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<p>1练习题一、选择题1.光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是 多少？（）中南大学2009研A.1B.3xlO10C.3.3X1041D.8.7X10-21【答案】A【解析】由德布罗意波长公式工波长相同则二者动量大小必定相 X同，选A。2.考虑如图的电子干涉实验，电子从距屏为L的电子枪发射，屏上 有两个特别窄的狭缝（缝宽为电子的德布罗意波长数量级），观察干涉 图样的探测器置于屏的另一侧L处.如果电子枪向上移动（沿y方向）距 离d,则干涉图样（）。中南大学2009研图1-1A.向上移动距离dB.向下移动距离dC.向上移动距离d/2D.向下移动距离d/2【答案】B【解析】分析未移动前位于屏幕正中间的点，令偏上的光线为a,偏 下的光线为b,未移动前，a和b的光程相等，电子枪上移后，a在狭缝左 边光程减小，b在狭缝右边光程增加，为保证a和b光程再次相等，应该 使a在狭缝右边光程相对于b在狭缝右边光程增加，于是干涉图样只能下 移.再考虑到狭缝与电子枪和屏幕距离相等，于是整个装置具有对称 性，为保证a和b的光程相等，干涉图样只能向下移动距离d.3.上题中，如果电子枪开始以较太的能量向屏发射电子，则()o 中南大学2009研A.干涉图样中相邻最大值之间的距离减小B.干涉图样向上移动C.干涉图样变蓝D.干涉图样消失【答案】A【解析】A项，由德布罗意波长公式一：以及=可知，当能量E增加后，动量p增加，导致电子的德i罗意波长/减小，而干涉条 纹间距Axx/,因而增加电子能量将导致干涉条纹间距减小.B项，电 子能量增加并不会对光程产生影响，故不影响干涉图像位置.C项，电 子能量增加并不会改变屏的特征光谱，不会变蓝.D项，题中提到狭缝 间距尺寸在德布罗意波长数量级，在电子能量变化不是很大时，电子波 长应该仍与狭缝间距相当，干涉图样不会消失.4.题2中，如果两缝之间距离加倍，则干涉图样中相邻最大值之间 距离（）。中南大学2009研A.加倍B.为原来的四倍C.为原来的二分之一D.不变【答案】C【解析】设狭缝间距为d,则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距&=则显然当d加倍时，必定导致条纹间距变为原来的二分之一。d5.题2中，如果每个缝宽度加倍.则干涉图样中相邻最大值之间距 离（）。中南大学2009研A.加倍B.为原来的四倍C.为原来的二分之一D.不变【答案】D【解析】设狭缝间距为d,则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距Ax=z,则显然条纹间距与缝的宽度无关，即条纹间距不变。d6.题2中，如果只有一个缝的宽度加倍（原来两缝宽度相同），则（）o 中南大学2009研A.干涉图样消失B.干涉图样中相邻最大值之间距离改变C.干涉图样向变宽狭缝移动D.干涉图样的最大强度与最小强度之差减小【答案】D【解析】A项，缝宽度的变化并不会影响产生干涉图样的条件 电子波长与缝的间距相近，干涉条纹不会消失.B项，同样由条纹间距可知，条纹间距也不会有变化.C项，缝宽度变化也不会影响光 d程，干涉图样位置也不会因此发生变化.D项，只改变一个缝的宽度将 导致从缝射出的两列光波振幅不同，因而最小强度无法变为0,最终导 致干涉图样的最大强度与最小强度之差减小.7.题2中，如果探测器置于某一狭缝的旁边，由此可确定某一电子 是否通过该狭缝，则（）。中南大学2009研A.干涉图样向装探测器的狭缝移动B.干涉图样中相邻最大值之间距离改变C.干涉图样消失D.干涉图样变弱【答案】C【解析】由题意，通过该狭缝的电子位置将会由于测不准原理导致 光子动量尸=2不确定，以至于电子波长和频率会受到极大干扰，从狭缝 X射出的光波将不再是相干光，而干涉图样产生的重要条件之一就是参与 干涉的光必须是相干光，因而干涉图样消失.二、填空题1.普朗克的量子假说揭示了微观粒子 特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的 性。中南大学2010研【答案】粒子性；波粒二象性【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说Eiio爱因斯 坦后来将此应用到了光电效应上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微 观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这位量子力学的诞生奠定了基 础.2.对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯 定是当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的.