福建省莆田八中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)-Word版含解析.doc

福建省莆田八中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

福建省莆田八中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）

一.选择题
1．（5分）一个年级有20个班，每班都是50人，每个班的学生的学号都是1～50．学校为了了解这个年级的作业量，把每个班中学号为5，15，25，35，45的学生的作业留下，这里运用的是（）
A． 系统抽样 B． 分层抽样
C． 简单随机抽样 D． 随机数表法抽样

2．（5分）从甲乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）
A． B． C． D． 1

3．（5分）通过随机抽样用样本估计总体，下列说法正确的是（）
A． 样本的结果就是总体的结果
B． 样本容量越大，可能估计就越精确
C． 样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态
D． 数据的方差越大，说明数据越稳定

4．（5分）命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是（）
A． 若q不正确，则p不正确 B． 若q不正确，则p正确
C． 若p正确，则q不正确 D． 若p正确，则q正确

5．（5分）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P（A）=0.7，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）
A． 0.7 B． 0.2 C． 0.1 D． 0.3

6．（5分）已知两个变量x，y具有线性相关关系，并测得（x，y）的四组值分别是（2，3）、（5，7）、（8，9）、（11，13），则求得的线性回归方程所确定的直线必定经过点（）
A． （2，3） B． （8，9） C． （6，9） D． （6.5，8）

7．（5分）阅读下列程序则该程序对应的程序框图（如图）中，①，②两个判断框内要填写的内容分别是（）
A． x＞0？x＜0？ B． x＞0？x=0 C． xx=0 D． x x＜0

8．（5分）从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）
A． A与C互斥 B． B与C互斥
C． 任两个均互斥 D． 任两个均不互斥

9．（5分）“x≠0”是“x＞0”是的（）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

10．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≥0的概率是（）
A． B． C． D．

11．（5分）如图所示的程序的输出结果为170，则判断框中应填（）

A． i＞7？ B． i≥7？ C． i≥9？ D． i＞9？

12．（5分）F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形AF1F2的面积为（）
A． 7 B． C． D．

二、填空题（每题4分，共16分）．
13．（4分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为．

14．（4分）已知双曲线的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为．

15．（4分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是．

16．（4分）已知一个动圆与圆C：（x+4）2+y2=100相内切，且过点A（4，0），则动圆圆心的轨迹方程．

三、解答题（共74分）
17．（12分）某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）估计这次考试的众数m与中位数n（结果保留一位小数）；
（Ⅱ）估计这次考试的与格率（60分与以上为与格）和平均分．

18．（12分）已知椭圆 C：=1，（a＞b＞0）上一点P到它的两个焦点F1（左），F2（右）的距离的和是2，短轴长为2
（1）求椭圆C的标准方程与离心率的值．
（2）若直线PF1的倾斜角为450，求直线PF1被椭圆C截的弦长的长度．

19．（12分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
（1）求中三等奖的概率；
（2）求中奖的概率．

20．（12分）命题p：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；命题q：对任意的实数x都有x2+ax+a＞0恒成立； 如果p且q为假，p或q为真，求实数a的取值范围．

21．（13分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例与人均GDP如下表：
行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP（单位：美元）
A 25% 8000
B 30% 4000
C 15% 6000
D 10% 3000
E 20% 10000
（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．

22．（13分）2014-2015学年高一（1）班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：

（1）求2014-2015学年高一（1）班参加校生物竞赛人数与分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；
（2）若要从分数在[80，100]之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在[90，100]之间的概率．

福建省莆田八中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一.选择题
1．（5分）一个年级有20个班，每班都是50人，每个班的学生的学号都是1～50．学校为了了解这个年级的作业量，把每个班中学号为5，15，25，35，45的学生的作业留下，这里运用的是（）
A． 系统抽样 B． 分层抽样
C． 简单随机抽样 D． 随机数表法抽样

考点： 系统抽样方法．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 对于比较多的个体，要抽一个样本，要求把每个班中学号为5，15，25，35，45的学生的作业留下，这里运用的抽样方法是系统抽样．
解答： 解：一个年级有20个班，每个班学生的学号都是1～50，
要求把每个班中学号为5，15，25，35，45的学生的作业留下，
这里运用的抽样方法是系统抽样，
故选A．
点评： 本题考查系统抽样，本题解题的关键是理解本抽样的特点，要求每个班都是22号参加活动，这样是一个系统抽样．

