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数学课程设计的基本问题第一章
《数学课程设计》
上 篇

第一章 数学课程设计的基本问题
第一节 课程及课程设计
一 、对课程内涵及其发展性的认识
二 、课程设计的基本模式及课程设计的变化趋势
第二节 制约数学课程设计的基本因素
一 、社会及数学课程
二 、数学及数学课程
三 、学生及数学课程
第三节 数学课程设计及现代发展
一 、国外数学课程设计的典型模式
二 、数学课程设计在当代的发展
第四节 建立可持续发展的数学课程
一 、可持续发展的教育理念及数学课程的发展
二 、可持续发展的数学课程的主要特征
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第一章 数学课程设计的基本问题

在21世纪，我们应该为学生设计一个什么样的数学课程？我们如何来设计这样的数学课程？这是数学课程改革中首先要面对的问题。
要回答这样的问题，首先得从数学课程论的现代理论入手，对数学课程设计的若干基本问题作一探讨。
由于数学课程设计从根本上要接受具有普遍性意义的课程设计原理的指导，因此在第一节，从一般课程论的角度，探讨了课程内涵的发展变化及对课程设计产生的影响，总结了课程设计的基本模式及若干变化趋势。
社会、学科、学生历来是课程设计的理论基础，也是课程赖以生长的三块基石。第二节，运用现代数学课程论的观点，结合数学课程构建中的具体问题，分析了制约和影响数学课程的三大基本因素，目的在于寻求三因素的平衡，以产生均衡发展的数学课程。
第三小节总结了20世纪50年代以来国际数学课程设计的一些典型模式，结合实例，着重剖析了数学课程设计模式在当代的一些新发展。
本章在最后，从时代发展的高度，提出数学课程设计的最终目标是构建一个可持续发展的数学课程，并对可持续发展的数学课程的主要特征进行了概括和分析。

回顾20世纪的数学教育改革及发展的历史，数学课程改革总是在每次改革运动中首当其冲。当人类进入21世纪，各国数学教育改革再次掀起热潮时，我们综观其发端，仍皆莫不始于课程之改革。而数学课程改革的首要工作又是数学课程设计。由此可见，数学课程设计在数学教育改革和数学课程建设中具有极其重要的地位。
本章，从一般课程理论的角度，结合数学课程的具体特征，对数学课程设计的若干基本问题作一探讨。
第一节 课程及课程设计
对“数学课程设计”（Curriculum Design in Mathematics）这一概念的理解首先要基于对“课程”内涵的理解，而“课程”这一课程论中最为基本的概念却又是一个词义极为丰富且处于不断发展变化之中的概念。
一、对课程内涵及其发展性的认识
课程（Curriculum）一词的提出，在西方首推英国著名教育家斯宾塞（H· Spencer），他在于1859年所发表的文章《什么知识最有价值》中提出该词，当时意指“教学内容的系统组织”。“Curriculum”一词源于拉丁语“currere”，意为“跑”。根据这个词源所揭示的本原意义，西方最常见的课程定义是“学习的进程”（从后面的分析中可以看出，课程内涵愈来愈被赋予了动态的意义，如活动、过程等，这是不是课程内涵的反璞归真呢）。
课程理论发展到今天，人们对课程内涵的界定已成多元化的格局，若将众多的界定进行梳理，可以归纳成这样几个维度：第一，学科、知识维度。这一维度，将课程看作是所讲授的学科，强调课程的知识组织及累积、保存功能。第二，目标计划维度。将课程视为教学过程要达到的目标、教学的预期结果或教学的预设计划。第三，经验、体验维度。这种课程定义是把课程视为学生在教师指导下所获得的经验或体验，以及学生自发获得的经验和体验。这一定义维度及前两种的最大差异在于，它将课程内涵的重心由学科知识或计划的客观侧面转移到了学习者的经验和体验的主观侧面。第四，活动维度。其基本观点认为，课程是人的各种自主活动的总和，学习者通过及活动对象的相互作用而实现自身各方面的发展。
其实，自从20世纪80年代以后，课程的内涵继续发生着更深层的变化，它超越了学科或教学计划的涵义，也不再仅指学习者的经验或活动，它愈来愈成为一种“符号表征”（symbolic representation）或“文本”（text），通过这种“文本”可以解读或建构出多元意义，“课程理论由此进入寻找意义的境界。”①
美国学者小威廉姆·多尔（William E· Doll, Jr）的后现代课程观是这方面最具代表性的观点之一。他在《后现代课程观》一书中，基于对具有工具理性特征的“泰勒原理”课程观的反思及超越，对未来课程发展作了全新理念下的阐示。他提出的新的课程特征可归结为“4R”，即丰富性（Richness）、回归性（Recursion）、关联性（Relation）和严密性（Rigor）。丰富性不仅`指课程的深度、意义的层次，还指课程有多种可能和多重解释，因此，课程应具有适度的不确定性、异常性或不平衡性等；回归性指课程要提供回头思考的多种机会，但这种重复不是为了巩固僵化的内容，而是为了经验的重新组织、构造和转化，其框架是开放式的；关联性指课程所具有的两方面的联系，其一是教育联系，这是指课程中的联系（赋予课程以丰富的网络），其二是文化联系，指课程之外的文化或宇宙观联系，两方面的关系是互补的；严密性的作用在于使课程避免滑入“不能控制的相对定义”以及情感上的唯我主义怪圈，它意味着有目的地寻找各种可能的选择、联系，意味着自觉地寻找自己或别人所持的假设，以及这些假设之间的协调通道。