除非体系处于 o 中南大学2010研【答案】本征值；定态【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它 是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征 值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于 该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.三、简答题1.什么是定态？若系统的波函数的形式为小/)=m)疗+阳X)/，问中(X,t)是否处于定态？湖南大学 2009研答：体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密 度和概率流密度均不随时间变化.不是，体系能量有E和-E两个值，体 系能量满足一定概率分布而并非确定值.2.试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量 及其理由。南京大学2009研答：量子态的叠加原理：若外外由6为粒子可能处于的态，那么 这些态的任意线性组合仍然为粒子可能处于的态.叠加系数不依赖于时空变量.因为量子态的叠加原理已经明确说明 了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量。四、计算题设一维谐振子的初态为小.、m Jr.,即基态与第一激发态 叠加，其中。为实参数。(1)求t时刻的波函数w(x,t)。(2)求t时刻处于基态及第一激发态的概率。(3)求演化成呷(X,t)所需的最短时间tmin。中科院2010研解：(1)一维谐振子定态能量和波函数：线(+扑0包(2=乂/小4(g)=0,12，A；任意时刻t的波函数可表示为 何占r)=Q电(x)J正以 n已知t=O时刻的波函数是以*：0)=COS9o(x)+sinq电(a)由 Cn=JR(xW(x,0)/v 得，Co=cosy，G=siuq在n=0,l的本征态的相应能量分别为：E=L,工=小2 2则任意时刻t的波函数可以表示为y/(x.Z)=cosy 00(x)e%+sinq(x)g 一%(2)t时刻处于基态的几率为国=cos4，处于第一激发态的几率|Gf=sin 弓.(3)设时刻粒子的波函数是以占)=，(*/),即cos0(x)e 4+sin(x)e(n=1,2,3,.)_ e-2n)cosy C0(x)e 幺+sing 雪(x)e%)可得士=色-i(2-l)小 解得&=2(2-1)万 2 2 co所以当n=l时有最小时间，即-=三.2练习题一、选择题一维自由电子被限制在x和x+Ax处两个不可穿透壁之间，Ax=0.5 埃，如果E。是电子最低能态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多 少？（）中南大学2009研A.2E0B.3 EqC.4E0D.8E0【答案】c【解析】一维无限深方势阱中能级公式为则可知，较高 1时级能量与基态能量比值为打2丫=4,由题意，基态能量为则第一激发态能量为 1 7,=40二、填空题1.自由粒子被限制在X和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物 理.如果没有给出其他资料，则粒子在X和x+1/3之间的概率是o 中南大学2010研A.025B.033C.OilD.067【答案】B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率 与体积成正比，即所求概率为同一 132.上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被 找到的概率是 中南大学2010研A.019B.072C.033D.050【答案】A【解析】取X为原点，则有波函数为W(x)=JIsin2a a所求概率即P=MM=杀牛持gin用工0.19三、计算题1.在一维情况下，若用Pab(D表示时亥肛在axb区间内发现粒 子的几率.(a)从薛定港方程出发，证明也L=J(a,t)-J(b,t),其中J(x,t)dt是几率流密度.(b)对于定态，证明几率流密度与时间无关.华南理工大2009研解：(a)设t时刻粒子的波函数贝氏t),波函数满足薛定谓方程：8 人(*2、ih t)=-V2(1)ct I 2 J对(1)两端取复共甄得，/(“)(2)做运算“(工 r)x(1)-Mx j)x(2)得i咤 W 欢*)=一；(吠(X)-欢x/)V“*(x,0)方2*=-2(/(x/)V/占力一次x4)V V(占。)上式两边同除以油移项得，j方 会 金o-V(*(x,r)V 欢X)一以x)V 炉(x/)=0c.二y(X)欢X,Ci则几率流密度公式为/(兀。