复习备考题库答案专升本高等数学.doc

复习备考题库答案_专升本高等数学
全国教师教育网络联盟入学联考
（专科起点升本科）
高等数学备考试题库参考答案
2007秋
一、填空题
1． 2． 3．-1 4．
5．2 6． 7． 8．4
9． 10． 11． 12．
13． 14． 15． 16．-1
17． 18． 19．
20． 21． 及
22． 23．
24．
25．1 26． 27． 28．
29． 30． 31． 32 33． 34 35． 36. -2，2 37． 38. 8 39． 40 41． 42．1 43．4
44． 45．0 46．0，
47． 48．4 49．
50．
51． 52． 53. 0 54． 55．
56． 57．
58． 59． 60．
二、计算题
1. 解 因为 （2分）
， （4分）
根据函数在一点连续的定义，当时，在处连续. (5分)
2 ．解: 原式= (1分)
令， (3分) 原式=. … (5分) 3．解： …（3分）
…（5分）
4.解： …… （2分）
…… （4分）
… … （5分）
5. 解：对方程两边同时求导得
（2分）
有 （4分）
得
（5分）
6. 解： （3分）
（4分）
（5分）
7.解 令
原式 …… (2分)
…… (3分)
…… (4分)
…… (5分)
8．解：由可得到
……（4分）
于是 ……（5分）
9．解：先对积分，后对积分，则
………（2分）
………（3分）

………（5分）
10．解： 设 ………（1分）
………（3分）
………（4分）
………（5分）
11. 解： ……（3分）
……（5分）

12．解：
原式 （3分）
（5分）
13．（解法1）解： ……（2分）
…… （4分）
…… （5分）
（解法2）解：设 则 …… （2分）
导数的定义知
…… （4分）
…… （5分）
（解法3）解：根据积分中值定理
…… （2分）
…… （3分）
…… （5分）
14．解: 因为, …… (3分)
曲线在点(1,)处的切线方程为
.　 　 …… (5分)
15．解：对方程两端求导得
…… （3分）
故由 …… （5分）
16．解：
…… （2分）
（4分） …… （5分）
17．解： 原式 ……（2分）
……（4分）
……（5分）
18．解
……（3分） （5分）
19．解：原式= ……（1分）
= ……（3分）
= …… （4分）
== …… （5分）
20．解：原式= …… （2分）
= …… （3分）
= …… （4分）
= …… （5分）
21.解： …… （1分）
= … （2分）
…… （3分）
…… （4分）
在处不连续。 …… （5分）
22．解：原式= …… （3分）
…… （4分）
…… （5分）
23．解：
（1分）
（3分）
（4分）
（5分）
24．解： （2分）
(4分)
(5分)
25．解：在方程两边同时关于求导得
（4分）
所以. （5分）
26．解 ：首先用凑微分法得原积分
= …（2分）
再使用分部积分法，可求得
………（4分）
将代回即得

………（5分）
27．解： …… （1分）
……（2分）
……（4分）
=
= ……（5分）

28．解： （3分）
. （5分）
29. 解：原式= （3分）
＝ （4分）
（5分） 30. 解：
= …（2分）
令 ，即 =0
得 ，，
对应，， ……（4分）
故由点（0，0），（1，1），（2，0）处引的切线平行于轴 ……（5分）
31. 解： (2分)
（3分）
因为在点连续，所以，从而（5分）
32. 解： 原式 （3分）
（5分）
33. 解： （3分）
= （5分）
34. 解：
.令 ，得, （2分）
当时，， 当时，，
所以为极小点，极小值为 （5分）
35．解: 令. (2分)
因为， (3分)
， (4分)
所以. (5分)
36．解：原式= （2分）
（3分）
（4分）
（5分）
37．解: ……（2分）
= ……（4分）
= ……（5分）
38．解： （2分）
（5分）
39．解：
（1分）
（3分）
（5分）
40．解 ：设切点坐标为
（2分）
直线的斜率 （3分）
（4分）
所求的切线方程为 （5分）
41.解：因为函数在点连续，所以函数在该点的左右极限必相等。…（1分）
由 … （4分）
便可得到即 …… （5分）
42．解：原式
= （2分）
= （3分）
=0. （5分）
43． 解：原式 （3分）
（4分）
(5分)

