自选模块高考数学不等式选讲.docx

数 学
1．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.
（I）证明：-3≤f（x）≤3；
（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.
2. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲
设函数（1）当时，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集为，求的值。
分析：解含有绝对值得不等式，一般采用零点分段法，去掉绝对值求解；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再及原解集对比可得字母的值；
解：（Ⅰ）当时，不等式，可化为，
，所以不等式的解集为
（Ⅱ）因为，所以，，可化为，

即
因为，所以，该不等式的解集是，再由题设条件得
点评：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性及正确性。
3.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：
解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。
原不等式等价于：，解集为.
4．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式的解集为M．
（I）求集合M；
（II）若a，b∈M，试比较ab+1及a+b的大小．
解析：本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归及转化思想，满分7分。
解：（I）由
所以
（II）由（I）和，
所以
故

1.(2011年高考辽宁卷理科23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统及参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）曲线C2的参数方程为（，为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=及C1，C2各有一个交点.当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合.
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a及b的值；
(II)设当=时，l及C1，C2的交点分别为A1，B1,当=-时，l及C1，
C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积.
2. (2011年高考全国新课标卷理科23) （本小题满分10分）选修4-4坐标系及参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)
M是曲线上的动点，点P满足，（1）求点P的轨迹方程；（2）在以D为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线及曲线，交于不同于原点的点A,B求
3.(2011年高考江苏卷21)选修4-4：坐标系及参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且及直线（为参数）平行的直线的普通方程。
解析：考察参数方程及普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系，中档题。椭圆的普通方程为右焦点为（4，0），直线（为参数）的普通方程为，斜率为：；所求直线方程为：.
4.(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系及参数方程
在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
．
（I）已知在极坐标（及直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P及直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解析：本小题主要考查极坐标及直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归及转化思想。满分7分。
解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，
从而点Q到直线的距离为
，
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为

已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线
（t为参数）距离的最小值。
（23）解：
（Ⅰ）
为圆心是（，半径是1的圆.
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）当时，
为直线
从而当时，
24、已知实数满足，且有
求证：

25、已知，求证：

26、已知，且
求证：

27、（1）.、为非负数，+=1，，求证：；
（2）.已知实数满足，试求的最值

28、已知正数满足.
（1） 求证: ;
（2） 求的最小值.

29、设a, b, g 都是锐角，且sina + sinb + sing = 1, 证明
(1) sin2a + sin2b + sin2g ³ ;
(2) tan2a + tan2b+tan2 g ³.

24、证明：
是方程的两个不等实根，
则，得
而
即，得
所以，即
25、证明：

26、证明：显然
是方程的两个实根，
由得，同理可得，
27、
（∵+=1）
（2）解：由柯西不等式得，有
；即
由条件可得， ；解得，当且仅当 时等号成立，代入时，
时
28、（1）解：根据柯西不等式，得

因为,所以.
（2）解：根据均值不等式, 得,
当且仅当时, 等号成立.
根据柯西不等式, 得,
即 ,当且仅当时, 等号成立.
综上, .
29、证明：(1)由柯西不等式得：（sin2a + sin2b + sin2g）（1+ 1+ 1）³ (1·sina + 1·sinb + 1·sing)2 ,
因为sina + sinb + sing = 1, 所以3(sin2a + sin2b + sin2g) ³ 1,得: sin2a + sin2b + sin2g ³ .
(2) 由恒等式tan2x = 和若a , b , c > 0，则³,
得tan2a + tan2b + tan2 g = ++– 3 ³ – 3.
于是=³ =,
由此得tan2a + tan2b + tan2 g ³– 3 =.

1.已知正数满足.
(1) 求证: ;
(2) 求的最小值.

(1) 解: 根据柯西不等式，得

　　 ,
因为,
所以. …………（5分）
(2) 解: 根据均值不等式, 得
,
当且仅当时, 等号成立.
根据柯西不等式, 得
,
即 ,
当且仅当时, 等号成立.
综上, .
当且仅当,,时, 等号成立,
所以的最小值为18 . …………（10分
2.在极坐标系中, 极点为O. 曲线C: , 过点A(3,0)作两条互相垂直的直线及C分别交于点P, Q和M, N.
(1) 当时, 求直线PQ的极坐标方程;
(2) 求的最大值.
(1) 解: 因为,
故 |MN|=|PQ| .
所以直线PQ的倾斜角为45°或135°,
即直线PQ的极坐标方程是
, 或 . …………（5分）
(2) 解: 因为8≤|MN|≤10, 8≤|PQ|≤10,
故 .
又函数在(0, 1]上单调递减, 在[1, + ∞) 上单调递增,
所以 ,
当PQ为极轴所在的直线, MN为过点A且垂直于极轴的直线时, 等号成立.
因此 的最大值为 . …………（10分）

3.设a，b，c为正实数，求证：．
【解析】：因为为正实数，由平均不等式可得
即
所以，
而
所以
4.已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
证明：（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
①
所以 ②
故.
又 ③
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。
（证法二）
因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

