matlab《数字图像处理》第8章-傅立叶变换PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,8,章 图像傅立叶 变换,1,2,学习重点,二维傅立叶变换的定义,二维傅立叶变换的性质,二维傅立叶变换,matlab,实现,3,学习内容,8.1,一维傅立叶变换,8.2,二维傅立叶变换,8.3,傅立叶变换的性质,8.4 matlab,傅立叶变换的实现,8.5,傅立叶变换的应用简介,4,为什么要在频率域研究图像增强,可以利用,频率成分,和,图像外表,之间的对应关系。一些在空间域表达困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。,滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质,给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具,5,为什么要在频率域研究图像增强,可以在频域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导,一旦通过频域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行,一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域采用硬件实现它,6,法国数学家傅立叶,(,生于,1768,年,),在,1822,年出版的,热分析理论,一书中指出,:,任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级数。,20,世纪,50,年代后期,快速傅立叶变换算法出现,得到了广泛的应用。,8.1,一维傅立叶变换,7,8,1,）一维连续函数的傅立叶变换（,FT,）,定义：若函数满足狄里赫利,(Dirichlet),条件：,1,）具有有限个间断点；,2,）具有有限个极值点；,3,）绝对可积，,则下列变换成立：,傅立叶正变换：,傅立叶反变换：,8.1,一维傅立叶变换,9,如果,为实函数，傅立叶变换用复数表示：,用指数形式表示：,傅立叶谱：,相角：,能量谱：,10,离散函数,f,(,x,)(,其中,x,，,u=0,1,2,M-1),的傅 立叶变换,:,F,(,u,),的反变换,:,计算,F(u),：,1),在指数项中代入,u=0,，然后将所有,x,值相加,2)u=1,，复对所有,x,的相加；,3),对所有,M,个,u,重复此过程，得到完整的,FT,。,2,）一维离散傅立叶变换（,DFT,）,11,离散傅里叶变换及其反变换总存在。,用欧拉公式得,每个,F(u),由,f,(,x,),与对应频率的正弦和余弦乘积和组成,；,u,值决定了变换的频率成份，因此，,F(u),覆盖的域,(u,值,),称为频率域，其中每一项都被称为,FT,的频率,分量。与,f,(,x,),的,“,时间域,”,和,“,时间成份,”,相对应。,12,傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的分色棱镜把白光按波长,(,频率,),分成不同颜色，称数学棱镜。,傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量,13,傅立叶变换在极坐标下表示,:,频率谱,相位谱,功率谱,14,f(x),是一门函数，如图所示，它表示为：,求其傅立叶变换,F(u),15,解：,16,对应的傅立叶谱为,：,17,简单函数的傅里叶谱,M,点离散函数及其傅里叶频,谱,(M=1024,A=1,K=8),；,对应的傅里叶频谱,曲线下面积：当,x,域加倍时，频率谱的高度也加倍；当函数长度加倍时，相同间隔下频谱中零点的数量也加倍。,18,8.2,二维傅立叶变换,1,）二维连续函数傅立叶变换（,2DFT,）,定义,:,若,f(x,y),是连续图像函数,反变换,:,正变换,:,变换对,:,19,幅度谱、相位谱、能量谱,一般,F(u,v),是复函数,即,:,幅度谱,:,相位谱,:,能量谱,:,20,定义,:,若,f(x,y),是离散图像函数，为,MN,维大小（通常,M=N,），则其傅立叶变换为：,正变换,:,反变换,:,2),二维离散傅立叶变换,21,1,）,可分离性：正反变换都具有分离性,8.3,二维傅立叶变换的性质,22,1,）,可分离性：正反变换都具有分离性,利用二维傅立叶变换的可分离性，可将二维,DFT,转化 成一维,DFT,计算。