人教版高数选修22第7讲：直接证明与间接证明(学生版).doc

直接证明与间接证明

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(1) 了解直接证明的一种基本方法──综合法、分析法；
(2) 了解间接证明的一种基本方法──反证法；
(3)了解综合法、分析法、反证法的思考过程与特点,会用综合法、分析法、反证法证明数学问题.

类型一、直接证明：
一. 综合法
1.定义：_______________________________________________________________
2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出
结论的一种证明方法
3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)

二.分析法
1.定义：_______________________________________________________________________
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2. 思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种
方法
3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,Pn表示充分条件)

4.分析法的书写格式：

例3 求证:
证明：因为都是正数，
所以要证
只需证
展开得
只需证
只需证
因为显然成立，
所以

要证：¼¼
只要证：¼¼
只需证：¼¼
¼¼显然成立
上述各步均可逆
所以,结论成立

类型二、反证法：
反证法：_______________________________________________________________________
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（2）反证法的一般步骤：
a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；
b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。
（3）应用反证法的情形：
①直接证明困难;
②需分成很多类进行讨论．
③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题；
④结论为 “唯一”类命题；
（4）关键在于归缪矛盾：
a、与已知条件矛盾；b、与公理、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。

题型一　综合法：
例1 已知a,b,c是不全相等的正数，
求证：

例2 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c,且A,B,C成等差数列, a, b，c
成等比数列,求证△ABC为等边三角形.

练习：
1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形.

2、已知求证

题型二　分析法：
例2若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc。

练习:在锐角中,求证:

题型三　反证法：
例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.

例3、求证：是无理数。

练习：已知，，求证：不能同时大于。

1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，
求证：

3、若实数，求证：

4、 已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤

5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

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基础巩固
一、选择题
1．(2013·陕西理，7)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
2．(2013·浙江理，3)已知x、y为正实数，则(　　)
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
3．设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D．<1<ab
4．设0<x<1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是(　　)
A．a B．b
C．c D．不能确定
[点评]　可用特值法：取x＝，则a＝1，b＝，c＝2.
5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(　　)
A．x<<y<2xy B．2xy<x<<y
C．x<<2xy<y D．x<2xy<<y
6．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　　)
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
二、填空题
7．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．
8．设a＝，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小关系为________．
9．如果a＋b>a＋b，则实数a、b应满足的条件是________．

三、解答题
10．(2013·华池一中高三期中)已知n∈N*，且n≥2，求证：>－.
能力提升
一、选择题
11．(2013·大庆实验中学高二期中)设函数f(x)的导函数为f ′(x)，对任意x∈R都有f ′(x)>f(x)成立，则(　　)
A．3f(ln2)>2f(ln3) B．3f(ln2)<2f(ln3)
C．3f(ln2)＝2f(ln3) D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定
12．要使－<成立，a、b应满足的条件是(　　)
A．ab<0且a>b B．ab>0且a>b
C．ab<0且a<b D．ab>0且a>b或ab<0且a<b
13．(2014·哈六中期中)若两个正实数x、y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对任意m、n都有：
(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：
①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；
其中正确的结论个数是(　　)个．
A．3 B．2
C．1 D．0
二、填空题
15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，
则cos(α－β)＝________.
三、解答题
16．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，
求证：＋＞.
17．求证：－2cos(α＋β)＝.
备用例题1：已知
求证：

备用例题2: 已知，求证：cos－sin＝3(cos＋sin)．

一、选择题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　　)
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为(　　)
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是(　　)
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a、b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是(　　)
A．a<b
B．a≤b
C．a＝b
D．a≥b
6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，c＋，b＋中(　　)
A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2
D．至少有一个不小于－2
8．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(　　)
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是(　　)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
10．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn<xn＋1，或者对任意正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为(　　)
A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
二、填空题
11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．
12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．
13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为____________．
14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：
假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.
显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．
三、解答题
15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.

16． 已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.

17．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.
(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．

18．(2010·湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn＝n－1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．

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