还值得我们关注的是，多尔这一全新课程理念的背后也有数学的理论和思想方法的依据。比如，他非常青睐数学中的混沌理论，分形等所具有的重复、自然组织性，以至于将其作为他所提出的课程回归性的基础。他指出：“回归性通常及数学的循环运算有关。……在y=3x+1中，y等于4（如果x=1）成为下一个x，然后新的y=13又成为下一个x，如此这般重复下去。这种重复既有稳定性又具有变化性。”① “在教学水平上，混沌理论的应用主要涉及到回归的概念，通过回归，个体反思自我并在自我参考的经验中获得自我感和价值感。这样，课程就强烈地融入currere，更多地成为一种经验转化的过程。” ② “分形的所有美丽，曼德尔伯特图案的复杂性，科克曲线或西尔宾斯基三角形无限的回归都来自循环，……对课程而言尤为重要的是自组织（在此采取模糊数学的形式，具有自发而奇特的吸引中心）如何成为开放系统运行所围绕的中枢焦点。”③ 多尔的上述思想不仅使我们能从数学的角度更深刻地领会其课程理念，也从课程研究的方法论上给我们以启示。
二、课程设计的基本模式及课程设计的变化趋势
1. 课程设计的含义
“课程设计”（curriculum design）是一个在课程研究领域广泛使用的术语，及此相关的术语还有“课程开发”（curriculum development）（也有人将此译为“课程发程”、“课程研制”）、“课程编制”（curriculum making）、课程建设（curriculum building）、“课程规划”等。在当今课程论研究领域，很多学者从广义上，已将“课程设计”及“课程开发”予以通用，但也有学者认为，应该从适用范围上予以区分，即“课程开发”是一个比“课程设计”更为宽泛的概念。
课程设计是指决定课程的组织型态、方式或结构的有目的、有计划的活动。课程设计要基于两个层面：其一是理论基础；即必须以制约课程发展的三大基本要素——社会、学科、学生为基点，据以产生均衡的课程。其二是方法技术；即指依照理论基础对课程各要素——目标、内容、策略（活动、媒体、资源）、评价等，作出安排。“课程设计是随教育观、课程观的不同而不同的。” ①
2．两种基本的课程设计模式
正因为课程设计这一活动受课程观的影响和指导，因此，不同课程观之下会有不同的课程设计结果。从前述分析已经看出，进入20世纪以来，对课程内涵的认识可谓观点纷呈，莫衷一是。基于不同认识理念之下的课程设计当然也就种类繁多了。
但如果抓住课程设计中所围绕的核心不同来区分课程模式的话，那么，我们可以将课程设计模式大致归纳为如下两类：
（1）以目标为核心的课程设计模式。
该模式将课程的目标作为课程设计的基础和核心，围绕课程目标的确定及其实现、评价而形成课程。这是发端于20世纪初的、基于实证的科学化运动的产物，它是课程设计的传统、经典模式，其代表性人物首推泰勒（R· Tyler）。泰勒在1949年出版的《课程及教学的基本原理》一书中，把课程设计的基本课题
概括为如下四个方面：
第一，学校应该试图达到什么教育目标？
第二，如何选择有助于实现目标的教育经验？
第三，如何有效组织这些教育经验？
第四，如何评价这些目标正在得以实现？
现代课程设计论中的许多学派及其相应的课程设计模式，尽管也有一些处理方式上的不同，但却离不开由以上方面所归纳出的目标、内容、组织、评价这四个基本问题，因此，他们大多是基于这四个基本问题的变形。
（2）以过程为核心的课程设计模式。
这一模式是通过对知识和教育活动的内在价值的确认，鼓励学生探索具有教育价值的知识领域，进行自由的、自主的活动。这一模式，特别强调过程本身的教育价值，主张教育过程给学生以足够的空间，并关注在过程中教师及学生的交互作用。这一课程设计模式的代表人物是英国著名课程论专家斯腾豪斯（L·Stenhonse）。在1975年出版的《课程研究及开发导论》一书中，斯腾豪斯通过对“泰勒原理”的剖析及批判，建立起自己的过程模式的理论框架。其理论的核心观点是，课程开发的任务是要选择活动内容，建立关于学科的过程、概念及标准等知识形式的课程，并提供实施的“过程原则”（principle of procedure）。这一原则的本质含义在于鼓励教师对课程实践进行反思，以便更好地进行创造。而要有效地实施“过程原则”，就应该能鉴别什么是有价值的活动。他推荐了另一学者拉思（J· D· Rath）的鉴别标准供人参考，① 这个标准共有12条，前提是：“在所有其他条件相同的情况下……”，如果所进行的活动具有如下特点，则认为“这项活动比其他活动更有价值（为节省文字和阅读方便，笔者将其列在表1—1中）：

表1—1
1.