=必七t)Vx,t)I,上式可表示为(x)Mx,r)-V玄，t)=0,两端积分得：(j：W(X/)欢x)一J：v*j(X,t)=0又由于t时刻在区间(a,b)内发现粒子的几率为：心=(Vx x,x,t)(ir代入上式可得，dt(b)对于定态波函数x,t)=dx)e-%，代入几率流密度方程j(xzt)=t)V/(&t)-v*(x,t)V(x,t)可付，J(X)=Wx)V/“(x)V a x)是一个与t无关的量，故定态的几率流密度与时间无关.2.证明w(x)=A(2a2x2-l)”是线性谐振子的本征波函数，并 求此本征态对应的本征能量.式中A为归一化常数，a=/薪F 华南理 工大2009研解：已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为n(x)=Nnex：2Hn(ax)，纥:0+。，”=0,1,2,，H0(ax)=l.H1(ax)=2ax.H2(ax)=4crx2 2,本题中波函数次x)=A(2arx2-l)ex：2=(4cx2-2)e：x：2=y/f,(OLY)e-?X：2=y(X)所以Mx)是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2,因此容易得到其，本征能量为用3.质量为m的粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动.(a)建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谓方程.(b)当粒子处于状态(x)=|/i(x)+22(X)时，求测量粒子 能量时的可能取得及相应的概率.其中Wi(x)和(X)分别是基态和 第一激发态.(c)若上式的甲(x)是t=0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻 的波函数.华南理工大学2010研解：(a)如图建立坐标系，0 a x图2-1设厂=!。，”,哈密顿算符方=一至+尸(2D,x a 2/z dx波函数/x)满足薛定谓方程-七=_ 2当 x a 时，以*)=0;当 0 工 4 时，-=Ey/(x)2长令卜=度,则3+A加(x)=0的通解可表示为V无一 公欢x)=-4sin kx-B cos kx利用边界条件以0)=0：34)=0得，B=0,k二丝,“=1,23欢x)=Msiukv a由归一化可解得=,定态薛定谓方程的解为1-sin x,0 x a a a:0,xa对应的定态能量为纥=立,=12 n 23(b)当粒子处于态弘(x)+手弘(x)时，能量的可能值及几率为：石=包:几率1/4;尽=乂至，几率3/41 Ipa 1 皿(C)任意时刻t的波函数可以表示为下面形式W(x,r)=ZCM(x)e”其中q=J%(xW($o)dK,在此题中g=；，4=乎故任意时亥肚的波函数材(.Q)=g%(x)e*%+*匕(x)。.,其中与=容，瓦=注，2吠 皿4粒子的一维运动满足薛定谓方程*啜磬+5（1）若（x,t）和甲2（X,t）是薛定谓方程的两个解，证明JKP；（x,/）匕（W）dx与时间无关.（2）若势能V不显含时间3用分离变数法导出不含时的薛定谭方 程，并写出含时薛定谤方程的通解形式.华南理工大学2011研解:a 方？法鹏=（一丁力+吟5-d）s（1）证：ct 2ma b（2）dt Im取式（1）之复共辗,得一洋=（_Aib+厂心；dt 2m机）-而牖g 力：.-归碗：X 丁叫-濯 It Im舲翻船-白婀亿帆好那他匹R；叫）（叫）.麻）+（帕.（dr 2胪=.疝例植疝册.而叼境2/2胪二。痛则3。）即=0所以与时间无关.(2)设必/)=(*)代入薛定谓方程分离变量后得去（苏暇叫E为既不依赖3也不依赖r的常数.这样，Uin“r)=i dt h所以f)exp(T后 方)因此，通解可以表示为3(？)=We6 uxp(TEz力)其中，火()是满足不含时的薛定谤方程-厂)=E 5.考虑一维双3势阱：V(x)=Vo6(x+a)+8(x a),其中 V00,a0.(1)推导在x=a处波函数的连接条件.(2)对于偶宇称的解，即w(-x)=V(x),求束缚态能量本征值 满足的方程，并用图解法说明本征值的数目.华南理工大学20n研解：(1)薛定谓方程可表示为7 3r =E+/5(x+a)+F05a-徵为粒子质量,2w axx=切为方程的奇点，在x=a点处吠不存在，表现为“不连续。对上述方程积分jk30二得出w 3-)，(-)=一二-陟(。)h2 由题意知当xa时，3-左也=0：其中片=人等考虑到束缚态，因此解为“=4*当-ax+-L4)r dr dr c dr h t*r h h h r hi=-；41 h2故.旦小盘（2）2mZ=E2m(3)由(1)(2)（3）式可得吟鼾的）力=匕、二，止匕即2就2力，所需证明方程.7.一粒子在一维无限深势阱:）;二中运动，求粒子的能级 和对应的波函数.