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高等数学 下册 知识点

第八章 向量与解析几何
向量代数
两点间的距离公式：
方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角

向量代数
定义
定义与运算的几何表达
在直角坐标系下的表示
向量
有大小、有方向. 记作或

模
向量的模记作

和差

单位向量
，则

方向余弦
设与轴的夹角分别为，则方向余弦分别为

点乘（数量积）
， 为向量a与b的夹角

叉乘（向量积）

为向量a与b的夹角
向量与，都垂直

定理与公式
垂直

平行

交角余弦
两向量夹角余弦

投影
向量在非零向量上的投影

曲面、空间曲线与其方程
1、 曲面与其方程Σ : F(x, y, z) = 0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画
母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母
线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面与其方程并会作
2、旋转曲面：
面上曲线，绕轴旋转一周：绕轴旋转一周：
1、 柱面：表示母线平行于轴，准线为的柱面
2、 二次曲面:椭圆锥面： 椭球面：
旋转椭球面： 单叶双曲面：
双叶双曲面： 椭圆抛物面：
双曲抛物面（马鞍面）： 椭圆柱面：
双曲柱面： 抛物柱面：

空间曲线与其方程:
一般方程： 参数方程：
如螺旋线： 空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影

3:曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投谁便消去谁
平面方程与直线方程
平面
直线
法向量 点
方向向量 点
方程名称
方程形式与特征
方程名称
方程形式与特征
一般式

一般式

点法式

点向式

三点式

参数式

截距式

两点式

面面垂直

线线垂直

面面平行

线线平行

线面垂直

线面平行

点面距离

面面距离

面面夹角
线线夹角
线面夹角

第九章 多元函数微分法与其应用
（一） 基本概念
距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
1、 多元函数：，图形：
2、 极限：
3、 连续：
4、 偏导数：

5、 方向导数： 其中为的方向角。
6、 梯度：，则。
7、 全微分：设，则
（二） 性质
1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
偏导数存在
函数可微
函数连续
偏导数连续
充分条件
必要条件
定义
1
2
2
3
4

2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）
3、 微分法
1） 定义：
2） 复合函数求导：链式法则
若，则
，
3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）
（三） 应用
1、 极值
1） 无条件极值：求函数的极值
解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令
，，，
① 若，，函数有极小值，
若，，函数有极大值；
② 若，函数没有极值；
③ 若，不定。
2） 条件极值：求函数在条件下的极值
令： ——— Lagrange函数
解方程组
2、 几何应用
1） 曲线的切线与法平面
曲线，则上一点（对应参数为）处的
切线方程为：
法平面方程为：
2） 曲面的切平面与法线
曲面，则上一点处的切平面方程为：

法线方程为：

空间曲线：

切向量

切“线”方程：
法平“面”方程：

切向量

切“线”方程：
法平“面”方程：

空间曲面
：

法向量

切平“面”方程：

法“线“方程：

或

切平“面”方程：

法“线“方程：

第十章 重积分

重积分
积分类型
计算方法
典型例题

二重积分

平面薄片的质量

质量=面密度面积
（1） 利用直角坐标系
X—型
Y—型
P141—例1、例3
（2）利用极坐标系
使用原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 )

P147—例5
（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）

P141—例2
应用该性质更方便
计算步骤与注意事项
1． 画出积分区域
2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数
关于坐标变量易分离
3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙
4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域
5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性

三重积分

空间立体物的质量

质量=密度面积
(1) 利用直角坐标
投影
P159—例1

P160—例2
有先一后二和先二后一之分
（2） 利用柱面坐标
相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标
适用范围:
积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体
被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如

P161—例3
（3）利用球面坐标

适用范围:
积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.
被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，

P165—10-(1)

（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性

第十一章曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分
积分类型
计算方法
典型例题

第一类曲线积分

曲形构件的质量
质量=线密度弧长
参数法（转化为定积分）
（1）
（2）
（3）

P189-例1
P190－3

平面第二类曲线积分

变力沿曲线所做的功
（1） 参数法（转化为定积分）

P196-例1、例2、例3、例4
（2）利用格林公式（转化为二重积分）
条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）
②P，Q具有一阶连续偏导数
结论：
应用：
P205－例4
P214-5(1)(4)
（3）利用路径无关定理（特殊路径法）
等价条件：① ②
③与路径无关，与起点、终点有关
④具有原函数
（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）
P211-例5、例6、例7
（4）两类曲线积分的联系

空间第二类曲线积分

变力沿曲线所做的功

（1）参数法（转化为定积分）

（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）
条件：①L封闭，分段光滑，有向
②P，Q，R具有一阶连续偏导数
结论：
应用：
P240-例1

第一类曲面积分
曲面薄片的质量
质量=面密度面积
投影法
： 投影到面

类似的还有投影到面和面的公式
P217-例1、例2

第二类曲面积分

流体流向曲面一侧的流量
（1）投影法

：，为的法向量与轴的夹角
前侧取“+”，；后侧取“”，

：，为的法向量与轴的夹角
右侧取“+”，；左侧取“”，

：，为的法向量与轴的夹角
上侧取“+”， ；下侧取“”，
P226-例2
（2）高斯公式 右手法则取定的侧
条件：①封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧
②P，Q，R具有一阶连续偏导数

结论：
应用：
P231-例1、例2
（3）两类曲面积分之间的联系

转换投影法：
P228-例3

所有类型的积分：
定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；
性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；
对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章 级数

无穷级数

常数项级数
傅立叶级数
幂级数
一般项级数
正项级数
用收敛定义，存在
常数项级数的基本性质
常数项级数的基本性质
若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛.
两个收敛级数的和差仍收敛.
注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.
去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性.
若级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛.
（必要条件） 如果级数收敛, 则
莱布尼茨判别法
若且，则收敛
则级数收敛.

和都是正项级数，且.若收敛，则也收敛；若发散，则也发散.

比较判别法
比较判别法的极限形式
和都是正项级数，且，则若,与同敛或同散;若,收敛,也收敛；如果，发散，也发散。
比值判别法
根值判别法
是正项级数，,,则时收敛；()时发散；时可能收敛也可能发散.
收敛性
和函数
展成幂级数
,,
缺项级数用比值审敛法求收敛半径

的性质在收敛域上连续;在收敛域内可导，且可逐项求导;和函数在收敛域上可积分，且可逐项积分.(不变,收敛域可能变化).
直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式

收敛定理
是连续点,收敛于;是间断点,收敛于
周期
延拓
为奇函数，正弦级数，奇延拓；为偶函数，余弦级数、偶延拓.
交错
级数

- 13 - / 12