44. 解：先求切线斜率得 （3分）
于是所求切线方程为 （4分）
即 （5分）
45. 解：令则有
……（2分）
于是 …（4分）
从而有 ……（5分）
46．解：原式 ……（3分）
……（5分）
47．解：原式 ……（1分）
……（3分）
……（4分）
……（5分）
48．解： ……（3分）
…（5分）
49．解：原式 ……（2分）
…… （3分）
…… （4分）
…… （5分）
50．解: = (3分)
(4分)
(5分)
51.解：首先，函数的定义域是整个数轴。 …… （1分）
其次令得到驻点为 ……（3分）
当时， ； 当时， ；
当时， 。
从而得其单调性如下：
单调增区间为单调减区间为. ……（5分）
52．解：原式= （3分）
. （5分）
53．解：原式 （3分）
（5分）
54．解：设切点坐标为
（2分）
直线的斜率 （3分）
（4分）
过的切线方程为
即 （5分）
55．解：在方程两边同时关于求导得
…… （4分）
所以 …… （5分）
56．解：原式 （2分）
（3分）
（5分）

57．解：原式 （2分）
（4分）
（5分）
58．解 （3分）
（5分）
59．解： （2分）
（4分）
（5分）
60．解：. （1分）
令，得驻点,　　　　　　　　 （2分）
（3分）
所以为极小值点，极小值为　 　（5分）
三、应用题
1．解：曲线及轴、轴以及直线所围区域为
……（3分）
所以面积 ……（6分）
……（7分）

2．解：（1） ………（1分）
………（3分）
………（4分）
令 得 ………（5分）

当时总利润最大 ………（6分）
（2）此时销售单价为 ………（7分）
3．解：曲线交点为（-1，1）和（2，4） （1分）
所围区域为 （2分）
故面积 （4分）
（6分）
（7分）
4．解： （2分）

令 得 （4分）

当 时利润最大 （5分）
最大利润为 （6分）
此时销售单价 （7分）
5．解：曲线交点为和 ……（1分）
所围区域为 ……（2分）
所以面积 ……（4分）
……（6分）
……（7分）
6．解： …（2分）
… （3分）
… （4分）
令 得 ……（5分）

当 时 即元）时 最大 …（6分）
元） … （7分）
7．解：由联立方程组，求得交点坐标(0,0),(,). (2分)
那么
（6分）
因为，所以. (7分)
8 ．解：设公寓的租金为x元/月，则租不出去的套数为 ，租出去的套数为 …… （2分）
于是租金收入为 …… （3分）
… （5分）
令　 得 而
所以当租金为1800元/月时，收入最大。 …… （7分）
9．解：解方程 解得 （2分）
故 （4分）

（6分）
（7分）
10．解：设航行的总费用为y，航程为s (km), 则航行时间为t=S/v (h)… （1分）
于是有， …… （3分）
…… （4分）
当时，， y单调递减；
当时，， y单调递增。 …… （6分）
所以 (km/h) 时，航行的总费用最低。 …… （7分）

11解：曲线交点为 （0，0）和 （1分）
（3分）
（4分）

（5分）
12．解：设一条短的底边为x, 则另一条底边为2x, 又设箱子高为h,
则由 得 （1分）
表面积 () (3分)

令 得唯一驻点 （5分）
由
可知当 时，表面积S最小，即底边为3 cm, 6cm, 高为4cm时，
表面积最小。 （7分）

四、证明题
1．证明：设 显然在[0,1]上连续 （2分）
又 （4分）
故由零点定理知

在（0,1）内至少有一个实根。 （6分）
2．证明： … （4分）
则
……（5分）
所以 …… （6分）
3．证明：设 ……（1分）
则 ……（3分）
所以为常数。 ……. （4分）
取 ，则有
所以 ……（6分）
4．证明 令，那么. (1分)
要证 ，只需要证.
根据计算知道， (2分)
(3分)
和. (4分)
因为和不同时等于1，得到，从而， (5分)
结果有 . (6分)
5．证明： 作辅助函数，
它在内连续 ……（1分）
取 ， …… （3分）
于是
…… （5分）
所以在上有解，
即直线及曲线至少有一个交点。 …… （6分）

6．证明：令 …（1分）
……（2分）
当时， …… （3分）
当时，是单调上升函数。 …… （4分）
又
当时 …… （5分）
即 . …… （6分）
15 / 15