初二数学-特殊四边形中的动点问题(教师版).docx

特殊四边形中的动点问题及解题方法
1、 如图，在直角梯形中，∥，∠90°，24，8，26，动点P从A开始沿边向D以1的速度运动；动点Q从点C开始沿边向B以3的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为．
（1）当t为何值时，四边形为平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形为等腰梯形？
（3）当t为何值时，四边形为直角梯形？

分析：
（1）四边形为平行四边形时．
（2）四边形为等腰梯形时2．
（3）四边形为直角梯形时．
所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．
解答：
解：（1）∵四边形平行为四边形
∴
∴243t
解得：6
即当6时，四边形平行为四边形．

（2）过D作⊥于E
则四边形为矩形
∴24
∴2
∵四边形为等腰梯形
∴2
即3（24）=4
解得：7（s）
即当7（s）时，四边形为等腰梯形．

（3）由题意知：时，
四边形为直角梯形即3（24）=2
解得：6.5（s）
即当6.5（s）时，四边形为直角梯形．
点评：
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．

2、 如图，△中，点O为边上的一个动点，过点O作直线∥，设交∠的外角平分线于点F，交∠内角平分线于E．
（1）试说明；
（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形并证明你的结论；
（3）若边上存在点O，使四边形是正方形，猜想△的形状并证明你的结论．

分析：
（1）根据平分∠，∥，找到相等的角，即∠∠，再根据等边对等角得，同理，可得．
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
解答：
解：（1）∵平分∠，
∴∠∠，
∵∥，
∴∠∠，
∴∠∠，
∴，
同理，，
∴．

（2）当点O运动到中点处时，四边形是矩形．
如图，，
∴四边形为平行四边形，
∵平分∠，
∴∠ ∠，
同理，∠ ∠，
∴∠∠∠ （∠∠）= ×180°=90°，
∴四边形是矩形．

（3）△是直角三角形
∵四边形是正方形，
∴⊥，故∠90°，
∵∥，
∴∠∠，
∴∠90°，
∴△是直角三角形．
点评：
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．

3、 如图，直角梯形中，∥，∠90°，已知3，4，动点P从B点出发，沿线段向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段向点A作匀速运动．过Q点垂直于的射线交于点M，交于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求，的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形构成平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使射线恰好将△的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：t为何值时，△为等腰三角形．

分析：
（1）依据题意易知四边形是矩形∴，、已知，就是t，即解；∵∥，∴△∽△，∴：：，（2）、已知，根据勾股定理可求5，即可表示；
四边形构成平行四边形就是，列方程4即解；
（3）可先根据平分△的周长，得出，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△的面积，即可判断出△的面积是否为△面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．
（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：
①当时，那么2，据此可求出t的值．
②当时，可根据和的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．
③当时，在直角三角形中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．
综上所述可得出符合条件的t的值．
解答:
解：（1）∵3
∴4-（3）=1
在△中，222=32+42
∴5
在△中，∠ = ， ．
（2）由于四边形构成平行四边形
∴，即4
解得2．
（3）如果射线将△的周长平分，则有：

即： （1）+1 （3+4+5）
解得： （5分）
而 （1）
∴S△ （1）2= （1）2
当 时，S△（1）2= ≠ ×4×3
∴不存在某一时刻t，使射线恰好将△的面积和周长同时平分．

（4）①当时（如图1）
则有：
即2∴42（1）
解得：
②当时（如图2）
则有：
（1）=4
解得：
③当时（如图3）
则有：
在△中，222
而 （1）
（1）-（4）=23
∴[ （1）]2+（23）2=（4）2
解得：t1= ，t21（舍去）
∴当 ， ， 时，△为等腰三角形
点评：
此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
4、直线 346与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t（秒），△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

分析：
（1）分别令0，0，即可求出A、B的坐标；
（2））因为8，6，利用勾股定理可得10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，
当P在线段上运动（或0≤t≤3）时，，2t，2，当P在线段上运动（或3＜t≤8）时，，6+10-216-2t，作⊥于点D，由相似三角形的性质，得 48-6t5，利用 12×，即可求出答案；
（3）令 485，求出t的值，进而求出、，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．
解答：

解：（1）0，0，求得A（8，0）B（0，6），
（2）∵8，6，∴10．
∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒），
∴点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）．
当P在线段上运动（或O≤t≤3）时，
，2t，2．
当P在线段上运动（或3＜t≤8）时，
，6+10-216-2t，
如图，做⊥于点D，
由 ，得 48-6t5．
∴ 12• 35t2+245t．

（3）当 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P在上
当 485时，- 35t2+245 485
∴4
∴ 48-6×45= 245，16-2×4=8
82-(245)2= 325
∴8- 325= 85
∴P（ 85， 245）
M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245）
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
5.已知：如图，在直角梯形中，，以为原点建立平面直角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒．
（1）求直线的解析式；
（2）若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的？
（3）动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
A
B
D
C
O
P
x
y

6.如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
A
Q
C
D
B
P

四边形中的动点问题课后作业
1. 如图，已知与相交于E，∠1＝∠2＝∠3，＝，∠＝90°，⊥于H，交于F.
（1）求证：∥；
（2）求证：△≌△；
（3）若O为中点，求证：＝.

2、如图1―4―2l，在边长为a的菱形中，∠＝60°，E是异于A、D两点的动点，F是上的动点，满足A E＋，说明：不论E、F怎样移动，三角形总是正三角形．

3、在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)当与满足什么数量关系时，
四边形是矩形，并说明理由．

4、如图l－4－80，已知正方形的对角线、相交于点O，E是上一点，过点A作⊥，垂足为G，交于F，则．
（1）请证明0
（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E在的延长线上，⊥，交 的延长线于 G，的延长线交的延长线于点F，其他条件不变，则仍有．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

5、如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
（1）求的长．
（2）当时，求的值．
A
D
C
B
M
N

（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．

6. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形的四个顶点出发，沿着、、、以同样的速度向B、C、D、A各点移动。
（1）试判断四边形是正方形并证明。
（2）是否总过某一定点，并说明理由。
（3）四边形的顶点位于何处时，
其面积最小，最大？各是多少？

7、已知：如图，△是边长3的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移
动，它们的速度都是1，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△是直角三角形?
（2）设四边形的面积为y（2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形的面积是△面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；

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