若该项活动允许儿童在活动过程中作出自己的选择，并对选择所带来的结果作出反思。
2.
若该项活动在学习情况中允许学生充当主动的角色而不是被动的角色
3.
若该项活动要求学生探究各种观念，探究智力过程的应用，或探究当前的个人问题或社会问题。
4.
若该项活动使学生涉及实物教具，即真实的物体、材料及人工制品
5.
若该项活动能够由处于不同能力水平的儿童成功地完成
6.
若该项活动要求学生在一个新的背景下审查一种观念、一项智力活动的应用，或一个以前研究过的现存问题。
7.
若该项活动要求学生审查一些题目或问题，这些题目或问题是我们社会中的人们一般不去审查的，是典型地被国家的大众传媒所忽略的。
8.
若该项活动使儿童及教师共同参及“冒险”——不是冒生命或肢体之险，而是冒成功或失败之险。
9.
若该项活动要要求学生改写、重温及完善他们已经开始的尝试
10.
若该项活动使学生应用及掌握有意义的规则、标准及准则
11.
若该项活动能给学生提供一个及别人分享制定计划、执行计划及活动结果的机会
12.
若该项活动及学生所表达的目的密切相关
由此可见，在课程设计的过程模式中，教师具有较大的自主权，当然，也对教师的素质提出了更高要求。总之，这一模式通过课程活动和过程来发展学生的主体性和创造性，应该是一种符合时代精神的课程设计模式。
3．课程设计范式的变化趋势
自西方科学家库恩（Kuhn · T ·S）1962年在《科学革命的结构》一书中提出“范式”（ paradigm）这一术语后，它就被迅速地运用于各个研究领域，课程研究领域也不例外。库恩认为，科学的发展是以范式的转换为中介、为动力的，而范式主要指“科学共同体”所遵循的“共同信念”，以及在这一信念之下所形成的普遍认可的科学成就及研究方法。
我们已经知道，课程设计是受课程观、甚至教育哲学观念的影响的，尽管20世纪80年代以来，课程观念及思潮显得极为活跃和多样化，但各种观念既有对立、碰撞的一面，也有平衡、互补的一面，正是因为后者，才使得形成学术研究上的共识成为可能。反映在课程设计上也是如此。这里，我们借助范式这一术语，来对课程设计范式（这里主要指课程设计的观念及价值取向）的一些变化趋势作如下简要描述：
（1）从“以学科为中心”的到“尊重学习者”的。以学科为中心的课程设计关注的重心是学科内容，课程设计也就成了学科内容设计，甚至是教材设计，尊重学习者的课程设计强调的是学习者的经验和体验，关注的是学习者的全面发展。学科知识成为学习者的发展资源而非控制工具。
（2）从强调目标计划到强调过程本身的价值。诚如前面所分析的，只有强调了课程的过程性，才能使教师、学生活动的主体性得到充分发挥，也才能使教学计划无法预期的潜在教育价值得到发掘，从这个意义上看，教育过程即教育价值一点也不为过。
（3）从“单向、独白式”的到“多元、交互式”的。前者将课程设计为教师的权威性工具；后者则将课程设计为一个教师、学生共同组成的“学习共同体”，一个相互之间能合作交流、且个性也能充分发挥的系统。
（4）从“形态单一”的到“多种形态”的。如活动课程、领域课程、探索课程、研究性课程以及基于各学科发展起来多种形态课程。
（5）从“边界明晰”的到“边界模糊、渗透”的。边界渗透的课程设计注重课程及课程之间的交叉及融合，面所谓边沿性地带及结合部往往更具有课程价值的“生长性”。
（6）从“外显型”的到“外显型、潜在型并存”的。在现代课程设计理念下，那些非预期的、非计划的潜在课程或隐性课程对人的发展仍然具有重要的教育意义。应该通过相应的课程设计手段使隐性课程及显性课程相互协调，共同成为学校课程的有机组成部分。
（7）从“简单关联”的到“生态发展”的。即从强调课程的单因素（如教材或教师）以及他们之间的简单联系，到强调教师、学生、教学内容、环境四因素的有机整合，以形成一种动态的、具有自生长力的课程生态环境。
（8）从“自我封闭”的到“对外开放”的。随着信息社会的到来和教育信息技术的广泛采用，学校课程及课程之间、学校课程及校外课程（社会、家庭、社区所蕴含的课程）之间将无“壁垒”可言，课程设计要顺应时代发展及变革，赋予课程更多的开放性，以实现学校课程及校外课程的一体化。