即，先在,x,（或,y,）方向进行一维,DFT,，再在,y,（或,x,）方向进行一维,DFT,23,2,）,平移性,公式（,1,）：,24,2,）,平移性,：,公式（,2,）：,25,2,）平移性,：,26,3,）分配律,：,27,3,）,尺度变换（缩放）,：,28,5,）旋转性,则：,此式含义是：当原图像旋转某一角度时，,FT,后的图像也旋转同一角度。,29,旋转性举例：,原图像及其傅立叶幅度谱图像,原图像旋转,45,，其幅度谱图像也旋转,45,30,6),周期性和共轭对称性,31,6,）周期性和共轭对称性,32,7,）平均值,33,7,）平均值,34,8,）卷积定理,*,卷积,乘积,则：,35,9,）相关定理,则：,*,共轭,乘积,相关,36,卷积和相关理论总结：,卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带。,37,相关性匹配举例,延拓图像,f(x,y),相关函数图像,离散傅立叶变换应用中的问题,1),频谱的图像显示,谱图像就是把,|F(u,v)|,作为亮度显示在屏幕上。,由于在傅立叶变换中,F(u,v),随,u,，,v,衰减太快，直接显示高频项只能看到一两个峰，其余都不清楚。为了符合图像处理中常用图像来显示结果的惯例，通常用,D(u,v),来代替，以弥补只显示,|F(u,v)|,不够清楚这一缺陷。,D(u,v),定义为：,38,2,39,下图给出了一维傅立叶变换原频谱,|F(u)|,图形和,D(u),图形的差别。原,|F(u)|,图形只有中间几个峰可见，图,(b),为处理后,D(u),的图形。,2),频谱的频域移中,常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心的公式，其结果中心最亮点却在图像的左上角，作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角，这和我们正常的习惯不同，因此，需要把这个图像的零点移到显示的中心。例如把,F(u,v),的原零点从左上角移到显示屏的中心。,40,2,41,当周期为,N,时，应在频域移动,N,2,。利用傅立叶的频域移动的性质：,当,u,0,=v,0,=N/2,时,在作傅立叶变换时，先把原图像,f,(,x,y,),乘以,(-1),x+y,，然后再进行傅立叶变换，其结果谱就是移,N,2,的,F(u,v),。其频谱图为,|F(u,v)|,。,42,移中性：变换后主要能量（低频分量）集中在频率平面的中心。,未移中的变换：,FT,移中的变换：,能量集中于中心,移中,FT,原图像,f,（,x,，,y,）,能量分布于四角,43,8.4,matlab,傅立叶变换的实现,在,matlab,中，一维快速傅立叶变换函数,fft,调用格式如下：,Y=fft(X),：返回向量,X,的离散傅立叶变换,Y=fft(X,n),：返回,n,点的傅立叶变换,Y=fft(X,dim),：表示在维数,dim,上应用,fft,算法,Y=fft(X,n,dim),44,快速傅里叶变换,(,FFT,),并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换,(,DFT,),的一种算法。这种方法是在分析离散傅里叶变换,(,DFT,),中的多余运算的基础上，进而消除这些重复工作的思想指导下得到的，所以在运算中大大节省了工作量，达到了快速的目的。,45,N,维傅立叶变换：,Y=fftn(X),返回,X,的多维离散傅立叶变换，结果,Y,和,X,的大小一致。,把傅立叶变换的零频率部分移到频谱的中间，使用,fftshif,函数，调用格式如下：,Y=fftshift(X),把,fft,函数、,fft2,函数和,fftn,函数输出的结果的零频率部分移到数组的中间。