高考文科数学复习第一轮极坐标与参数方程.docx

高考文科数学
一轮复习

（极坐标及参数方程）

第二讲 极坐标及参数方程
目标认知
考试大纲要求：
　　1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；
　　2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；
　　3. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；
　　4. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并及空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别；
　　5. 了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；
　　6. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。

重点、难点：
　　1．理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，掌握参数方程及普通方程的互化。
　　2．理解极坐标的概念，掌握极坐标及直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。

【知识要点梳理】:
知识点一：极坐标
1．极坐标系
　　平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。

2．极坐标系内一点的极坐标
　　平面上一点到极点的距离称为极径，及轴的夹角称为极角，有序实数对
　　就叫做点的极坐标。
　　（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；
　　　　 当时表示极点；
　　　　 当时，点的位置这样确定：作射线，
　　　　 使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。
　　（2）点及点（）所表示的是同一个点，即角及的终边是相同的。
　 　　　综上所述，在极坐标系中，点及其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，
　　　　 即，, 均表示同一个点.

3. 极坐标及直角坐标的互化
　　当极坐标系及直角坐标系在特定条件下（①极点及原点重合；②极轴及轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：
　　直角坐标化极坐标：；
　　极坐标化直角坐标：.
　　此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.

4. 直线的极坐标方程：
　　（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.
　　（2）过垂直于极轴的直线：

5. 圆的极坐标方程：
　　（1）以极点为圆心，为半径的圆：.
　　（2）若，，以为直径的圆：

知识点二：柱坐标系及球坐标系：
1. 柱坐标系的定义：
　　空间点及柱坐标之间的变换公式：

2. 球坐标系的定义：
　　空间点及球坐标之间的变换公式：

知识点三：参数方程
　　1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：
　　，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.
　　相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。

知识点四：常见曲线的参数方程
1．直线的参数方程
　　（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：
　　　 　（为参数）；
　　其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。

　　（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：
　 　　　（为参数，为为常数，）；
　　　　其中的几何意义为：若是直线上一点，则。

2．圆的参数方程
　　（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：
　　　 　（是参数，）；
　　　　 特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。　
　　（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

　　（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程
　　（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。
　　（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。
　　　　 如图中，点对应的角为（过作轴，
　　　　 交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。
　　（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。
　　　　 椭圆上任意一点可设成，
　　　　 为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程
　　双曲线（,）的参数方程为（为参数）。　

5. 抛物线的参数方程
　　抛物线()的参数方程为（是参数）。
　　参数的几何意义为：抛物线上一点及其顶点连线的斜率的倒数，即。

规律方法指导：
　　1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.
　　2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范
【课前演练】
一、选择题
1.已知集合,,则=
A．{x|-1≤x＜1} B．{x |x>1} C．{x|-1＜x＜1} D．{x |x≥-1}

2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=
A．-2 B． C. D．2
3.若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是

A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C．单凋递增的偶函数 D．单涮递增的奇函数
4．若向量满足,及的夹角为,则
A． B． C. D．2

5．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙地所经过的路程s及时间t之间关系的图象中，正确的是

二、填空题
11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是 ．

12．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 ．

13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an= ；若它的第k项满足5<ak<8，则k=

14．(坐标系及参数方程选做题)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，π/6)到直线l的距离为 ．

15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D， 则∠DAC= ．

【经典例题精析】
类型二：参数方程及普通方程互化
　　4．把参数方程化为普通方程
　　(1) 　(，为参数)；　 （2） (，为参数）；
　　（3）　(,为参数)；　　 　　 （4） (为参数).
　　思路点拨:
　　（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；
　　（2）利用三角恒等式进行消参；
　　（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；
　　（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。

　　总结升华：
　　1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。
　　2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.
　　举一反三：
　　【变式1】化参数方程为普通方程。
　　　　　　（1）(t为参数) ；　　 （2）（t为参数）.

　　【变式2】（1）圆的半径为_________ ；
　　　　　　　（2）参数方程(表示的曲线为（　 ）。
　　　　　　　 A、双曲线一支，且过点　　 　B、抛物线的一部分，且过点
　　　　　　　 C、双曲线一支，且过点　　　D、抛物线的一部分，且过点

　　【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（　 ）。
　　　　　　　　　A、　　 　 B、　　　 C、　　 D、
　　　　　　 （2）为锐角，直线的倾斜角（ 　　 ）。
　　　　　　　　　 A、　　　 B、　　　 C、　　　 D、

　　5．已知曲线的参数方程（、为常数）。
　　　 （1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型；
　　　 （2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。
　　思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。

　　总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。
　　举一反三：
　　【变式】已知圆锥曲线方程为。
　　　　　（1）若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。
　　　　　（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。

【课堂检测】
选择题　
３０．椭圆的两个焦点坐标是( )。
A．(-3, 5)，(-3, -3) B．(3, 3)，(3, -5)
C．(1, 1)，(-7, 1) D．(7, -1)，(-1, -1)
六、1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列在曲线上的点是（ ）
A． B． C． D．
3．将参数方程化为普通方程为（ ）
A． B． C． D．

6．极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
七、1．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点及之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．参数方程为表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
3．直线和圆交于两点，
则的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．及参数方程为等价的普通方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
八、1．把方程化为以参数的参数方程是（ ）
A． B． C． D．
2．曲线及坐标轴的交点是（ ）
A． B．
C． D．
3．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B．
C． D．
4．若点在以点为焦点的抛物线上，
则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．在极坐标系中及圆相切的一条直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
填空题　
参、５．把参数方程(α为参数)化为普通方程，结果是。

六、1．直线的斜率为______________________。

2．参数方程的普通方程为__________________。

3．已知直线及直线相交于点，又点，
则_______________。

4．直线被圆截得的弦长为______________。

七、1．曲线的参数方程是，则它的普通方程为__________________。
2．直线过定点_____________。
3．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。
4．曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为________________。

5．设则圆的参数方程为__________________________。

八、1．已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么=_______________。
2．直线上及点的距离等于的点的坐标是_______。
3．圆的参数方程为，则此圆的半径为_______________。

4．极坐标方程分别为及的两个圆的圆心距为_____________。
5．直线及圆相切，则_______________。

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