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初中数学函数知识点归纳新范文.doc

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初中数学函数知识点归纳新范文 函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) 平面直角坐标系 1、定义:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限:(+,+) 第二象限:(-,+) 第三象限:(-,-) 第四象限:(+,-) 3、坐标轴上点的坐标特征: x轴上的点,y为零;y轴上的点,x为零;原点的坐标为(0 , 0)。 4、点的对称特征:已知点P(), 关于x轴的对称点坐标是(), 横坐标相同,纵坐标反号 关于y轴的对称点坐标是() 纵坐标相同,横坐标反号 关于原点的对称点坐标是() 横,纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征: 平行于x轴的直线上的任意两点:纵坐标相等; 平行于y轴的直线上的任意两点:横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征: 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点P()的几何意义: 点P()到x轴的距离为 ,点P()到y轴的距离为 。 点P()到坐标原点的距离为 8、两点之间的距离: X轴上两点为A、B Y轴上两点为C、D 已知A、B 9、中点坐标公式:已知A、B M为的中点,则:( , ) 10、点的平移特征: 在平面直角坐标系中, 将点()向右平移a个单位长度,可以得到对应点( ,y); 将点()向左平移a个单位长度,可以得到对应点( ,y); 将点()向上平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b); 将点()向下平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y-b)。 函数的基本知识: 基本概念 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值及其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。 *判断A是否为B的函数,只要看B取值确定的时候,A是否有唯一确定的值及之对应 3、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 4、函数的图像 一般来说,对于一个函数,如果把自变量及函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. 5.函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 6、描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值); 第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点); 第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。 7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法 一次函数图象和性质 【知识梳理】 一、一次函数的基础知识 1、定义:一般地,形如+b(是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数 当0时,+b即,称为正比倒函数,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式: (k≠0) 说明: ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数 2、解析式:(k、b是常数,k0) 3、图像:一次函数的图象是经过(0,b)和(-,0)两点的一条直线,我们称它为直线, 4、增减性(单调性): k>0,y随x的增大而增大(单调增);k<0,y随x而增大而减小(单调减) 5、必过点:(0,b)和(-,0):理由如下:中, ⑴当,时,?? 所以,该函数经过( , )点 ⑵当,时,??所以,该函数经过( , )点 所以,一次函数的图象是必经过(,0)和(0,b)两点的一条直线.,注:两点确定一条直线。画图时,可通过这两点来确定直线。 6、一次函数图像的画法:两点法 1、计算必过点(0,b)和(-,0)2、描点3、连线(从左到右光滑的直线) 7、增减性: k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小. 8、倾斜度(只及k相关):越大,图象越接近于y轴;越小,图象越接近于x轴. 9、及y轴交点 ①当b>0时直线及y轴交于原点上方(即y轴的正半轴); ②当b<0时,直线及y轴交于原点的下方。(即y轴的负半轴) 10、图像的上下平移(只及b相关):直线,它可以看作由直线平移个单位长度得到. 上加下减 例如:23, 将直线 向 平移 个单位;56,将直线  的图象向   平移 个单位 11、一次函数的图象及性质   b>0 b<0 0(正比例函数) k>0 经过:第一、二、三象限 不经过:第四象限 经过:第一、三、四象限不经过:第二象限 经过:第一、三象限 不经过:第二、四象限 增减性(单调性):图象从左到右上升,y随x的增大而增大,单调增 k<0 经过第一、二、四象限 不经过:第三象限 经过第二、三、四象限 不经过:第一象限 经过第二、四象限 不经过:第一、三象限 增减性(单调性):图象从左到右下降,y随x的增大而减小,单调减 必过点:经过(,0)和(0,b)两点,正比例函数即是经过原点(0,0) 12、两直线之间的位置关系(平行或相交): ①平行: ②相交:将两直线方程联立成一个方程组, ,解得结果,即为交点。 13、二元一次方程组及一次函数的关系:两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。 反比例函数图象和性质 【知识梳理】 一、反比例函数的基础知识 1、定义:一般地,形如(为常数,)的函数称为反比例函数。 还可以写成 2、解析式:(为常数,) 注:反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数(也叫做比例系数),分母中含有自变量,且指数为1.②比例系数 ③自变量的取值为一切非零实数。(反比例函数有意义的条件:分母≠0) ④函数的取值是一切非零实数。 