0时，| f(x)|=x2-2x≥ax
x2-2x- ax≥0
令g（x）=x2-2x- ax≥0即可
ax≤x2-2x（x≤0）
a≥x-2，（x≤0）又，x-2为增函数，所以：a≥-2
②当x＞0时，| f(x)|=ln（x+1）≥ax
令h（x）=ln（x+1）-ax≥0，h（0）=0
对谁运算：x＞0，
运算法则：什么也不是，想性质。求导
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
只要证明：h/（x）=-a，在x＞0上是减函数（作图）
所以：a≤0
有①、②可得：-2≤a≤0
【答案】D；

13、（2013·浙江理22）已知，函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
分析：（1）看到点时，想到：点的位置及点满足的性质
本题是已知点的位置，求满足的性质的问题
（2）看到切线问题应该想到三个方面的问题：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率
（3）求导：f/(x)=3x2-6x+3a
所以：f/(1)=3-6+3a=3a-3，又
（4）过点（1,1），k=3a-3的方程，有点斜式得
y-1=（3a-3）（x-1）
整理得：

14、（2013·陕西理21.）已知函数. (Ⅰ) 若直线y＝kx＋1及f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
分析：（1）的反函数为g（x）=lnx
（2）看到切线问题应该想到三个方面的问题：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率
（3）求导：g/（x）=（x＞0）
设：切点（x0，lnx0），k=；点斜式写出切线方程
y-lnx0=（x- x0），
y= x- x0+ lnx0，又直线y＝kx＋1为切线
所以：k=，且- x0+ lnx0=1，
lnx0=2，x0=e2，所以：k= e-2

15、（2013·福建理17）已知函数
（1） 当时，求曲线在点处的切线方程；
分析：（1）看到点时，想到：点的位置及点满足的性质
本题是已知点的位置，求满足的性质的问题
（2）看到切线问题应该想到三个方面的问题：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率
（3）求导：f/(x)=x-
a=2，f/(x)=x-
所以：f/(1)=1-2=-1，又f（1）=1-2ln1=1
过点（1,1），k=-1切线的方程，有点斜式得
y-1=-（x-1）
整理得：x+y-2=0

16、（2012广东理12）曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．
分析：（1）看到点（1,3）时，想到：点的位置及点满足的性质
本题是已知点的位置，求满足的性质的问题
（2）看到切线问题应该想到三个方面的问题：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率
（3）求导：f/(x)=3x2-1
所以：f/(1)=3-1=2，
（4）过点（1,3），k=2的切线方程，有点斜式得
y-3=2（x-1）
整理得：
【答案】

17？、（2013·新课标Ⅱ理）（10）已知函数f(x)=,下列结论中错误的是
（A）, f()=0
（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形
（C）若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减
（D）若是f（x）的极值点，则 ()=0
分析：（1）对谁运算：x∈R
运算法则：什么也不是，想性质（单调性、奇偶性，周期性）
（2）对于A（作图）
有图看出：A正确

对于B作图？

对于C作图
有图可以看出：（-∞，x1）增函数
（x1，x0）减函数
C错误
D、若是f（x）的极值点，
有图可以看出，切线斜率()=0
D正确

18、（2013·浙江理）8.已知为自然对数的底数，设函数，则（ ）
A. 当时，在处取得极小值
B. 当时，在处取得极大值
C. 当时，在处取得极小值
D. 当时，在处取得极大值
分析：对谁运算：x∈R
运算法则 ：什么也不是，想性质。（求导）
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
f/(x)=ex(x-1)k+k(ex-1)(x-1)k-1
（1） k=1时，
f/(x)=ex(x-1)+(ex-1)(x-1)0= ex x – 1，
当f/(x)=0，即ex=（作图）
0＜X0＜1，
当x= X0时，f(x)取得极小值，所以A、B错误。
（2）k=2时f/(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)1= （x-1）（x ex+ ex-2）
x＞1时，f/(x)＞0,0＜x＜1，f/(x)＜0
所以：x=1时，是极小值点
故选C

19（2013·福建理17.） 已知函数（2）求函数的极值
分析：对谁运算：x＞0
运算法则：什么也不是，想性质。求导
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
（1）
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
②当时，由，解得；
时，，时，
在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上：当时，函数无极值
当时，函数在处取得极小值，无极大值．

20、（2013·新课标Ⅱ理）（21）已知函数f(x)=-ln(x+m).
(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）?当m≤2时，证明f(x)>0.
分析：对谁运算：x＞-m
运算法则：什么也不是，想性质。求导
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”

（1）x=0是f(x)的极值点，所以：，解得：m=1
所以：=（x＞-1）
令g（x）=ex（x+1）-1（x＞-1）
对谁运算：x＞-1
运算法则：什么也不是，想性质。求导
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
g/（x）= ex（x+1）+ ex= ex（x+2）（x＞-1）,
x＞-1时，g/（x）＞0
所以在(-1,+∞)上是增函数，又因为，所以当时，，即；当时，，，所以
在上是减函数；在上是增函数.
(2)、①欲证：当m≤2时，证明f(x)>0.
只要证明：当m≤2，-ln(x+m) >0
即证明：当m≤2， > ln(x+m)
有图象
ln(x+m)为增函数，当m≤2时，ln(x+m) ≤ln(x+2)
只要证明： > ln(x+2)即可
即：- ln(x+2) >0
②、令g(X)= - ln(x+2)
对谁运算：x＞-2
运算法则：什么也不是，想性质。求导
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
g/(X)= - =
令h（x）=ex（x+2）-1，求导
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
h/（x）= ex（x+3），( x＞-2), h/（x）＞0,
所以：x＞-2时，h（x）为增函数。
h（x）=ex（x+2）-1=0
得到：ex=
有图可以看出，-1＜x0＜0
在X0处取g(X)得最小值
g（x0）=- ln(x0+2)？