以上仅罗列了现代课程设计发生变化的一些主要方面，但仅就这些方面而言，已表明课程设计的观念、价值取向及及之相关的设计方式都已发生较大的变化，而且这一变化还在以更丰富的形式展现出来。作为处于课程设计领域中的数学课程设计不可能不受这些变化的影响。数学课程设计更应该主动从中汲取营养，以形成具有自身特色，适应时代发展需求的数学课程设计理念。
第二节 数学课程设计的基础
在第一节，我们已经指出，进行课程设计首先要研究和认清其理论基础——社会、学科、学生，这一理论基础在课程设计中被作为课程内容的选择、组织以及形成课程结构的依据，因此，这一理论基础也就表现为课程的来源或制约因素。在当代课程设计中，课程的制约因素对课程设计的基础性作用更突出的表现在为课程原则及模式的选择、建构提供价值取向性依据及方法规范。
如何认识制约数学课程的因素呢？著名的数学课程论专家、英国的豪森（G·Howson，他曾于1987—1990任国际数学教育委员会秘书长）等所著的迄今卓有影响的数学课程论专著《数学课程发展》指出：“促使课程发展的动力来自各个不同方面”，“最大的动力来自社会”，还有，动力来自数学，动力来自教育本身。《中学数学课程导论》一书，将制约数学课程的主要因素归结为：社会生产的需要、科技进步的要求、教育发展的要求、数学发展的要求、儿童身心发展的要求、社会政治、文化、哲学思想的影响等六个方面。若将其作相对宏观的区分，仍可概括为社会因素、数学因素、学生因素这三个基本因素。
一、社会及数学课程
尽管数学因其抽象的符号和形式化的构建，而常常被人视为“中性”的或
超然于政治、社会之外的学科，但数学课程事实上从它存在之时起就及社会结下不解之缘。这不仅因为数学课程作为学校教育一个不可或缺的部分，必然承载着学校教育所具有的社会职责（如文化传承、公民培养等），更因为教学课程自身的改革发展和价值追求，必须要和社会的发展及需求相一致才能实现。著名数学课程论专家豪森在试图对20世纪60、70年代的数学课程改革运动作出分析、评价，并展望未来课程发展前景时，所采取的研究主场是“将数学课程发展放在历史的、以及更普通的社会的、教育的背景中去加以考察。”① 这一研究立场之所以是科学的、明智的，就在于它把握住了数学课程发展的社会背景和社会基础。
1．认识社会及数学课程之间关系的两个基本观点
第一，社会发展对数学课程具有决定性的作用。首先，社会的需求直接或间接地决定着数学课程所应具有的时代标准和价值取向，成为制定数学课程标准，选择课程内容、方法、评价方式的依据。比如，就数学教育目的而言，社会发展到今天，已对公民的数学素养提出了更高要求，仅仅片面强调传统意义上的数学教育的实用性目的或思维训练性目的，已难以达到现代社会的要求，数学课程应该在培养人的数学素质上去形成新的教育价值追求。其次，社会对数学课程的决定性作用，还表现为社会发展的需求常常成为数学课程改革的直接动力，这一点不仅为数学课程发展的历史证明，而且也在当代各国数学课程改革推动下纷纷出台的课程方案中得到鲜明体现。如美国数学教师全国委员会（NCTM）所制定的《学校数学课程和评估的标准》就依据由工业社会向信息社会的发展要求，明确地提出了关于数学教育的四个“社会目标”：（1）具有良好数学素养的劳动者；（2）终身学习的能力；（3）平等的教育；（4）明智的选民。并据此进一步提出五个具体标准：学会认识数学的价值，对自己的数学能力有信心，能数学地解决问题，学会数学地交流，学会数学地推理。这样的“社会目标”就集中地反映出社会需求对数学课程改革的影响。
第二，数学课程对社会需求的适应是能动的，数学课程应该通过有效的设计和实施，去主动服务于社会，促进社会发展。特别是当人类已经进入了信息化社会，
数学及人类生活和社会生活发展更加紧密地联系在一起，及人类的理性思维和社
会文明更加紧密地联系在一起，数学课程的社会性责任及价值内涵就应该从对社会需求的一般性适应而转变为积极地服务于社会，并前瞻性地为社会的未来需求作好准备。对这一问题，我们将在第二章结合我国课程改革的社会背景再作分析。
2．社会发展需求对数学课程施加影响的几个方面
（1）社会生产发展的要求。
数学教育发展的历史已经表明，数学课程的产生和发展总是伴随着生产力的发展水平而同步进行。比如在现代社会的广泛生产领域和经济领域，收集数据，分析处理数据，并根据结果作出预测和决策已成为普遍的社会需求，数学课程就应该对此作出反映，数据处理的意识、思想、方法也就成为数学课程的重要内容。