2．（5分）从甲乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）
A． B． C． D． 1

考点： 等可能事件的概率．
专题： 计算题．
分析： 从3个人中选出2个人，则每个人被选中的概率都是 ．
解答： 解：从3个人中选出2个人当代表，则所有的选法共有3种，即：甲乙、甲丙、乙丙，
其中含有甲的选法有两种，故甲被选中的概率是 ，
故选C．
点评： 本题考查等可能事件的概率的求法，得到所有的选法共有3种，其中含有甲的选法有两种，是解题的关键．

3．（5分）通过随机抽样用样本估计总体，下列说法正确的是（）
A． 样本的结果就是总体的结果
B． 样本容量越大，可能估计就越精确
C． 样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态
D． 数据的方差越大，说明数据越稳定

考点： 简单随机抽样．
专题： 概率与统计．
分析： 根据样本与总体的关系以与方差的含义，对每一个选项进行分析即可．
解答： 解：对于A，样本的结果不一定是总体的结果，∴A错误；
对于B，样本容量越大，可能估计就越精确，∴B正确；
对于C，样本的标准差可以近似地反映总体数据的稳定状态，∴C错误；
对于D，数据的方差越大，说明数据越不稳定，∴D错误．
故答案为：B．
点评： 本题考查了样本容量与总体的关系，也考查了方差与标准差的含义，是基础题．

4．（5分）命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是（）
A． 若q不正确，则p不正确 B． 若q不正确，则p正确
C． 若p正确，则q不正确 D． 若p正确，则q正确

考点： 四种命题．
专题： 计算题．
分析： 根据原命题与逆命题的关系可得：原命题的结论变为逆命题的条件，原命题的条件变为逆命题的结论．
解答： 解：根据原命题与逆命题的关系可得：
“若p不正确，则q不正确”的逆命题是“若q不正确，则p不正确”
故选A．
点评： 本题主要考查四种命题之间的关系．

5．（5分）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P（A）=0.7，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）
A． 0.7 B． 0.2 C． 0.1 D． 0.3

考点： 概率的基本性质．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 本题是一个对立事件的概率，抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，根据所给的抽到一等品的概率做出抽不到一等品的概率．
解答： 解：由题意知本题是一个对立事件的概率，
∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
事件A={抽到一等品}，P（A）=0.7，
∴抽到不是一等品的概率是1﹣0.7=0.3．
故选D．
点评： 本题考查对立事件的概率，本题解题的关键是看清楚题目中所给的两个干扰元素，不要用抽到二等品的概率和抽到三等品的概率相加．

6．（ 5分）已知两个变量x，y具有线性相关关系，并测得（x，y）的四组值分别是（2，3）、（5，7）、（8，9）、（11，13），则求得的线性回归方程所确定的直线必定经过点（）
A． （2，3） B． （8，9） C． （6，9） D． （6.5，8）

考点： 线性回归方程．
专题： 概率与统计．
分析： 求出样本中心，即可得到结果．
解答： 解：由题意可得：==6.5．
==8．
样本中心坐标（6，8）．
故选：D．
点评： 本题考查回归直线方程的应用，回归直线方程经过样本中心，基本知识的考查．

7．（5分）阅读下列程序则该程序对应的程序框图（如图）中，①，②两个判断框内要填写的内容分别是（）
A． x＞0？x＜0？ B． x＞0？x=0 C． xx=0 D． x x＜0

考点： 程序框图；伪代码．
专题： 算法和程序框图．
分析： 阅读程序框图，可知程序框图的功能是求函数y=的值，根据框图流程可知，①，②两个判断框内要填写的内容分别是xx=0．
解答： 解：阅读程序框图，可知程序框图的功能是求函数y=的值，
根据框图流程可知，①，②两个判断框内要填写的内容分别是xx=0
故选：C．
点评： 本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．

8．（5分）从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）
A． A与C互斥 B． B与C互斥
C． 任两个均互斥 D． 任两个均不互斥

考点： 互斥事件与对立事件．
专题： 阅读型．
分析： 事件C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，即不全是次品，把事件C同另外的两个事件进行比较，看清两个事件能否同时发生，得到结果．
解答： 解：由题意知事件C包括三种情况，
一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，
∴事件C中不包含B事件，
事件C和事件B不能同时发生，
∴B与C互斥，
故选B．
点评： 本题考查互斥事件和对立事件，是一个概念辨析问题，注意这种问题一般需要写出事件所包含的所有的结果，把几个事件进行比较，得到结论．

9．（5分）“x≠0”是“x＞0”是的（）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 规律型．
分析： 结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
解答： 解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立．
当x＞0时，一定有x≠0成立，
∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件．
故选：B．
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用定义是解决本题的关键，比较基础．

