中考复习反比例函数与一次函数综合初三.docx

总复习-第三讲 反比例函数及一次函数的综合
一.教学目标
1.掌握反比例函数和一次函数的定义，性质及熟悉常见考法的题型
2.两类函数综合考法
二．教学重难点
1.出现考题，知道做题的思路及方法
2.作为压轴题，反比例函数及一次函数的考法和知识点之间的灵活运用。
三．教学内容
考点速记
一、一次函数和正比例函数的定义
一般地，如果y=kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．
特别地，当b=0时，一次函数y=kx＋b就成为y=kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．
二、一次函数的图象及性质
1．一次函数的图象
（1）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线．
（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过点(0，0)和(1，k)的一条直线．
（3）因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．
2．一次函数图象的性质
函数
系数取值
大致图象
经过的象限
函数性质

y=kx
(k≠0)

k＞0

第一，三象限
y随x增大而增大
k＜0

第二，四象限
y随x增大而减小
y=kx＋b
(k≠0)
k＞0，b＞0

第一，二，三象限
y随x增大而增大
k＞0，b＜0

第一，三，四象限
k＜0，b＞0

第一，二，四象限
y随x增大而减小
k＜0，b＜0

第二，三，四象限
一次函数y=kx＋b的图象可由正比例函数y=kx的图象平移得到，b＞0，上移b个单位；b＜0，下移|b|个单位．
三、利用待定系数法求一次函数的解析式
因为在一次函数y=kx＋b(k≠0)中有两个未知数k和b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)代入得，求出k，b的值即可，这种方法叫做待定系数法．
四、一次函数及方程、方程组及不等式的关系
1．y=kx＋b及kx＋b=0
直线y=kx＋b及x轴交点的横坐标是方程kx＋b=0的解，方程kx＋b=0的解是直线y=kx＋b及x轴交点的横坐标．
2．一次函数及方程组
两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解，以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．
3．y=kx＋b及不等式kx＋b＞0
从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．
五、反比例函数的概念
一般地，形如y=(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．
1．反比例函数y=中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数及x轴、y轴无交点．
2．反比例函数解析式可以写成xy=k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x及其对应函数值y之积，总等于已知常数k．
六、反比例函数的图象及性质
1．图象
反比例函数的图象是双曲线．
2．性质
（1）当k>0时，双曲线的两支分别在第一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别在第二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
【注意】双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．
（2）双曲线是轴对称图形，直线y=x或y=–x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．
核心考点 一次函数及反比函数图象关系
一次函数及反比函数综合题是广东省中考的热点，以解答题形式出现，主要考查待定系数法求一次函数及反比函数解析式，一次函数及反比函数的性质，利用函数图象解不等式等．
【经典示例】将直线向下平移1个单位长度，得到直线，若反比例函数的图象及直线相交于点，且点的纵坐标是3．
（1）求和的值；
（2）结合图象求不等式的解集．
答题模板
第一步，确定函数图象上的点：根据题意确定函数图象上已知的点．
第二步，求函数解析式：根据函数图象上点的特征利用待定系数法求函数解析式．
第三步，确定一次函数及反比函数的交点：利用函数解析式求出两个函数的交点．
第四步，观察图象：由图象确定不等式的解集．
模拟训练
如图，在直角坐标系中，直线及双曲线（x＞0）相交于P（1，m）．
（1）求k的值；
（2）若点Q及点P关于y=x成轴对称，则点Q的坐标为Q（ ）；
（3）若过P、Q两点的抛物线及y轴的交点为N（0，），求该抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

直击中考
1．（2017·广西贵港）如图，一次函数 的图象及反比例函数 的图象交于两点，且点的横坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标．

2．（2017·安顺）已知反比例函数y1=的图象及一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，–2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

3．（2017·湖北武汉）如图，直线及反比例函数的图象相交于A（–3，a）和两点．
（1）求的值；
（2）直线及直线相交于点，及反比例函数的图象相交于点．若，求的值；
（3）直接写出不等式的解集．

4．（2017·甘肃庆阳）已知一次函数y=k1x+b及反比例函数y=的图象交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，及x轴交于A点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）写出点P关于原点的对称点P'的坐标；
（3）求∠P'AO的正弦值．

5．（2017·浙江嘉兴）如图，一次函数（）及反比例函数（）的图象交于点A（–1，2），B（m，–1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在轴上是否存在点P（n，0），使为等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

6．（2015宁德）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（ ）

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
7．（2016广东省茂名市）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是 ．

8．（2016山东省济宁市）已知点P（，）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=计算．
例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d====．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；
（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q及直线的位置关系并说明理由；
（3）已知直线y=﹣2x+4及y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．

9．（2016四川省巴中市）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N．劣弧的长为，直线及x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）求证：直线AB及⊙O相切；
（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用π表示）

10．（2016四川省乐山市）如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

11．（2016黑龙江省绥化市）当k＞0时，反比例函数和一次函数y=kx+2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
12．（2016湖南省岳阳市）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式的解集是 ．

13．（2016浙江省舟山市）如图，已知一次函数的图象及反比例函数的图象交于点A（﹣4，m），且及y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数的图象上，且以点C为圆心的圆及x轴，y轴分别相切于点D，B
（1）求m的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）根据图象，当时，写出x的取值范围．

14．（2015玉林防城港）已知：一次函数的图象及反比例函数（）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA及此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．

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