对于向量，把,X,的左右部分交换，对于矩阵，把,X,的第一、三象限和二、四象限交换,46,8.5,傅立叶变换的应用简介,1,）,图像的傅立叶分析,%,已知一幅,30*30,大小的二值图像，在图像中间有个长为,5,高为,20,的白色区域，其它区域为黑色,%,对这幅图进行傅立叶变换分析（主要用用,FFT,算法）,clc,clear all,f=zeros(30,30);,f(5:24,13:17)=1;,%,定义图像数组,figure(),imshow(f,InitialMagnification,fit);,47,F=fft2(f);,%,二维傅立叶变换（,fft,算法）,figure(),mesh(fftshift(abs(F);,%,绘制频谱图,F2=fftshift(log(1+abs(F);,figure(),imshow(F2,-1 5,InitialMagnification,fit);,%,显示频谱图像，频谱的零频率系数被移到频谱中间,colormap(jet);colorbar,48,%,在上面的变换前的矩阵没有被填充，下面比较填充矩阵后的情况,F=fft2(f,256,256);,%,在变换前,f,被用,0,填充成,256*256,的矩阵，变换后的矩阵大小也是,256*256,figure(),imshow(fftshift(log(1+abs(F),-1 5);,colormap(jet);colorbar,49,变换前的图像,傅立叶变换后的频谱图,50,未填充的傅立叶变换后,频谱图像,填充后的傅立叶变换后,频谱图像,51,（,a,）原始图像 （,b,）离散傅里叶频谱,二维图像及其离散傅里叶频谱的显示,52,图,a,）乘以一指数,e,-1,，将图像亮度整体变暗，并求其中心移到零点的频谱图,（,a,）变暗后的图 （,b,）变暗后中心移到零点的频谱图,当图片亮度变暗后，中央低频成分变小。故从中可知，中央低频成分代表了图片的平均亮度，当图片亮度平均值发生变化时，对应的频谱图中央的低频成分也发生改变。,53,54,图（,a,）加入高斯噪声，得出一个有颗粒噪音的图，并求其中心移到零点的频谱图,（,a,）有颗粒噪音 （,b,）有颗粒噪音 中心移到零点的频谱图,55,%,已知一幅,1000*1000,大小的二值图像，中间为,50*300,的白色区域，其它区域为黑色,%,下面研究这幅图像的傅立叶变换的平移特性,(,左右平移,),clc,clear all,close all,f=zeros(1000,1000);,f(350:649,475:524)=1;,%,定义图像,2,）傅立叶性质（平移）,56,subplot(221),imshow(f,InitialMagnification,fit);,title(,原始图像,);,subplot(222),F=fftshift(abs(fft2(f);,imshow(F,-1 5,InitialMagnification,fit);,title(,原始图像的傅立叶变换频谱,);,subplot(223),57,f=zeros(1000,1000);,f(350:649,800:849)=1;,imshow(f,InitialMagnification,fit);,title(,向,X,轴方向移动后的图像,);,subplot(224),F=fftshift(abs(fft2(f);,imshow(F,-1 5,InitialMagnification,fit);,title(,向,X,轴方向移动后的傅立叶变换频谱,);,58,59,%,已知一幅,1000*1000,大小的二值图像，中间为,50*300,的白色区域，其它区域为黑色,%,下面研究这幅图像的傅立叶变换的平移特性,(,上下平移,),clc,clear all,close all,f=zeros(1000,1000);,f(350:649,475:524)=1;,%,定义图像,subplot(221),imshow(f,InitialMagnification,fit);,title(,原始图像,);,上下平移,60,subplot(222),F=fftshift(abs(fft2(f);,imshow(F,-1 5,InitialMagnification,fit);,title(,原始图像的傅立叶变换频谱,);,subplot(223),f=zeros(1000,1000);,f(50:349,475:524)=1;,imshow(f,notruesize);,title(,向,X,轴方向移动后的图像,);,61,subplot(224),F=fftshift(abs(fft2(f);,imshow(F,-1 