高中立体几何经典练习题.doc

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1. 如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，CB⊥平面 PAB，AD∥BC，且 PA=PB=AB=BC=2AD=．2
（Ⅰ）求证：平面 DPC⊥平面 BPC；
（Ⅱ）求二面角 C﹣PD﹣B 的余弦值．
2. 如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD为菱形， 且 PA=AD=2， ，
E、F 分别为 AD、PC中点．
（1）求点 F 到平面 PAB的距离；（2）求证：平面 PCE⊥平面 PBC；
（3）求二面角 E﹣PC﹣D 的大小．
3. 《九章算术》 中, 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 , 将四个面
都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 . 如图, 在阳马 P ABCD中, 侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,
过棱 PC的中点 E, 作 EF⊥PB交 PB于点 F, 连接 DE,DF,BD,BE.
(1) 证明:PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF是否为鳖臑 ;
(2) 若面 DEF与面 ABCD所成二面角的大小为 , 求 的值 .
1
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4. 如图所示三棱柱 ABC A1 B1C1中， AA1 平面 ABC ，四边形 ABCD 为平行四边形，
AD 2CD ， AC CD .
（Ⅰ）若 AA1 AC , 求证： AC1 平面 A1B1CD ；
（Ⅱ） 若 A1D 与 BB1 所成角的余弦值为

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，求二面角 C A1 D C1 的余
弦值.
5. 在直角梯形 ABCD中， AB // CD, AD AB, DC 3, AB 2,
AD 1, AE EB, DF 1, 现把 EF 它沿折起，得到如图所示的几何体，连接 DB, AB,
DC ，使 DC 5.
（1 ）求证：平面 DBC 平面 DFB ；
（2 ）判断在线段 DC 上是否存在一点 H ，使得二面角 E BH C 的余
弦值为

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，若存在，确定 H 的位置，若不存在，说明理由 .
6. 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， AB 2AD 4 ，BD 2 3 ，
PD 底面 ABCD．
（1）证明：平面 PBC 平面 PBD ；
（2）若二面角 P BC D 的大小为 ，求 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值．
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2
7. 在 三 棱 锥 A BCD 中 ， A B B C 4 , A D B D C D2 2, 在 底 面 B C D内 作
C E C D，且 CE 2.
（1）求证： CE // 平面 ABD ；
（2）如果二面角 A BD C 的大小为 90 ，求二面角 B AC E 的余弦值 .
8. 如图， 在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA ⊥底面 ABCD ，AD AP ，
E 为棱 PD 中点.
P
E
M
D
C
A
B
F
（1）求证： PD ⊥平面 ABE ；
（2）若 F 为 AB 中点， PM PC (0 1)，试确定 的值，使二面角 P FM B 的
余弦值为

3
3

.
9. 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 C 在平面 A1B1C1 内的射影点为
AB 的中点 O, AC BC AA1, ACB 90 .
1 1
（1）求证 : AB 平面

OCC ；（2）求二面角
1

A CC B的正弦值 .
1
3
10. 已知多面体 ABCDEF 如图所示 . 其中 ABCD 为矩形， △DAE 为等腰直角三角形，
DA⊥ AE ，四边形 AEFB 为梯形， 且 AE ∥BF ，∠ABF 90 ，AB BF 2AE 2 .
（1）若 G 为线段 DF 的中点，求证： EG ∥平面 ABCD .
（2）线段 DF 上是否存在一点 N ，使得直线 BN 与平面 FCD 所成角的余弦值等于

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5

？若存在，请指出点 N 的位置；若不存在，请说明理由 .
11. 在如图所示的几何体中，平面 ADNM 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是菱形，四边形
π
ADNM 是矩形， DAB ， AB 2 ， AM 1， E 是 AB 的中
3
点．( Ⅰ) 求证： DE 平面 ABM ；

N
(II) 在线段 AM 上是否存在点 P ，使二面角 P EC D 的大小为
若存在，求出 AP 的长；若不存在，请说明理由．

π
？
4

M

D C

A
E B
12. 如图，已知梯形 CDEF与△ ADE所在平面垂直， AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，
AB=3，EF=9．CD=12，连接 BC，BF．
（Ⅰ）若 G 为 AD 边上一点， DG= DA，求证： EG∥平面 BCF；
（Ⅱ）求二面角 E﹣BF﹣C的余弦值．
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13. 如图三棱柱 中，侧面 为菱形， .
(1) 证明： ；
(2) 若 ， ， ，求二面角 的余弦值 .
14. 如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠ BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面 ABC的射影为
BC的中点， D 是 B1C1 的中点．
（1）证明： A1D⊥平面 A1BC；
（2）求二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值．
15. 如图,在四棱锥 中,底面 为菱形 , 为 的中点 .
(Ⅰ)若 ,求证:平面 平面 ;
(Ⅱ)若平面 平面 ,且 ,点 在线段 上,试确定点
的位置 ,使二面角 大小为 ,并求出 的值.
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16. 已知在边长为 4 的等边△ ABC（如图 1 所示）中， MN∥BC，E 为 BC的中点，连接 AE 交
MN 于点 F，现将△ AMN 沿 MN 折起，使得平面 AMN ⊥平面 MNCB（如图 2 所示）．
（1）求证：平面 ABC⊥平面 AEF；
（2）若 SBCNM=3S△AMN ，求直线 AB 与平面 ANC所成角的正弦值．
17. 如图（1），在五边形 BCDAE 中，CD // AB ， BCD 90 ，CD BC 1，AB 2，
ABE 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形 .现将 ABE 沿 AB 折起，使平面 ABE 平面
ABCD ，如图（ 2），记线段 AB 的中点为 O .
（1）求证：平面 ABE 平面 EOD ；
（2）求平面 ECD 与平面 ABE 所成的锐二面角的大小 .
18. 如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB / /CD ， AD DC CB 1， ABC 60 ，四边形
ACFE 为矩形，平面 ACFE 平面 ABCD ， CF 2 .
（1）求证： BC 平面 ACFE ；
（2）点 M 在线段 EF 上运动，设平面 MAB 与平面 FCB 二面角的平面角为
( 90 ) ，试求 cos 的取值范围 .
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