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(六)函数、导数与不等式专练
1．设函数f(x)＝＋2ln x.
(1)讨论函数f(x)单调性；
(2)如果对所有x≥1，都有f(x)≤ax，求a取值范围．
2．函数f(x)＝图象在点(1，f(1))处切线与x轴平行．
(1)求实数a值及f(x)极值；
(2)假设对任意x1，x2∈[e2，＋∞)，有>，求实数k取值范围．
3．设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数底数)时，求f(x)极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点个数．
4．函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x，g(x)＝(a∈R，e为自然对数底数)．
(1)当a＝1时，求f(x)单调区间；
(2)假设对任意给定x0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，求a取值范围．
答 案
1．解：(1)f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
所以当0<x<时，f′(x)<0，当x>时，f′(x)>0，
故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)当x≥1时，f(x)≤ax⇔a≥＋，
令h(x)＝＋(x≥1)，
那么h′(x)＝－＝，
令m(x)＝x－xln x－1(x≥1)，那么m′(x)＝－ln x，
当x≥1时，m′(x)≤0，所以m(x)在[1，＋∞)上为减函数，
所以m(x)≤m(1)＝0，因此h′(x)≤0，于是h(x)在[1，＋∞)上为减函数，
所以当x＝1时，h(x)有最大值h(1)＝1，故a≥1，
即a取值范围是[1，＋∞)．
2．解：(1)由题意得f′(x)＝，f′(1)＝0，解得af′(x)＝＝0，解得x＝1，
即f(x)有极大值为f(1)＝1.
(2)由>，
可得>k，
令g＝f(x)，那么g(x)＝x－xln x，其中x∈(0，e－2]，g′(x)＝－ln x，又x∈(0，e－2]，那么g′(x)＝－ln x≥2，
即>2，
因此实数k取值范围是(－∞，2]．
3．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，那么f′(x)＝，
∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，
∴f(x)极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，那么φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)最大值点，
∴φ(x)最大值为φ(1)＝ .
结合y＝φ(x)图象(如图)，可知，
①当m>时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0<m<时，函数g(x)有两个零点；
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<时，函数g(x)有两个零点．
4．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2ln x，f′(x)＝1－，定义域为(0，＋∞)．
由f′(x)<0，解得0<x<2，由f′(x)>0，解得x>2.
故f(x)单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)g′(x)＝(1－x)e1－x，
当x∈(0，1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x∈(1，e]时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．
因为g(0)＝0，g(1)＝1，g(e)＝e·e1－e>0，
所以函数g(x)在(0，e]上值域为(0，1]．
当a＝2时，不合题意；
当a≠2时，f′(x)＝2－a－＝
＝，x∈(0，e]，
故0<<e，a<2－，①
此时，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
最小值
单调递增
0，f(x)→0，f(x)→＋∞，
f＝a－2ln，f(e)＝(2－a)(e－1)－2.
对任意给定x0∈(0，e]，要在区间(0，e]上总存在两个不同xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，那么需使a满足以下条件：
即
令h(a)＝a－2ln，a∈，
h′(a)＝1－2[ln 2－ln(2－a)]′＝1－＝，
令h′(a)＝0，得a＝0，
当a∈(－∞，0)时，h′(a)>0，函数h(a)单调递增；
当a∈(0，2－)时，h′(a)<0，函数h(a)单调递减．
所以，对任意a∈，有h(a)≤h(0)＝0，
即②对任意a∈恒成立．
由③式解得a≤2－.④
综合①④可知，当a∈时，对任意给定x0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立．
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