湖南大学2009研解：由一维定态薛定送方程有工）=石底工）（0 x2a）2以 dx，又在边界处应该满足连续条件穴。）.加。故%(x)=Xsin x?0X V2a 2a由归一化条件有(Xx)|(Xx)=l故(x)=出而罢城x2a05 x 2a对应能量为“一正工)8pa2n=L23s-8.设 一维简谐振子的初始(t=0)波函数为，(x,0)=*原力+如(力+”式力其中叫1(X)为简谐振子的三个(n=0,1,2)最低能量的定态波函数.试求(1)系数A=?(2)t时刻的波函数(p(x,t)；(3)t时刻的能量平均值.南京大学2009研解：(1)由波函数的正交归一化条件有围+眄心1故(2)一维谐振子能量为E.=(+：)故二:方0石=彳方区=:方。t时刻波函数为1 T竺 1-四 fT-i至=(x)e 2+-(x)e 2+j(x:73 1 v 12(3)E：=；力0右=I方0E；=；无g各自对应概率为似以=七丁 W=卜)=|白一=7均与时间无关，故t时刻粒子能量平均值为E=KoS|+上话+上(才玛9.设无外势场时，质量为pi能量为E0的粒子的状态用球面波描 写.试(1)导出决定S波(1=0)波函数的常微分方程；(2)求出所有S波的球面波波函数；(3)计算对应于S波解的速度流矢量并作出图示.南京大学2009 研解：(1)无外势场可看做有心势场的特殊情况。则粒子在球坐标系中薛定谓方程为方？a s i豆/豆肉了)+少软8M在s波情况下，1=0,9(匕仇0)=0,令中(/)=平国(仇8),女=庠则 土r(r)+k%&)=0-d尸(2)&)=*,产,故对应波函数为当(匕仇0)=x r产中式匕&0)=M其中A为归一化系数.(3)概率概率流密度公式为，=-(乎Vp-TV)2球坐标系中=七口5dr r S6/sin 6 c(p%(七&0)=Xt-明显与角度无关，故对应概率流密度的三个分量为_ih_ 2*2 r1，Thkr1 Jei=%=0而与=v，故)=艮“，%=%=。r同理儿=九2=,(2)=1 r y o10.设粒子从x=8入射，进入一维阶跃势场：当X0时，V(x)=V0(V00).如果粒子能量EV0,试(1)写出波动方程式并求解；(2)求透射系数；(3)求反射系数并求与透射系数之和.南京大学2009研解：(1)粒子波动方程为令毋a二种守则方程的解为000=血+4。-而户 0,此即透射波函数.由波函数连续及波函数导数连续有%(。)=%(。)即 1+，T=3:仍,(0)=2、(0)、4(1一4=期月=解得B=a-k a+k 2k a+k则波函数为已。）=。出+史手小巴x0 U 无a-+kh2（2）由概率流密度公式，=-也（口六一邙中）可知2入射波函数概率流密度为.：=在J in 一反射波函数概率流密度为九=/口广透射波函数概率流密度为4=也呼4透射系数即1=五=|3=42:站立，.I I 7_ zv 1-（3）反射系数即T=丫=（a-电兀 1 1 a+k（a+左）.显然R+T=l.11.一质量为m的粒子，可在宽为a无限深势阱当中自由运动.在 t=0的初始时刻其波函数为3乐图哈面管其中A为实常数.（1）求A使w（x,0）满足归一化条件.(2)如果进行能量测量，则能得到哪些能量值?相应取这些能量值 的概率又是多少?再计算能量的平均值？(3)求t时刻的波函数v(x,t).中南大学2010研解：(1)无限深方势阱中粒子的本征波函数为%(x)=g血?初始时刻波函数可化为无限深方势阱中粒子的本征能量为1:奢.故粒子可能测得 能量即El器对应概率R咽三E 字 对应概率图4E5=等，对应概率P5=1To测得能量的平均值为E=EP+Ea+EB=Ut.10|ia(3)t时刻波函数为3练习题一、选择题1.量子谐振子的能量是()中南大学2010研A.En=hco(n+1/2)B.En=hco(n+1/2)C.En=hv(n+1/2)D.En=hv(n+1/2)【答案】A【解析】由于谐振子的哈密顿算符为*=+3桢，而二.本征值为n，于是谐振子能量为耳=(+：)布.2.下面关于厄米算符的定义式中.正确的为()中南大学2010 研A如/力乂力-，)B.C.D.【答案】A【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为 力学量算符的本征值必须为实数.厄米算符定义式为(G6=S.二、填空题1.力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为_.中南大学2010研【答案】厄米；实数【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须 为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本 假设量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.2.在量子力学原理中.