所以 ①
同理 ②
故
③
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。

5. 已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线
（t为参数）距离的最小值。
（Ⅰ）
为圆心是（，半径是1的圆.
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）当时，
为直线
从而当时，
6.已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lga,是否存在实数α、β使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论.
解析：∵f(n)=f(n-1)+lgan-1,令n=2,则f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.
又f(1)=-lga,∴
∴f(n)=(n2-n-1)lga.
证明：（1）当n=1时，显然成立.
（2）假设n=k时成立，即f(k)=(k2-k-1)lga,则n=k+1时，f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga=(k2-k-1+k)lga=［(k+1)2-(k+1)-1］lga.
∴当n=k+1时，不等式成立.
综合（1）、（2），可知存在实数α、β且α=,β=-,使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任意n∈N*都成立.
7.在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3，
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．
解：(1)设M(ρ，θ)为圆C上任一点，OM的中点为N，
∵O在圆C上，∴△OCM为等腰三角形，
由垂径定理可得|ON|＝|OC|cos，
∴|OM|＝2×3cos，
即ρ＝6cos为所求圆C的极坐标方程．
(2)设点P的极坐标为(ρ，θ)，因为P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，所
以点Q的坐标为，由于点Q在圆上，所以ρ＝6cos.故点P的轨迹方程为ρ＝10cos.
8.设函数 ，成立时的x的取值范围．

--------2分
①当时，

---------3分
②
当时，

---------------------------------------4分
③当时，

综上 --------------------------5分

9.若，观察下列不等式：

请你猜测满足的不等式，并用数学归纳法加以证明.
解：满足的不等式为 ,证明如下：
(1)当n=2时，猜想成立；
(2)假设当n=k时，猜想成立，即，
那么n=k+1时
则当n=k+1时猜想也成立，根据(1)(2)可得猜想对任意的n(n)都成立.
已知对于任意非零实数，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：即恒成立
（2分）
只需
　（1）当时，原式，即　　　　（5分）
　（2）当时，原式，即　（7分）
（3）当时，原式，即　　　　　（9分）
综上的取值范围为 （10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=及C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a及b的值；
（II）设当=时，l及C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l及C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：
（I）C1是圆，C2是椭圆.
当时，射线l及C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.
当时，射线l及C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.
（II）C1，C2的普通方程分别为
当时，射线l及C1交点A1的横坐标为，及C2交点B1的横坐标为

当时，射线l及C1，C2的两个交点A2，B2分别及A1，B1关于x轴对称，因此，
四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为 …………10分
在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．
（I）求的方程；
（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线及的异于极点的交点为A，及的异于极点的交点为B，求|AB|.
解：
（I）设P(x，y)，则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即
从而的参数方程为
（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
射线及的交点的极径为，
射线及的交点的极径为．
所以.
数学选修1B题组
（一）
题号：03
“数学史及不等式选讲” 模块（10分）

题号：04
“矩阵及变换和坐标系及参数方程”模块(10分)
在极坐标系中，极点为Ａ，已知“葫芦”型封闭曲线由圆弧ＡＣＢ和圆弧ＢＤＡ组成．已知
（１）求圆弧ＡＣＢ和圆弧ＢＤＡ的极坐标方程；
（２）求曲线围成的区域面积．

（二）
题号：03
“数学史及不等式选讲”模块（10分）
已知实数满足，设
（1）求的最小值
（2）当时，求z的取值范围

题号：04
“矩陈及变换和坐标系及参数方程”模块（10分）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为，点M的极坐标为．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径.
（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程
（2）试判定直线l和圆C的位置关系

（三）
题号：03
“数学史及不等式选讲”模块（10分）
设正数x，y，z满足 　　　　　　 （1）求证：；　　　　
（2）求值．

题号：04
矩阵及变换和坐标系及参数方程”模块（10分）
已知P（1，）是椭圆等内一定点，椭圆上一点M到直线 的距离为d．
（1）当点M在椭圆上移动时，求d的最小值；
（2）设直线MP及椭圆的另一个交点为N，求|PM|·| PN |的最大值．

（四）
题号：03
“数学史及不等式选讲”模块（10分）
（1）求函数的最大值；
（2）若函数最大值为，求正数a的值．

题号：04
坐标系及参数方程”模块（10分）
等腰直角，点A在
x轴的非负半轴上运动，点B在y轴的非负半轴上运动。设，

（1）写出时，P点的坐标；
（2）写出P点轨迹的参数方程（为参数）；
（3）设P点的轨迹形成的曲线为C，求曲线C的长度．

（五）
题号：03
“数学史及不等式选讲”模块（10分）

用数学归纳法证明不等式：
已知，

题号：04
“矩阵及变换和坐标系及参数方程”模块(10分)
已知直线求直线的斜率；
若是椭圆内一点，及椭圆相交于A、B两点，且成等比数列（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程．

（六）
题号：03
“数学史及不等式选讲”模块（10分）
设x，y，z∈R，x2+y2+z2=1．　　 (Ⅰ)求x + y + z的最大值；　　 (Ⅱ) 求x + y的取值范围．

题号：04
“矩阵变换和坐标系及参数方程” 模块（10分）
在极坐标系中，极点为Ο．己知圆C的圆心坐标为的极坐标方程为 (Ⅰ)求圆C的极坐标方程；
(Ⅱ)若圆C和直线l相交于A，B两点，求线段AB的长。

（七）
题号：03
“数学史及不等式选讲”模块（10分）
设x , y , z > 0, x + y + z = 3 , 依次证明下列不等式,
（1）( 2 –) £ 1；　　　　　　　 （2）³；
（3）++³ 2.

题号：04
“矩阵及变换和坐标系及参数方程”模块（10分）
已知双曲线的中心为Ｏ，实轴、虚轴的长分别为2a,2b(a<b)，若P，Q分别为双曲线上的两点，且OP⊥OQ.
（1）求证: +为定值；
（2）求△OPQ面积的最小值.

（八）
题03
“数学史及不等式选讲”模块（10分）
已知，（1）求证：；（2）求的最小值.

题04
“矩阵及变换和坐标系及参数方程”模块（10分）
已知直线（t为参数）
（1）当时，求直线l的斜率；
（2）若是圆O： 内部一点，及圆O交于A、B两点，且 成等比数列，求动点P的轨迹方程．

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