3、增减性(单调性): k>0,y随x的增大而减小(单调减);k<0,y随x增大而增大(单调增) 4、反比例函数的图象:双曲线 (1)图像的画法:描点法 ① 列表(应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序) ③ 连线(从左到右光滑的曲线) (3)反比例函数(为常数,)中自变量,函数值,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支(称为左、右支),延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不及坐标轴相交。 (4)比例系数的几何含义(右图):反比例函数y= (k≠0)中比例系数k的 几何意义,即过双曲线y= (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分 别为A、B,则所得矩形的面积(阴影面积)为 . (由y=变形可得: 因为面积为正数,所以k取绝对值。) 5、反比例函数性质如下表: k的符号 o y x k>0 y x o k<0 图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 增减性(单调性:单调区间内讨论) 在每一象限内,从左到右看,y随x的增大而减小 ; (-∞,0)U(0,+∞)区间内,单调减 在每一象限内,从左到右看 y随x的增大而增大 (-∞,0)U(0,+∞)区间内,单调增 图像的对称性 中心称图形,对称中心是原点; 同时,也是轴对称图形,对称轴是直线 和直线 二次函数图象和性质 【知识梳理】 一、二次函数的基础知识: 1.定义:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零. 二次函数的定义域(x的取值范围):全体实数,R. 2. 解析式(表达式):一般式:(,是常数): 说明:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2. ⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项. 补充:⑴二次函数解析式的表示方法(三种) ①一般式:(,,为常数,); ②顶点式:(,,为常数,);[抛物线的顶点P(h,k)] ③两根式(交点式):(,,是抛物线及轴两交点的横坐标). [仅限于及x轴有两个交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线,即△≥0] 其中 (即一元二次方程求根公式) 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系: 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线及轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. ⑵二次函数及的比较 从解析式上看,及是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中. 3、二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线及轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 4、二次函数图象的画法 五点绘图法: ① 利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标; ② ②然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、及轴的交点、以及关于对称轴对称的点、及轴的交点,(若及轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,及轴的交点,及轴的交点. 3、 二次函数的图像:抛物线 (1)对称性:抛物线是轴对称图形。对称轴:直线,对称轴及抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线0) (2)抛物线有一个顶点P, 当=0时,P在y轴上;当Δ= =0时,P在x轴上。 4、 及抛物线的关系(是二次项系数,是一次项系数,是常数项) 5x2 2 x y (1)a决定抛物线的开口方向和大小: 开口方向:a为正(a>0),开口朝上,有最小值; a为负(a<0),开口朝下,有最大值; 开口大小:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 (2)a、b共同决定 的符号决定对称轴的位置,分两种情况: ①当a及b同号时(即>0),对称轴在y轴左侧; ②当a及b异号时(即<0),对称轴在y轴右侧。 概括的说就是“左同右异” (3)常数项c决定抛物线及y轴交点。 抛物线及y轴交于(0,c),分三种情况: ⑴ 当时,抛物线及轴的交点在轴上方,即抛物线及轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当时,抛物线及轴的交点为坐标原点,即抛物线及轴交点的纵坐标为; ⑶ 当时,抛物线及轴的交点在轴下方,即抛物线及轴交点的纵坐标为负. 总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 6、抛物线及x轴交点个数 Δ= >0时,抛物线及x轴有2个交点。A(x1,0)和B(x2,0) Δ0时,抛物线及x轴有1个交点。顶点P Δ= <0时,抛物线及x轴没有交点。 y △=0 x △<0 y x △>0 y x A B P 配图:开口向上(开口向下,情况类似) 7、类比一元二次方程的根的情况: 特别地,二次函数(以下称函数) 当0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即 此时,函数图像及x轴有无交点即方程有无实数根。 函数及x轴交点的横坐标即为方程的根。 8、二次函数的图像和性质 >0 y x O <0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x= 时, y有最 值,y 当x= 时, y有最 值,y 增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而  y 随x的增大而  在对称轴右侧 y随x的增大而  y随x的增大而  9. 应用: (1)最大面积;(2)最大利润;(3)其它 10、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标; ⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移? 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成 (或) ⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或) 综合练习 (1)下列函数,① ②. ③ ④.⑤⑥ ;其中是y关于x的反比例函数的有:。 (2)函数是反比例函数,则的值是(  )   A.-1      B.-2     C.2     D.2或-2 (3)如果是的反比例函数,是的反比例函数,那么是的(  ) A.