5,notruesize);,title(,向,X,轴方向移动后的傅立叶变换频谱,);,62,63,%,已知一幅,1000*1000,大小的二值图像，中间为,50*300,的白色区域，其它区域为黑色,%,下面以这幅图像为例来研究傅立叶变换的旋转特性,clc,clear all,close all,f=zeros(1000,1000);,f(350:649,475:524)=1;,%,定义图像,subplot(221),imshow(f,notruesize);,title(,原始图像,);,3,）傅立叶性质（旋转）,:,64,subplot(222),F=fftshift(abs(fft2(f);,imshow(F,-1 5,InitialMagnification,fit);,title(,原始图像的傅立叶变换频谱,);,subplot(223),f=zeros(1000,1000);,f(350:649,475:524)=1;,f=imrotate(f,45,bilinear,crop);,%,以图像中心为将原点旋转,45,度,imshow(f,notruesize);,title(,图像正向旋转,45,度,);,65,subplot(224),F=fftshift(abs(fft2(f);,imshow(F,-1 5,InitialMagnification,fit);,title(,图像正向旋转,45,度的傅立叶变换频谱,);,66,67,4,）比例尺度展宽,（,a,）,原始图像,（,b,）比例尺度展宽前的频谱,（,c,）比例尺度,a,=0.1,，,b,=1,，展宽后的频谱,68,%,模块匹配实例,%,傅立叶变换可以应用于图像中定位目标图，也叫做模式匹配。,%,通常做法是：将图像和旋转,90,度后的模式图像（定位目标图）,%,做相关运算，然后对结果取一定的阈值,clc,clear all,close all,bw=imread(text.png);,a=bw(32:45,88:98);,%,从图像中提取字码“,a”,5,）,傅立叶性质（相关）,模板匹配,69,subplot(221),imshow(bw);,subplot(222),imshow(a),C=real(ifft2(fft2(bw).*fft2(rot90(a,2),256,256);,%,图像和定位模块图像旋转,90,度的傅立叶变换后做点乘运算，再返回空间域,%,也就是相当于相关运算,subplot(223),imshow(C,),max(C(:),70,%,寻找矩阵,C,的最大值,thresh=60;,%,根据最大值确定阈值,60,subplot(224),imshow(Cthresh),%,显示大于阈值的像素点,71,对一副图片求其幅值谱和相位谱，并对幅值谱和相位谱分别进行图像构，对比其所求结果。,（,a,）原图,6,）,傅立叶的幅度谱和相位谱,72,（,b,）幅值谱 （,c,）相位谱 （,d,）幅值谱重构图像（,e,）相位谱重构图像,图,4.12,傅里叶图像及其傅里叶变换,73,对图（,a,）进行离散傅里叶变换，得出幅值谱,图（,b,），相位谱图（,d,）及幅值谱重构图像图（,c,），,相位谱重构图图（,e,）。从实验结果可以看出，从,幅,值谱图像中得到的信息比在相位谱图像中得到的信息,多,，但,对幅值谱图像重构后，即忽略相位信息，将其,设为,0,，所得到的图像与原始图像相比，结果差别很,大；,而对相位谱图像重构后，及忽略幅值信息，将其,设为常数，可以从中看出图像的基本轮廓来。,74,75,8,）,傅立叶其它的应用,频域增强,变换域增强是首先经过某种变换（如傅里叶变换）将图像从空间域变换到变换域，然后在变换域对频谱进行操作和处理，再将其反变换到空间域，从而得到增强后的图像。,在变换域处理中最为关键的是变换处理。在图像增强处理中，最常用的正交变换是傅里叶变换。当采用傅里叶变换进行增强时，把这种变换域增强称为频域增强。,低通滤波,图像从空间域变换到频率域后，其低频分量对应图像中灰度值变化比较缓慢的区域，高频分量则表征图像中物体的边缘和随机噪声等信息。,高通滤波,图像的边缘、细节主要在高频，图像模糊是由于高频成分较弱产生的。为了消除模糊，突出边缘，可以采用高通滤波的方法，使低频分量得到抑制，从而达到增强高频分量，使图像的边沿或线条变得清晰，实现图像的锐化,76,2,77,8.6,小结,一维傅立叶变换,二维傅立叶变换,通过,matlab,图像处理加强对傅立叶性质的掌握,了解傅立叶变换的应用,