方法二：有图可以看出： > ln(x+2)

21．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））若曲线在点处的切线平行于轴,则______.
分析：（Ⅰ）对谁运算：x＞0
运算法则：什么也不是，想性质。求导
f/(x)=k+
看到点(1,k)想点的位置及点满足的关系
（1，k）为切点，已知点满足的关系，求点所在的位置
看到切线想三个方面的问题：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率
f/(1)=k+1,得：1+k=0，所以：k=-1

22.设。
（I）求在上的最小值；
（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。
分析：令t=aex，则f（t）=t++b，因为：x≥0，所以：ex≥1，所以：t≥a（a＞0）
（1） 对谁运算：t≥a，（a＞0）
运算法则：对号函数
运算结果：作图
①当0＜a＜1时，因为：t≥a，
所以：当t=1时，f（1）min=2+b
②当a≥1时，因为：t≥a，函数f（t）=t++b在 [1,+∞ ）增函数
所以：f（a）min=a++1
（2）看到点(2,)想点的位置及点满足的关系
（1,f(2)）为切点，已知点满足的关系，求点所在的位置
看到切线想三个方面的问题：
①、切点在曲线上:f(2)=ae2++b
②、切点在切线上: y-（ae2++b）=k（x-2）
③、导数即斜率： ,k=f/(2)==

得到方程组：

设曲线在点的切线方程为；求的值。

23.【2012高考真题北京理18】（本小题共13分）

分析：（1）看到点(1,c)想点的位置及点满足的关系
（1，c）为切点，已知点满足的关系，求点所在的位置
看到切线想三个方面的问题：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率
f/(x)=2ax, f/(1)=2a；f（1）=a+1=c
g/(x)=3x2+b, g/(1)=3+b；g（1）=1+b=c
所以：2a=3+b；且a+1=1+b；得到：a=b=3
（2）令h（x）=ax2+1+x3+x(a＞0)
对谁运算：x∈R，
运算法则：什么也不是，想性质。求导
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”
，令，解得：，；（作图）
①若，即时，最大值为；
②若，即时，最大值为
③若时，即时，最大值为．
综上所述：
当时，最大值为；当时，最大值为．
原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增

24 ．（2013年高考四川卷（理））已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.
指出函数的单调区间;
(Ⅱ)？若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值;
(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.
分析：(Ⅰ)对谁运算：x≠0
运算法则：情况不同，结果不同
运算结果：作图：
函数的单调递减区间为,单调递增区间为,
(Ⅱ) 看到切线想三个方面的问题：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率
又，，且.
所以：f（x1）=x21+2x1+a, (x＜0）；f（x2）=x22+2x2+a；(x＜0）
K1= f/（x1）=2 x1+2；K2= f/（x2）=2 x2+2,
K1 K2=-1，即（2 x1+2）（2 x2+2=-1
（x1+1）（x2+1）=-，又，所以：x2+1＞0，x1+1＜0.
x2- x1= x2+1-x1-1=（x2+1）+[-（x1+1）]≥
所以：x2- x1的最小值为1
令g(x)= x2+2x+a，（x＜0）;h(x)=lnx，（x＞0）
看到切线想三个方面的问题：
①、切点在曲线上
②、切点在切线上
③、导数即斜率
g/(x)=2x+2，在x＜0时是增函数，因此k1不可能等于k2
h/(x)=lnx，在x＞0时是减函数，因此k1不可能等于k2
又x2＞x1，
所以：f（x1）=x21+2x1+a, (x1＜0）
f（x2）=lnx2，（x＞0）
①k1= f/（x1）=2x1+2,过点( x1, x21+2x1+a)的切线方程，有点斜式得：
，整理的：
②k2= f/（x2）=，过点（x2，lnx2）的切线方程，有点斜式得：
,整理得：.
③有（1）知，k2＞0，两切线重合，k1=k2所以：k1＞0，即f（x1）=x21+2x1+a, (x1＜0）为增函数，所以：-1＜x1＜0
且-1＜x1＜0
消去x2得：.
令,
对谁运算：-1＜x1＜0
运算法则：什么也不是，想性质。求导
求导的目的：判断导函数值的“+”、“-”、“0”对应的“增”、“减”、“极值点”

则.
所以是减函数.
则,
所以.
又当且趋近于时,无限增大,所以的取值范围是.
故当函数的图像在点处的切线重合时,的取值范围是

25.【2012高考真题新课标理21】（本小题满分12分）
已知函数满足；
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值.
分析：（1）①、本题是求系数，解方程的问题
对谁运算：x∈R
运算法则：什么也不是，想性质。求导
f/(x)= f/(1)ex-1-f(0)+x
f/