（2）科学技术进步的要求。
科学技术的发展对数学的影响表现在两方面：一方面，它改变了人们对数学知识和数学方法的需求，比如，过去计算尺和对数表是常使用的计算工具，现代被计算器取代了，目前由于信息技术的运用，数学实验方法被广泛采用，数学的技术性特征被凸现出来；另一方面，科技的发展又不断向数学提出更高的要求，数学化的手段在各种高科学技术的发展中发挥着愈来愈重要的作用，以致于人们普遍认为，高科技本质上是一种数学技术。这两方面的影响都毫无例外地要在数学课程中体现出来。
（3）教育发展的要求。
从教育自身的发展来看，满足并促进社会的需求及发展是教育的客观规律之一，教育发展的要求其实质就体现着社会发展的要求。国家制定的教育法规、教育方针，国家所规范的办学方向，社会对学校的人才培养定位，等等，都直接影响着数学课程目标、内容及结构的设计。
（4）社会文化传统的影响。
社会文化传统作为一种历史的积淀，必然具有社会传承性，这种社会传承性也伴随着数学课程的发展，随时对它施以影响。充分认识社会文化传统对课程的影响，不仅有利于继承和发展本国的课程传统，而且有利于不同社会文化传统
背景之下的多种数学课程的比较研究。正因为如此，关于数学课程的社会文化研究引起了人们的重视。正如基尔帕特里克（J·Kilpatrick，国际数学教育委员会副主席）所说：“研究者们现在开始认真地看待数学教育的社会和文化方面了。” ①
当前，在国际范围内共同比较关注的“民俗数学（ethno-mathematics），就是具有民族、地域特征及一定文化传统特征的数学，它已经开始走入一些国家的数学教材。另外，值得一提的是，由于在一些国际测试（如IAEP、TIMSS等）中，东亚的一些国家和地区的学生数学测试成绩遥遥领先，使西方一些学者开始关注东方的数学教育，并加强了这方面的研究。我国的一批学者最近几年也多有基于我国文化传统的数学课程研究成果问世（如张奠宙、郑毓信、顾泠沅、梁贯成等）主要涉及到“中国传统数学教育观”、“科举考试文化”、“寻找东西方数学教育的平衡点”、“东亚数学教育的特征”等。联合国教科文组织长期以来所倡导的一个重要议题是“国际理解教育”（education for international understanding），其中一个要求就是通过课程使公民产生文化认同感和民族自豪感，形成国际性及民族性的内在统一。前述研究事实上反映了这一课程改革的要求，是值得提倡的。
3．社会因素对数学课程设计的影响
社会因素对数学课程设计影响最大的莫过于数学课程的目标了。在前面的分析中，我们已提及美国NCTM所制定的数学课程标准中的四个社会性目标，反映出社会因素对课程目标的直接影响。那么，社会因素又是以什么样的方式在影响着数学课程的目标的提出呢？由于社会因素本身的多样性，为研究这一问题带来了相对的复杂性。
这里，特别要提到英国学者欧内斯特（P· Ernest）的研究工作。他认为各种不同的数学教育目标事实上体现着不同社会集团利益和需要，从这一角度出发，他根据英国数学课程改革发展的历史和现状，对社会各利益群体所持有的数学教育目的观（如实用主义、旧人文主义、进步教育派、大众教育派等）进行了系统的分析。他认为可区分三种数学教育的目的，而这又是分别及三个不同的社会集团（教育家及教育工作者、数学家或数学共同体、企业和社会界的代表）的利益
直接相对应的。即：（1）人本主义的目的。指通过数学教育来促进人的充分发展或“自我完善”，特别是理性思维和创造性才能的充分发展。（2）数学的目的。关注的主要是数学知识的传授，希望通过把作为专门学问的数学知识传授给学生，以保证数学的未来发展。（3）实用主义的目的，其所关注的主要是实用的数学技能的掌握。他对不同的数学教育目的观的背景分析也是以社会的来源和影响为依据的。例如对他比较推崇的“大众教育派”的数学教育目的分析，他指出：“大众教育观的目的在于通过判断性数学思维，增强大众的民主意识和公民义务责任感。即以社会背景的数学问题为前提，把个人培养成为自信的问题提出和解决者，从而获得对数学社会建制的理解。这些目的出自一个希望，即数学教育应该为促进对社会大众的社会分工作出贡献。”① 欧内斯特的《数学教育哲学》一书，比较系统地融入了他大量这方面的研究成果，为我们从特定的角度深刻认识数学课程目标的社会因素提供了参考（发生在美国加州的所谓“数学战争”不是也有相应的社会集团背景吗？）。
