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复合函数的性质及其应用
有关函数的知识是高中数学的重要内容，也是高考及竞赛的重点、热点，同时也是难点。由几种初等函数复合而成的函数更因其概念抽象，综合程度较高，解题方法灵活，给教与学带来了一些困难，现行教科书上并未对其作系统介绍，本文拟讨论形如y=f[g(x)]的复合函数的几个性质及其应用。
复合函数的定义：一般地，若函数y=f(u)的定义域为P，而函数u=g(x) 的定义域为M，值域为C，并且C包含在P内，那么对于M内的每一个值x经过中间变量u，相应地得到唯一确定的一个值y，于是y经过中间变量u而成为x的函数，记为：y=f[g(x)]。这种函数称为复合函数。（函数u=g(x)的值不超过函数y=f(u)的定义域是极重要的）。y=f(u)叫做复合函数的外函数，u=g(x)叫做复合函数的内函数。

一、 定义域 ：复合函数y=f[g(x)]的定义域是函数u=g(x)的定义域中使值属
于y=f(u)的定义域的部分。
例1， 设函数f(x)的定义域是[0，4]，求函数f()的定义域
解：∵f(x)的定义域为[0，4] ∴0≤≤4， 即-2≤x≤2

x
x
u
y
M
P
Q
g:
f:

x
x
u
y
M
P
Q
g:
f:

x
x
u
y
M
P
Q
g:
f:

x
x
u
y
M
P
Q
g:
f:

x
x
u
y
M
P
Q
g:
f:

x
x
u
y
M
P
Q
g:
f:

∴f()的定义域为 [-2，2]
二、值域：求复合函数的值域时即要考虑内函数的值域又要兼顾外函数的定义域。
例2 求函数的值域
解：∵ 又
∴
又0.5＜1由 的单调性可知值域为
三、复合函数的单调性。
性质：若y=f(u)，u=g(x)都是单调函数，则y=f[g(x)] 在它的定义域内也是单调函数。若y=f(u)为增函数，则y=f[g(x)]的增减性与u=g(x)的增减性相同，若y=f(u)为减函数则y=f[g(x)]的增减性与u=g(x)的增减性相反，在教学中可总结为“同则增，异则减”。
证明：若y=f(u)，u=g(x)都是增函数，在y=f[g(x)]定义域内任取 则 从而 ]
这就证明了y=f[g(x)]为增函数。其他情况可仿此证明。
例3 讨论 x∈R的单调性
解：此函数是由，u=sinx 复合而成的
因在R上为增函数
所以原函数的单调性与函数u=sinx的单调性一致
可得函数在 上为增函数
在 上为减函数
例4 求函数 的单调区间
解法一：此函数是由， 复合而成的
由 得函数定义域为 [-3，1]
又因 在上为增函数，
在上为减函数
∩[-3，1]=[-3，-1] ， ∩[-3，1]=[-1，1]
由复合函数的性质可知原函数在 [-3，-1] 上为增函数，
在 [-1，1] 上为减函数。
一般地，求复合函数y=f[g(x)]单调区间，首先求函数的定义域再分别讨论y=f(u)及u=g(x)的单调性，最后确定y=f[g(x)]的单调区间，其代数运算往往较烦琐。函数图象是函数关系的一种直观语言，借助一些常用函数的图象求解单调区间，往往可避开繁杂的运算。
解法=（数形结合）： 在上为增函数
（如图）
由图可知原函数在 [-3，-1] 上为增函数，
在 [-1，1] 上为减函数。 例4 设函数，求使f(x)在（-∞ ,0） 内单调递减，而在（1, +∞）内单调递增的所有实数k的取值。
解: 此函数是由，复合而成的
由于在（0, +∞）上是增函数，复合函数的单调性可知
则g(x)在（-∞, 0）内单调递减，而在（1, +∞）内单调递增
又由对数函数的定义域知，在（-∞, 0），（1, +∞）内g(x)＞0
故二次函数g(x) 的图象 ①开口向上，
② 对称轴属于 [0, 1]
③g(0)≥0，g(1)≥0（如图）
得： 解得：0≤k≤

若y=f(x)具有单调性由复合函数单调性很容易得出以下结论：
1、y=f(x)与y=-f(x)的单调性相异;
2、若f(x)≠0则y=f(x)与的单调性相异;
3、若f(x)＞0则y=f(x)与的单调性一致.
例5 讨论 的单调性
解：∵ 是奇函数
∴在(-∞, 0)与(0, +∞)上具有相同的单调性， 当x＞0时

递增 递减 递减递增。又f(0)=0，x＞0时，f(x)＞0，x＜0时f(x)＜0，
∴ 在(-∞,+∞)上为增函数
此题如用单调性的定义判定将会很复杂。

四、复合函数y=f[g(x)]的周期性：
由周期函数的定义很容易得出，函数u=g(x)是R上的周期函数时，u∈M，f(u) 在M上有定义，则f[g(x)]也是R上的周期函数。
（ f[g（x+T）]= f[g(x)] ）
即：内函数为周期函数则复合函数为周期函数。
但外函数为周期函数时，复合函数未必是周期函数。
例y=lg（sinx）在定义域内是周期函数，但y=sin(lgx) 不是周期函数
五、复合函数y=f[g(x)]的奇偶性：由函数奇偶性定义很容易得到。
1、如u=g(x)为奇函数，y=f(u)为奇(偶)函数则复合函数为y=f[g(x)]奇(偶)函数;
2、如u=g(x)为偶函数，y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]必为偶函数。
证明2 ∵ f[g(-x)]= f[g(x)] ∴y=f[g(x)]为偶函数。
其他情况可仿此证明。
函数是一个很大的课题，复合函数是单一函数的整合与拓展，它很好地体现了运动变化、相互联系、相互制约等这些函数思想，在教学中应给予充分的重视，学生通过学习函数的复合能更深地理解函数思想，从而达到提高学生能力的目的。

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