体系的量子态用希尔伯特空间中的 来描述.而力学量用 描述.力学量算符必为 算符，以保证其 为实数.中南大学2010研【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）；厄米；本 征值【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对 应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵.力学量算符必 须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符 合事实.3.当对体系进行某一力学量区的测量时.测量结果一般来说是不 确定的.测量结果的不确定性来源于.中南大学2010研【答案】测量的干扰【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影 响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测 量的不确定性.三、简答题1.写出角动量的三个分量小-偷(4-啜，Z,加哈-卷)，小TA喝-康 的对易关系.湖南大学2009研答：这三个算符的对易关系为区工=疝工,Ly,L=itiLx,区 也2.量子力学中的力学量算符有哪些性质?为什么需要这些性质？南 京大学2009研答：量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的 性质.量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实 数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共 现后，其值应该不变，而求平均值时算符求共甄后式子值不变即要求算 符为厄米算符.四、计算题1.对于角动量算符=八力，(a)在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一 的表达式.(b)定义升降算符L=LxiLy,利用对易关系Lz，L和L2,L证 明：若f是I?和Lz的共同本征态，贝IJL土f也是L2和Lz的本征态.(c)在球坐标系中，求解Lz的本征方程.华南理工大学2010研解：（a）由 得-%，A=Px-xPi，4=xPy-yPx区/j=一阳,皿 一X。/=R：p十YP/f pj=“同理可得4,&=*,必,J=应，贝上的三个分量之间的关系通式为：无工/=1应,，其中%是 LeviCivita符号，生0y=（1,23）.（b）lAXl=区上土&=也,均士戊上=iHLyhLx=坊区士均）=必L 5Z=?ZxiIr=O若/是片和K的共同本征函数，可设/=%，则 f=内=雄+1甫35以=7五以，2工4=LL=泣+1以，二2 二 VGn=（Z：土方 Z土）以=（加1）方 Z士外可见是下和的共同本征函数，本征值分别为W+D方，和（11）方.（C）在球坐标中，工=T法与，代入Z：的本征方程Z4（9）f 0得i2jt/（9）=40 次利用周期性边界条件）=中（夕+2万）可得（=次比|=0：1：2,.由归一化条件可得.4=忌，则L-的本征态为）=去相应的本征方程为必）=加方0（夕）,2.（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数.（2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交.（3）对于角动量算符。证明它是厄米算符，并且求解其本征 方程.华南理工大学2011研解：（1）证：对于厄米算符.”=/“/，A M M=（也-w）=（弘/i/i=4 Myf）因为存在 M=0，所以/=幺,即本征值为实数（2）证：因为例%弘）二（蒯必）:例外）=4（七必）而4/4：所如山:0,即正交（3）因为以具有周期性，（0）=（2/.（仁（。）上=一济 阮（。）品嗫（。）如 0 即c 7 8区以3）：以（0）=法|（丁心（。）射小。）/4V C而（2批无3砌LW碘=ih|丁（：3）以（0）的=访以（2到、词外（0）=0所以（工以）“碘=（以（夕）心（砌：即口为厄米算符。设本征方程为-耳色樵虬琅上娜间岭（此四哪W）=ca c为积分常数，可由归一化条件决定.又因为波函数满足周期性边 界条件的限制，就0+2笈)=穴。)由此可得，z h-m(rn-0:L2s.)?即角动量Z分量的本征值为乙=“庆，是量子化的，相应本征函数记为%9)=Ce.再利用归一化条件可得/。)=/,即为其本征函数.相应的本 征方程为%(0)=血包(0).3.(1)设.分与pauli算符对易，证明莉僚二以+,(ixR;(2)试将(/，了门表示成/.，6.6的线性叠加.其中为单位算符 中科院2010研(1)证：+丐4+64)(5纥+q+2纥)=次-4怎+就工4+a?AB.