认识社会因素对数学课程设计施以影响的更为重要的角度就是立足于社会发展的时代特征，并把握它及数学课程所形成的新关系。21世纪的社会是信息化的社会，知识型、学习型社会，社会及教育的关系更加紧密，数学课程及社会、及人的社会生存联系也更加紧密。社会对数学课程的育人价值提出了更高要求，这些要求不仅要体现在数学课程的宏观或中观目标之中，更需要转化为数学课程组织及实施的各微观目标，转化为数学课程具体实践及操作层面上的实实在在的数学教育价值，从这个意义上讲，社会发展因素对数学课程设计的影响就是全方位的了。
二、数学及数学课程
任何一种课程都以知识作为基本的载体，可以说，知识是课程的原生性来源。按这样去理解，数学就是数学课程构建的本原，但这并不意味着数学课程就等于数学。
1．作为课程的数学和作为科学的数学
既然数学课程及数学不能划等号，那么数学课程中的具体内容——作为课程的数学是否就等同于作为科学的数学呢？答案也是否定的。对前一个问题我们很好理解，因为数学课程除了数学内容外，还包括诸如课程目标、课程实施方式、手段、管理等若干非数学形态的结构要素，数学课程当然不能等同于数学。对第二个问题我们可以把握住两者的主要区分点来加以认识（这里没有从认识活动的主体上区分，纯粹从两者作为知识的客观属性上区分）：其一，范围不同，前者（课程中的数学）只能是后者（科学的数学）的一部分；其二，选择标准不同，前者服从于教学的目标，根据学生发展必要性和适应性来选择，后者服从数学内部的逻辑结构和真理性标准；其三，层次不同，如抽象度和严谨性的尺度上有明显差异；其四，内容结构和表现方式不同。前者注重情景、现实背景，适度形式化，后者注重系统性及形式化。
指出作为课程的数学和作为科学的数学之间的不同，不是将其割裂开来，甚至对立起来，而是为了更好地把握住他们之间的联系。事实上，从上面的分析我们已经可以得出这样的结论。作为课程的数学和作为科学的数学只有范围、层次、表现方式及结构特点上的差异，而在数学的本质上（如数学的符号、语言、规则、思想、方法、精神、态度、价值观）却是一致的、贯通的。换句话说，作为课程的数学来源于科学数学，并且其在数学课程中的变化也完全受制于科学数学的发展变化。反之，作为课程的数学就承担起了这样的责任：作为学校学习的一种有限的素材，作为数学学习活动的载体，要引领学生通过数学知识的学习去逐步认识数学的本质，去把握数学的价值。
1. 数学对数学课程及其设计的影响
我们从如下几个方面来简要分析这一问题：
（1）数学观的变化对数学课程观的影响。
数学观表现为对数学本质的一种基本认识和态度。数学在其发展进展中其自身特征有了一些新的变化，加之人们认识数学本质的角度也是多维的，所以数学观就极大地丰富起来。其总的变化趋势是从“把数学简单地等同于无可怀疑的知识汇集的静态的‘绝对主义’数学观，转变为一种动态的经验和拟经验的数学观”，即把数学看成是一个包含有实验、猜想、试误、证明、改进等多种活动的，并依据于个体和群体共同努力实施的社会过程。随着计算机的使用及数学在现代社会中应用价值的拓展，数学的本质特征的表现是多元的：空间形式、数量关系、问题、结构、模式、语言、方法、过程、活动、技术、乃至于文化等等。在《数学教育的价值》一书中的第一章中，我们曾通过关于教师、学生数学观的调查案例分析，指出在数学观上所具有的狭隘性和片面性，以及因此而形成的数学教育中的诸多误区。这是一个值得在数学课程改革中重视的问题。有正确的数学观，才会有正确的数学课程观。我们在数学课程设计中，应该以现代数学观为指导，去确立及之相适应的数学课程目标。
（2）数学的价值取向直接制约着数学课程的价值取向。
尽管在现实社会，数学课程的价值取向还带有若干功利主义的倾向（在应试教育的背景下，数学课程的价值甚至就唯一地体现于升学的竞争），但从数学及数学课程之间所具有的辩证关系出发，我们应该将数学课程的价值取向回归于数学价值的本原上来，即数学课程应充分地反映数学应具有的科学价值、社会价值和教育价值，这正是基于数学教育改革的数学课程设计要把握的方向。