反比例函数  B.正比例函数   C.一次函数   D.反比例或正比例函数 (4)如果是的正比例函数,是的反比例函数,那么是的( ) (5)如果是的正比例函数,是的正比例函数,那么是的( ) (6)反比例函数的图象经过(—2,5)和(, ), 求(1)的值;(2)判断点B(,)是否在这个函数图象上,并说明理由 (7)已知函数,其中及成正比例, 及成反比例,且当=1时,=1;=3时,=5.求:(1)求关于的函数解析式;  (2)当=2时,的值. (8)若反比例函数的图象在第二、四象限,则的值是(   ) A、 -1或1;   B、小于的任意实数; C、-1;    D、不能确定 (9)已知,函数和函数在同一坐标系内的图象大致是( ) (10)、如图,正比例函数及反比例函数的图象相交于A、C两点, 过点A作⊥轴于点B,连结.则Δ的面积等于(   )  A.1  B.2  C.4  D.随的取值改变而改变. 11、已知函数,其中成正比例,成反比例,且当 12、(8分)已知,正比例函数图象上的点的横坐标及纵坐标互为相反数,反比例函数在每一象限内的增大而减小,一次函数过点. (1)求的值. (2)求一次函数和反比例函数的解析式. 二次函数提高题:1. 是二次函数,则的值为( ) A.0或-3 B.0或3 C.0 D.-3 2.已知二次函数及轴的一个交点A(-2,0),则值为( ) A.2 B.-1 C.2或-1    D.任何实数 3.及形状相同的抛物线解析式为( ) A. B. C. D. 4.关于二次函数,下列说法中正确的是( ) A.若,则随增大而增大    B.时,随增大而增大。 C.时,随增大而增大     D.若,则有最小值. 5.函数经过的象限是( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二象限 C.第三、四象限 D.第一、二、四象限 6.已知抛物线,当时,它的图象经过(   ) A.第一、二、三象限   B.第一、二、四象限  C.第一、三、四象限  D.第一、二、三、四象限 7.对的叙述正确的是( ) A.当=1时,最大值=2   B.当=1时,最大值=8 C.当=-1时,最大值=8 D.当=-1时,最大值=2 8.二次函数的图象过点(1,0)、(0,3),对称轴=-1. ①求函数解析式; 5、 图象及轴交于A、B(A在B左侧),及y轴交于C,顶点为D,求四边形的面积. 9、抛物线及的形状相同,而开口方向相反,则=( ) (A) (B) (C) (D) 10.把二次函数配方成顶点式为( ) A. B. C. D. 11.函数的图象及轴有交点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 12、若抛物线的开口向下,顶点是(1,3),随的增大而减小,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D) 13.抛物线过第二、三、四象限,则 0, 0, 0. 14.抛物线可由抛物线向 平移 个单位得到. 15.顶点为(-2,-5)且过点(1,-14)的抛物线的解析式为 . 16.对称轴是轴且过点A(1,3)、点B(-2,-6)的抛物线的解析式为 . 17.已知抛物线及轴交于点A,及轴的正半轴交于B、C两点,且2,S△3,则= ,= . 18、已知二次函数 的图象经过点(1,0)和(-5,0)两点,顶点纵坐标为,求这个二次函数的解析式。 对称轴、顶点、平移: 1.抛物线的顶点坐标为 . 2.抛物线的顶点坐标是 3.抛物线及轴的一个交点为,则这个抛物线的顶点坐标是 . 4.二次函数的最小值是 5.已知二次函数的对称轴和轴相交于点,则的值为. 6.抛物线的对称轴是直线 7.将抛物向左平移1个单位后,得到的抛物线的解析式是 . 8.把抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是,则有a、b、c的值分别是 图像交点、判别式: 9..已知抛物线及轴相交于两点,且线段,则的值为 . 10.已知二次函数不经过第一象限,且及轴相交于不同的两点,请写出一个满足上述条件的二次函数解析式 . 11.若抛物线的顶点在轴的下方,则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 12.已知二次函数,且,,则一定有( ) A. B. C. D. ≤0 利用图像: 1.若直线y=m(m为常数)及函数y=的图像恒有三个不同的交点, m的取值范围是———。 2.下列图形: ① ② ③ ④ 其中,阴影部分的面积相等的是(  ) A.①② B.②③ C.③④ D.④① 3.若为二次函数的图象上的三点,则的大小关系是(  ) A. B. C. D. 4..二次函数图象上部分点的对应值如下表: 0 1 2 3 4 6 0 0 6 则使的的取值范围为     . 5.二次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是(  ) A. B. C. D. O 6.二次函数的图象如图所示,则直线的图象不经过(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.在同一平面直角坐标系中,一次函数和二次函数的图象可能为( ) A. B. C. D. 8.二次函数的图象如右图,则点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9.二次函数的图象如图所示,反比列函数及正比列函数在同一坐标系内的大致图象是( ) 第9题 O x y O y x A O y x B O y x D O y x C 1. 已知一次函数y1及反比例函数y2=在同一直角坐标系中的图象如图所示,则当y1<y2时,x的取值范围是(  ) A.x<﹣1或0<x<3 B.﹣1<x<0或x>3 C.﹣1<x<0 D.x>3 1. 2. 2.如图,双曲线及直线交于点M.N,并且点M的坐标为(1,3),点N的纵坐标为﹣1.根据图象信息可得关于x的方程的解为(  ) A.﹣3,1 B.﹣3,3 C.﹣1,1 D.﹣1,3 3.如图,直线l和双曲线交于A、B两点,P是线段上的点(不及A、B重合),过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别为C、D、E,连接、、0P,设△的面积为S1、△的面积为S2、△的面积为S3,则(  ) A、S1<S2<S3 B、S1>S2>S3 C、S12>S3 D、S12<S3 3. 4. 4.如图,过y轴正半轴上的任意一点P,作x轴的平行线,分别及反比例函数的图象交于点A和点B,若点C是x轴上任意一点,连接、,则△的面积为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.若一次函数的图象经过反比例函数图象上的两点(1,m)和(n,2),则这个一次函数的解析式是   .6.若一次函数1的图象及反比例函数的图象没有公共点,则实数k的取值范围是 . 22 / 22
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