-ararArBr-ara.ArB.ayaxAyBx+q q&纥-a.axA.Bx a.ayABy利用 d=/=W=l，=M，04=T。axa：=iaxqq=-iq,azax=iay9 qq=-iq化简可得:=N 6+i%（4纥 一4纥）+肛（4星 一.4VBJ+iq（4区 一风）=A BiaAxB）（2）解:+q+呵)*=#+Q(%+9)J+7+q=J+a(q+iq)J 时+公仁+/)4.(1)求算符，“：和o产的对易关系.(2)证明.改 二 m，其中=片北京航空航天大学2008研2m(1)解：户=2.0h 户+=爷丽应+岑丽0-遍产咛卓+,-2犷咛中 h h h h h即算符广与2不对易.(2)证：面x=x=+&士生=-2 2m 1m 2笈 2m 27 w贝1U占1 1 方自】h f hx 寺得证.H：x:x=-z:x=-z-(-z)=-In m iTtm In m5.一粒子处于势场V(x)中，且势V(x)没有奇点.假设暇(x)与Wm(X)是束缚态的波函数，相应的本征能量色E.Em.试证明这两 个波函数对应的态矢正交.武汉大学2008研解：由题意/、)=弓乎X)T（x）xl并在方程两边同时积分建有而%烝二，式工）与+式减*考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式n有3-&）,；（幻巴（回改=0又E/Eq贝叮平：（x）中式X世=0 III设粒子本征波函数完备集为。:，则由正交归一化条件有f”（臾：（X）去=%IV%心+丫）态矢为，以（X）态矢为。=二I:）I-J即+Xx）=工0死尸式x）=工成仍：VIV、v代入in有（Zcwj（4汨NcH=o止匕即c-D=o,亦即两个波函数对应态矢正交.6.一体系初始时刻的态为川仇=.口（布）业加.九（1）求（V，Z+V）=?其中 +=x+i 2y（2）如果对心测量，能得到哪些结果？相应的概率又是多少？（3）如果对乙进行了测量，并得到结果k=一r，计算不确定度AL*和aLy及它们的乘积AL*ALy.中南大学2010研解：由公式.%=可得匚u=撷Yio+/故Iji=g.杼-E&=竽寅.（2）由题意，m=-l,0,1而上二本征值为m/s，故工:可能测得值为L z=_无概率 P_=（=-人=0,概率瑞=?=|Lz=九概率 P+i=J=：（3）易知L_u=/方Y-+撷Y10于是有f=(v.l S=生力,，5l?=(Lv/sl_v)=-,7 55因此L=Ll+l:x 2-Ll=t?+LLy=yL+-L.心限-忒 y=Jl；-Ly?715U3y=*1/z-z-2j6=-|L.+L_)=2 5+2L.L=/P2 力一 5=2 匚)=。L，-2L.L_)=,二杼丸24练习题一、选择题对力学量A进行测量.要能得到确定结果的条件是（）中南大学2010研A.体系可以处于任一态B.体系必须处于育宏观态c.力学量A必须是守恒量D.体系必须处于A的本征态【答案】D【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处 于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量a对应的本征态.二、简答题什么是费米子?什么是玻色子?两者各自服从什么样的统计分布规 律?湖南大学2009研答：费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子.费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.三、计算题设限制在边长为L的立方体中的单粒子的本征能量与本征波函数是 已知的，其中基态是非简并的，而第一激发态与第二激发态都是3重简 并的.具体而言，基态的本征能量与轨道波函数分别为E与，；第1激发态的本征能量与轨道波函数分别为E与，.与 必焦J（）：第2激发态的本征能量与轨道波函数分别为E（3）与一，2,.且前三个单粒子能级是等间隔的.设由4个上述单粒子构成的全同粒子体系，限制在边长为L的立方体 中.计算体系的较低的2个本征能量及相应的简并度.武汉大学2008研解：题中并未给出粒子是费米子还是玻色子，故分两种情况讨论.由题意“+%：，=2（2）I（1）粒子为费米子此时粒子应该遵守泡利不相容原理，每个波函数最多容下两个粒 子.体系最低能量=-二，对应波函数有%=*%（名）%（五）若3（五）中窥（五）外产嗯口中%必葭6）田2二（五）%近力（动嗯式名）乎久+2_式五）处印九鸥：（总）鸣:（W+北二（五）广嗯E）中G）嗯H嗯U0处喝嗯工必Ms吟堂式五）其简并度为6.体系第一激发态能量其简并度为“3=9（2）粒子为玻色子此时粒子不受泡利不相容原理约束体系最低能量弓=，工,其简并度为1.体系第一激发态能量为W-且,其简并度为3.5练习题一、选择题1.中心力场中，算符工2和工z的共同征函数为Yim（0,），则关 于这两个算符的本征值方程正确的式子是（）中南大学2010研A2匕伊）=廊儿（8M=M匕（dM忖即师币丫必）乙（d6 M加）?