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等差数列知识点及类型题
等差数列知识点与类型题
一、数列
由与的关系求
由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，
若不能，则用分段函数的形式表示为。
〖例1〗 根据下列条件，确定数列的通项公式。

分析：
将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。

二、等差数列与其前n项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{}的通项公式为n的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；
（2）前n项和法：若数列{}的前n项和是的形式（A，B是常数），则{}是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{}的前n项和为，且满足
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求的表达式。

【变式】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa＋an－p(p∈R)，
则{an}的通项公式为________．

（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式=+（n-1）d与前n项和公式，共涉与五个量，，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
注：因为，故数列{}是等差数列。
〖例3〗已知数列{}的首项=3，通项，且，，成等差数列。求：
（1）的值；
（2）数列{}的前n项和的公式。
分析：（1）由=3与，，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质：
已知数列{}是等差数列，是其前n项和。
（1）若m+n=p+q,则,特别：若m+n=2p，则。
（2）仍是等差数列，公差为kd;
（3）数列也是等差数列；
(4)若等差数列的项数为2，则；
（5）若等差数列的项数为，则，且，
（6）
（其中均为常数）。
典型例题
1．等差数列中, 若，则＝________；
2.（厦门）在等差数列中， ,则 其前9项的和S9等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则=
4、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|的值等于________．
7、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．
8.若两个等差数列和的前项和分别为和，且满足，则 .
★等差数列的最值：
若是等差数列，求前n项和的最值时，
（1）若a1>0,d<0,且满足，前n项和最大；
（2）若a1<0,d>0，且满足，前n项和最小；
（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。
〖例4〗在等差数列中，，其前n项和为。
（1）求的最小值，并求出取最小值时n的值；
（2）求。
分析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函数求最值；
（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。

〖例5〗已知数列是等差数列。
（1）若
（2）若

【变式】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn＝3an－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn<1.

跟踪训练
1. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 （ ）
A．13项 B．14项 C．15项 D．16项
2. 已知等差数列的通项公式为an=-3n+a，a为常数，则公差d= （ ）
3. 在等差数列{an } 中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，则30是这个数列的（ ）
A．第22项 B．第21项 C．第20项 D．第19项
4. 已知数列a，-15，b，c，45是等差数列，则a+b+c的值是 （ ）
A．-5 B．0 C．5 D．10
5. 已知等差数列{an }中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，则a1= （ ）
　A．-1 B．-3 C．-5 D．-7
6. 已知等差数列{an }满足a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是 （ ）　
7. 已知数列{an }是等差数列，且a3+a11=40，则a6+a7+a8等于 （ ）　
A．84 B． 72 C．60 D．43
8. 已知等差数列{an }中，a1+a3+a5=3，则a2+a4= （ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
9.已知数列：，，，，……，则在此数列中应是（ ）
A．第21项 B．第41项 C．第48项 D．第49项
10. 已知数列中，前和
（1）求证：数列是等差数列 （2）求数列的通项公式
（3）设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。

等差数列知识点与类型题
一、数列
由与的关系求
由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，
若不能，则用分段函数的形式表示为。
〖例1〗根据下列条件，确定数列的通项公式。

分析：
将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。
解答：

二、等差数列与其前n项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{}的通项公式为n的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；
（2）前n项和法：若数列{}的前n项和是的形式（A，B是常数），则{}是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{}的前n项和为，且满足
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求的表达式。
分析：（1）与的关系结论；
（2）由的关系式的关系式
解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首项，以2为公差的等差数列。
（2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴=,当n≥2时，=2·=。又∵，不适合上式，故。
【变式】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________．
∵a1＝1，∴2a1＝2pa＋a1－p，
即2＝2p＋1－p，得p＝1.
于是2Sn＝2a＋an－1.
当n≥2时，有2Sn－1＝2a＋an－1－1，两式相减，得2an＝2a－2a＋an－an－1，
整理，得2(an＋an－1)·(an－an－1－)＝0.
又∵an>0，∴an－an－1＝，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·＝.
（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式=+（n-1）d与前n项和公式，共涉与五个量，，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
注：因为，故数列{}是等差数列。
〖例3〗已知数列{}的首项=3，通项，且，，成等差数列。求：
（1）的值；
（2）数列{}的前n项和的公式。
分析：（1）由=3与，，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答：（1）由=3得……………………………………①
又，得…………………②
由①②联立得。
（2）由（1）得，

（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质：
已知数列{}是等差数列，是其前n项和。
（1）若m+n=p+q,则,特别：若m+n=2p，则。
（2）仍是等差数列，公差为kd;
（3）数列也是等差数列；
(4)若等差数列的项数为2，则；
（5）若等差数列的项数为，则，且，
（6）
（其中均为常数）。
典型例题
1．等差数列中, 若，则＝_____225___；
2.（厦门）在等差数列中， ,则 其前9项的和S9等于 （ A ）
A．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则= 24
4、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( C )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　D　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|的值等于________．
　如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.
因为xA＝，则xD＝.
又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝，xC＝.
故|m－n|＝|×－×|＝.
7、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．
设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，
∴d＝.
∴数列{an}为递增数列．
令an≤0，∴－3＋(n－1)·≤0，∴n≤，
∵n∈N*.
∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－.
8.若两个等差数列和的前项和分别为和，且满足，则 6 .
★等差数列的最值：
若是等差数列，求前n项和的最值时，
（1）若a1>0,d<0,且满足，前n项和最大；
（2）若a1<0,d>0，且满足，前n项和最小；
（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。
〖例4〗在等差数列中，，其前n项和为。
（1）求的最小值，并求出取最小值时n的值；
（2）求。
分析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函数求最值；
（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。
解答：（1）设等差数列的首项为，公差为，∵
，令
，∴当n=20或21时，最小且最小值为-630.

（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。
∴

〖例5〗已知数列是等差数列。
（1）若
（2）若
解答：设首项为，公差为，
（1）由，
∴
（2）由已知可得解得

【变式】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn＝3an－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn<1.
(1)解　①当n＝1时，由2Sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3，
∴a1＝3.
②当n≥2时，由2Sn＝3an－3得，
2Sn－1＝3an－1－3.
两式相减得：2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1，
∴an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴{an}是等比数列，∴an＝3n.
验证：当n＝1时，a1＝3也适合an＝3n.
∴{an}的通项公式为an＝3n.
(2)证明　∵bn＝＝
＝＝－，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(1－)＋(－)＋…＋(－)
＝1－<1.
跟踪训练
1. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 （ ）
A．13项 B．14项 C．15项 D．16项
2. 已知等差数列的通项公式为an=-3n+a，a为常数，则公差d= （ ）
3. 在等差数列{an } 中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，则30是这个数列的（ ）
A．第22项 B．第21项 C．第20项 D．第19项
4. 已知数列a，-15，b，c，45是等差数列，则a+b+c的值是 （ ）
A．-5 B．0 C．5 D．10
5. 已知等差数列{an }中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，则a1= （ ）
　A．-1 B．-3 C．-5 D．-7
6. 已知等差数列{an }满足a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是 （ ）　
7. 已知数列{an }是等差数列，且a3+a11=40，则a6+a7+a8等于 （ ）　
A．84 B． 72 C．60 D．43
8. 已知等差数列{an }中，a1+a3+a5=3，则a2+a4= （ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
9.已知数列：，，，，……，则在此数列中应是（ ）
A．第21项 B．第41项 C．第48项 D．第49项
10. 已知数列中，前和
（1）求证：数列是等差数列 （2）求数列的通项公式
（3）设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。

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