（3）数学的发展及其内容体系为选择和确定数学课程的具体内容提供依据。
诚如前面分析所指出的数学要为数学课程的内容提供“素材”，而数学的发展状况及它在社会中的地位和价值，常常成为“在学校中教给学生什么样的数学？”这一问题思考的基础。数学为数学课程提出的“素材”，不仅指那些分属于各数学分支的对学生适用的静态的基础知识，也包括丰富的数学思想方法，还有那些丰富的数学活动及过程，以及数学的态度及精神。
3．认识数学及数学课程关系的几个观点介绍
如何更科学地认识数学及数学课程的关系？是数学课程设计研究中的一个重要问题。以下简要介绍几个比较独特而具有启示意义的观点：
前苏联数学教育家斯托利亚尔在《数学教育学》一书中，具体分析了作为教学科目的数学及作为科学的数学的关系，认为数学课程要受到现代数学的影响，但不等于在中学教现代数学：“数学教育现代化首先的意思是教学的思想接近于现代数学，即把中学数学教学建立在现代数学思想基础上，并且使用现代数学的方法和语言（当然，在适当的初等水平上）。”①
英国著名学者欧内斯特立足于数学哲学和数学教育哲学的理论分析，剖析了数学观对数学课程的重要影响：“如何看待数学，在许多领域是至关重要的，而在教育和社会方面则更加重要。如果数学是不可误的客观知识，那么它就不必承担任何社会责任。”“另一方面，如果承认数学是可误的社会建构，那么数学就是一个探究和认识的过程，是人类不断创造和发明的广阔领域，是不会终结的产物。如此动态的数学观对教育的影响举足轻重。” ② 他具体指出了所影响的方面，如教学目的应包括使学生获得自我创造数学知识的能力，数学要更新形式，使所有社会群体易于接受其概念，不要把数学活动及其应用的社会涵义置之不顾等。
著名荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔（H·Frendenthal，曾任国际数学教育委员会主席）是用数学及数学教育相结合的眼光来看待数学课程设计的。他最具有特色的观点是主张在数学课程中，“学生应该学习数学化”。何谓数学化？简言之，就是数学地组织现实世界的过程，每个人有不同的“数学现实”世界，不一定限于客观世界的具体事物，也可以包括多种层次的抽象的数学概念及规律，因而就有不同层次的数学化，“应当懂得，没有数学化就没有数学，没有公理化就没有公理系，没有形式化就没有形式体系。……因此数学教育必须通过数学化来进行。”③ 他另一个新颖的观点是“数学结构的教学现象学”观点，该观点主张从数学发生发展的深刻背景，来探索人类认知过程、特别是教学过程中，概念形成及获得的规律。并批判了心理学在做此类研究时，不作任何现象学分析的弊端。
我国不少学者在这方面也有很多独到的观点，下面介绍两例：
中科院院士张景中身为数学家但却对数学教育表现出极大的热忱，并进行
了很多研究，除在开发研制数学教育的计算机智能软件方面做出了国际领先的成
果外，还提出了关于数学教育及数学课程改革方面的新观点，“教育数学”就是一例。张景中院士对数学教育及教育数学这两个术语的含义作了界定。他认为，数学教育要靠数学科学提供材料，对材料进行教学法的加工使之形成教材；而教育数学则是为了教育的需要，需要对数学研究成果进行再创造式的整理，以提供适于教学法的加工的材料，这往往需要数学上的创新。例如欧几里里德的《几何原本》、柯西的《分析教程》等，都可称为教育数学的典范。他从两个方面分析了提出教育数学并进行有关研究的必要性：一方面，从数学知识的性质来看，它是现实客观世界的空间形式和数量关系的反映，但同样的数学对象可以有不同的反映方式及结果，作为数学课程的数学知识就有一个选择反映方式的问题。“为了数学教育的目的，应当用批判的眼光审视已有的数学知识，这批判，当然不是怀疑这些数学知识的正确性，而是检查它在教育上的适用性。”① 另一方面，从数学的发展来看，随着它的进步“数学教育的内容和方法必然相应地要变化”，“如何使学生学得更快、更好而不致加重负担？这是教育学及数学面临的问题，是数学教育及教育数学的共同任务。”② 张景中的观点使我们认识到，数学的知识要成为数学课程的知识，仅靠教学法的加工还不够，还必需在他们之间架一座桥梁，这就是教育数学，它本身是对数学的再创造。更难能可贵的是，他不但在理论上提出了如此独到的观点，还在实践中身体力行，以“面积法”为基础，对传统几何进行了再创造，所有的这些研究成果都反映在他的《教育数学探索》、《平面几何新路》中。张景中的研究使我们触及到数学及数学课程之间关系的更深层面，其研究直接应用于数学课程实践，是对我国数学课程设计研究方面的卓有成效的贡献。