匕（仇。）B./（/1）*h（包。）乙几二鬲丫岫哂/（/W匕（a L匚MC.D.【答案】C【解析】角动量的平方算符以及叫动量算符在Z方向分量有着共同本 征波函数，即球谐函数，它们满足如下关系二、计算题1.设氢原子处于状态1 石叭也夕）=5 号】（9;。（仇一号岛。；“（仇伊）求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值 出现的几率和这些力学量的平均值.华南理工大学2009研解：氢原子的定态能量为；=_,n=l,2,3,.n lair由氢原子所处的态函数“一 a小也r（、v g扁欢儿。）=不&（r）ho（e：。一亏与 iS）x_i（e,）1 x/3=%()一亏弘IT所以氢原子能量的取值为E=-匚，几率为1，能量的平均值为 8a 3a角动量平方的取值为手=项+1而=2方2,几率为1，其平均值为2方，；角动量Z分量的取值为：Lz 方=0,几率1/4,Lz=nth=h,几率3/4,其平均值(乙=x0+3乂(_方)=_ 4 4 42.己知氢原子的径向波函数与产儿5卜最)，其中a为波尔半径.(1)求归一化常数A。(2)己知连带勒让德函数P/ucos。，P11=sin0,求氢原子的归一化本征函数甲210,y211,y21-l.(3)对于本征态W1T，其对应的能量、角动量、角动量Z分量各是多少?华南理工大学20H研八,r 2 1解：(1)(加卜山田”r14rexp(_y)dr=K=-.0 0 0 2 后(2)本征函数可以表示为3心n(匕仇史)=出也&)加(仇0)=0：2：:-1 m=l1-L-.T所以对于本征态其对应的能量为八三94角动量Z2=/(/+l)ft:=2h2角动量的z分量乙=、=f.3.设t=0时刻氢原子处于中伉0)=；%|.艮3)_%5sM状态，其中 Tnlm(r,s，(p)是氢原子哈密顿算符的正交归一化本征波函数求：(1)t=0时刻，体系能量 的平均值.2/T,广(2)t=0时刻，体系角动量平方L2的平均值.(3)t=0时刻，体系角动量x分量Lx的平均值.(4)t=t时刻，体系所处的状态中任/).北京航空航天大学2008研解：(1)由题意可知n=2,3故t=0时，体系能量平均值为f J 13(2乃3 1(二八4 8 证 4 18 而7 式2了产=96-,而 tr(2)由题意知1=1,2贝1|右。=(+1)而=西，区=r的平均值为二=，+猾与卷.(3)由关系式匚、二=戏1+1)531).(。卜二而口=-+1.)另外，由正交归一条件有故t=0时匚平均值为匚=(一。0)工-&,0)=法；(沁1-V%)邛-冬二-孚%0)&幺 j L L*r L-r(4)t时刻体系所处的状态为4.设氢原子处于状态:4 4V2(a)测得该原子的能量的可能值为多少?相应的概率又为多少？(b)测得的角动量分量/.的可能值和相应概率为多少?湖南大学 2009研解：(a)氢原子能级=，二也为玻尔半径.故氢原子可能能量为 lan&=-卷，对应概率为？j+1可/对应概率为(1 丫 1而 五I=2(b)由题意，m=l,1,0而上可能取值为福故上可能取值有.=力，对应概率口丫=工，16匚=。，对应概率-4)16匚,对应概率15.氢原子处在基态中58)=一求:(1)r的平均值;(2)动能的平均值;(3)动量的概率分布函数。湖南大学2009研【提示：v2了妒蜀 H箭触号/3“加解：(1)r的平均值即金 鼻俚卜|5=4-e入dr=”5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级 和简并度，与三维各向同性谐振子比较.上3.9题(2)由维里定理7=g厂(。为势能关于r的基次)有动能平均值了=人而氢原子基态能量为片=-=7+广，其中玻尔半径4=2 2%皿故7=-旦=巨=5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.上3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和 简并度，与三维各向同性谐振子比较.6练习题求电荷为q的一维谐振子在外加均匀电场E中的能级，哈密顿量为H=6+?_庐、.中科院2008研解：记r=x-Q x、=qE!吃1,则哈密顿量可时的哈密顿量%=乏+!”k相比，相差一常数，且X,p换为f,P,对易关系不,2/2变，而这不影响原有的能级，所以线=（+!）方+2 2 2 2 网7练习题一、选择题1.下面哪组是泡利矩阵（）中南大学2010研A 0j-4 o-）oj；（J；%=（0 1?）j-G）；%,（？o1）C.0,=（?；）；%（o*）1（o1-i）D.【答案】A dg=2z%a 3F=1jo 1 fo-A fl o【解析】泡利矩阵必须满足也下附羽关涿0产Io-1用由，最终推导出泡利矩阵只能为 二、计算题1.在户和力的共同表象中，算符/；的矩阵为Lx=；：，求上的本 I。】。1征值和归一化的本征函数，并将矩阵Lx对角化.华南理工大2009研a解：（1）设。的本征方程为其中本征函数卜=bIJ容易解得。的本征值和相应的本征态矢分别为：(1“。严T(2)将任上)表象中工的三个本征矢并列，得到从(方上)表象到fl 2 1、任上)表象变换矩阵0 y 利用变换公式=ss，31 J(1 0 0、得到上，的对角化矩阵4=方0 0 0W 0 L2.质量为m的粒子处于角频率为3的一维谐振子势中。(a)写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数(可不归 一化).(b)写出在动量表象中的哈密顿算符.(C)证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为.力华南理工大学2010研2m 2 c/r解:(a)在坐标表象中一维谐振子的哈密顿算符为人 方2H=-y+2m dx 2本征值和波函数：旦=(+；方%(2=*工况(公)=0.1.2,(b)在动量表象中坐标算符可表示为=法士，则一维谐振子的势能 p为1 2 人 2 1 0-2I=-mGT X=10方22则哈密顿算符为育=7”哼（c）证：在动量表象中哈密顿的矩阵元可表示为Hdp次”尸）3.设已知在乎和、的共同表象中，算符6、和*,的矩阵分别为 品窗；卜却.试在Sy取值为-！的本征态下求Sx的可能取值和相应的 概率及Sx的平均值.北京航空航天大学2009研解：工可能取得的值有！（与）和一用3,设5=-二的本征态矢为2 2T 2 2开 2 2开%=|11VC1J则由$3=S中：可以解得W）.同理由觌=皿可以解得为=1目）时态S L 2 2了矢为3=1，概率为1=一；（白态矢为j=,概率为 V2 1，2 2 2,7 一；cos(a /?)cos(a-fl),pcosnwe/w-；-ccs“.sinnn-r 1解:【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程fi2 d:/、/、cp(x)=Eq)(x),2g dx，a$=o 处于定态时有0,设卜=借贝！I有Q(x)=sin kx:coskx由于势函数满足V(x)=V(x),则波函数满足奇宇称或偶宇 称。满足偶宇称时有Mx)=Acoskx,注意到有左=上Na1,2,3则片=上二V-F再考虑到归一化条件(Q(x)，6(x)=l有3丝也.推向丝也(十)a|V a a 2注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态,则仍=J-sin J 7兀(x+令a a 2同理，对奇宇称有Mx)=Bsin kx,QN)冗 _ 方k,”八？/、(2.QN)1/,。、kl=一：E=2N),仍(x)=_sin(x+-)a 2鹿，V ci a 2t sin (x+-).|x|故 2=1其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只 能取两个值：1.（3）在耦合角动量表象中，总自旋？与金的共同本征态其中网=1功,|1闫叫1助=+I+1】叨砌=*I叫T】明则题中|力=|T1）+|%=闵10”故是？的本征态.2.两个质量为m的粒子处于一个边长为abc的，不可穿透的长 盒子中.求下列条件该体系能量最低态的波函数（只写出空间部分）及 对应能量.（1）非全同离子；（2）零自旋全同离子；（3）自旋为1/2的全同离子.中国科学院2010研解：单粒子在边长abc的盒子中的定态波函数和定态能量为,阱内阱外m1：m2：m3=L2:3；（1）当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为欢 为）=弘 11（1：员：4）弘 11（“2：$2：乙2）对应能量为石=2马11=子（3+5+之）。（2）对于零自旋全同离子，体系的波函数必须是交换对称的，则体 系能量最低的函波数是收小马）=%11（巧：必，4）弘11（巧：$2七）对应能量为E=211=_（斗+/+3）o（3）对于自旋为1/2的全同粒子，体系的波函数必须是交换反对称自旋2属对应的本征函数有4个：叫，|10），。已知|00）是交换反对称的，要配对称的空间波函数；|n）,|10，|1母 是交换对称的，要配反对称的空间波函数。所以体系能量最低的态对应 的波函数是：欢勺外）=弘11（*1：11：4）弘 11（“2：户2七）|。）对应能量E=2%=03.一个电子在沿正Z方向的均匀磁场B中运动（只考虑自旋），在t=0时测量到电子自旋沿正X方向，求在t0时的自旋波函数以及Sy的平均值.北京航空航天大学2008研解：在卓和表象下1由可以解得%=1(2)时态矢为叱】=正即t=0时刻电子自选波函数中。=匕=其中a和0分别为</p>
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