张奠宙先生近两年对该方面问题也有专门研究并多有论述，如《关于数学知识的教育形态》（载《数学教学》，2001年5期），《关于数学的学术形态和教育形态》（载《数学教育学报》，vol.11.No.2），提出的一个核心观点是：“数学教学的目标之一，是要把数学知识的学术形态转化为教育形态。”如何转化？在前述第二篇文章中，提出了四条转化的途径：（1）颠倒教材中形式化的表述顺序。
这种形式化的顺序是服从数学的演绎、推理的逻辑结构的，颠倒这种表述顺序，
就是要立足于知识的产生背景，恢复原始的思考过程，这样才能将学生带入一种“火热的思考”的境地。（2）通过范例和具体活动去激活学生对数学的思考。比如几何学的教育形态就首先应体现为为学生创设一种可以活动的数学环境，从数学地组织空间现象开始，而不是以已经形式化地组织好的数学对象开始。（3）要广泛揭示数学的内在联结。数学的教育形态之一就是要把教科书上线性排列的知识“打乱”，同时融合不同学科的相关知识，形成知识网络，使一些知识网络点成为学生思维的激活点。（4）要在数学思想方法层面上形成教育形态。比如。善于使用数学“平台”的方法，有些东西不必深究它的具体内容，知道它的价值就行。笔者认为，上述这些观点正是从数学课程实施策略及教学操作层面上来处理好数学及数学课程关系的研究成果。
三、学生及数学课程
教育作为人类社会的特有的制度，它是随着社会的进步而不断发展的。教育在其漫长的发展历史进程中，尽管它的价值指向在不同的时代背景下有多种多样的表现及相应的教育哲学依据（仅就现代教育的发展来看，就存在诸如“技术理性”、“功利主义”、“权威主义”等多种课程思潮），但教育发展到今天，越来越显示出唯有一个主题在教育中是永恒的，即：人的解放。因此，我们不难解释这样一个事实：作为西方教育的先驱，由古希腊人所创设的“自由教育”（Liberal Education，又译为“博雅教育”），因其立足于学生心智的培养、和谐人格的塑造、完满生活的实现，而代表着教育的本原和真谛，也就使它在历经数干年的风雨之后，仍焕发着“青春”。
在“教育活动就是培养人的活动”这样一个基本命题之下，学生及数学课程的关系就建立在一个更为本质的联系上。从这一角度看，学生对数学课程的制约作用至少体现在如下方面：
（1）满足并促进学生的发展成为数学课程设计及组织的本体性依据，作为数学课程的首要目标。
长期以来，数学课程基于数学自身的特点，过于看重知识的选择结构和形
式推理，重视数学技能训练，加之数学课程在“应试”竞争中所占有的重要的地位，使得纯粹的数学解题技能的演练一度成为数学课程的首要的（甚至是唯一的）目标，这种“见物不见人”的数学课程观及课程实践在数学教育改革的历史进程中，已经被证明是行不通的。在数学教育及人的生存发展联系更加紧密的今天，这种观点更应被摒弃。
（2）数学课程的组织和实施必须建立在学生身心发展的规律之上。
学生的身心发展对数学课程的影响和制约，体现在相辅相成的两个方面：一方面，数学课程对学生的心理要有适应性，数学课程目标的确定，内容的选择及体系安排，都应考虑学生已有的心理发展水平和认识特征；另一方面，数学课程对学生的心理发展又要有促进性，而且不只是促进智力的发展，还要促进包括非智力因素在内的学生身心的全面发展。
数学课程要适应和促进学生心理发展的客观要求，使得数学学习心理的研究形成热潮。在20世纪，数学学习心理的研究经历了从行为主义到认知主义的发展历程，到今天，以建构主义为核心的众多的学习理论为数学学习心理规律的探索提供了丰富的理论基础。“数学学习心理研究更深入地走向对数学课程学习的具体活动的研究层面，如关于数学概念学习的认知机制、数学解题的模式识别、数学问题解决及建构性活动特征、数学理解的内部机制及过程，数学思维的结构及特征、数学证明的认知结构、代数、几何的认知问题以及语言、性别及数学学习，等等”，①