10．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≥0的概率是（）
A． B． C． D．

考点： 几何概型．
专题： 概率与统计．
分析： 先解不等式f（x0）≥0，得能使事件f（x0）≥0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3
解答： 解：∵f（x）≥0⇔x2﹣x﹣2≥0⇔x≤﹣1或者x≥2，
∵在定义域内任取一点x0，
∴x0∈[﹣5，5]，使f（x）≥0的区间为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），
∴在定义域内，使f（x0）≥0的概率P=
故选D．
点评： 本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的关键

11．（5分）如图所示的程序的输出结果为170，则判断框中应填（）

A． i＞7？ B． i≥7？ C． i≥9？ D． i＞9？

考点： 程序框图．
专题： 图表型．
分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．
解答： 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S i 是否继续循环
循环前 0 1/
第一圈 2 3 是
第二圈 10 5 是
第三圈 42 7 是
第四圈 170 9 否
故最后当i≥9时退出，
故选C．
点评： 本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清各变量之间的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．

12．（5分）F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形AF1F2的面积为（）
A． 7 B． C． D．

考点： 椭圆的简单性质．
专题： 计算题．
分析： 求出F1F2的 长度，由椭圆的定义可得AF2=6﹣AF1，由余弦定理求得AF1=，从而求得三角形AF1F2的面积．
解答： 解：由题意可得 a=3，b=，c=，故 ，AF1+AF2=6，AF2=6﹣AF1，
∵AF22=AF12+F1F22﹣2AF1•F1F2cos45°=AF12﹣4AF1+8，
∴（6﹣AF1）2=AF12﹣4AF1+8，AF1=，故三角形AF1F2的面积S=×××=．
点评： 本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以与余弦定理的应用，求出 AF1 的值，是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共16分）．
13．（4分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为∃x∈R，sinx＞1．

考点： 命题的否定．
分析： 根据命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题，其否定为特称命题，将“任意的”改为“存在”，“≤“改为“＞”可得答案．
解答： 解：∵命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题
∴¬p：∃x∈R，sinx＞1
故答案为：∃x∈R，sinx＞1．
点评： 本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．

14．（4分）已知双曲线的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为18．

考点： 双曲线的定义．
专题： 计算题．
分析： 由双曲线的方程可得 a=4，根据双曲线的定义求出点P到右焦点的距离．
解答： 解：由双曲线的方程可得 a=4，由双曲线的定义可得 点P到右焦点的距离等于 2a
加上点P到左焦点的距离，故点P到右焦点的距离为 8+10=18，
故答案为：18．
点评： 本题考查双曲线的定义和标准方程，得到点P到右焦点的距离等于 2a 加上点P到左焦点的距离，是解题的关键．

15．（4分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是．

考点： 几何概型．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 根据题意，在区域D内随机取一个点P，则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内，且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分．因此算出图中阴影部分面积，再除以正方形OABC面积，即得本题的概率．
解答： 解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外
区域D：表示正方形OABC，（如图）
其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）．
因此在区域D内随机取一个点P，
则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内，
且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分
∵S正方形OABC=22=4，S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•22=4﹣π
∴所求概率为P==
故答案为：

点评： 本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．

16．（4分）已知一个动圆与圆C：（x+4）2+y2=100相内切，且过点A（4，0），则动圆圆心的轨迹方程．

考点： 轨迹方程．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 设动圆圆心为B，圆B与圆C的切点为D，根据相内切的两圆性质证出|CB|=10﹣|BD|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10，
从而得到B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，根据椭圆的标准方程与基本概念加以计算，可得所求轨迹方程．
解答： 解：设动圆圆心为B，半径为r，圆B与圆C的切点为D，
∵圆C：（x+4）2+y2=100的圆心为C（﹣4，0），半径R=10，
∴由动圆B与圆C相内切，可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|，
∵圆B经过点A（4，0），
∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10，
∵|AC|=8＜10，
∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，
设方程为（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，
∴a=5，b2=a2﹣c2=16，得该椭圆的方程为．
故答案为：

点评： 本题给出动圆满足的条件，求动圆圆心的轨迹方程．着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．

三、解答题（共74分）
17．（12分）某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）估计这次考试的众数m与中位数n（结果保留一位小数）；
（Ⅱ）估计这次考试的与格率（60分与以上为与格）和平均分．

考点： 用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
专题： 计算题．
分析： （Ⅰ）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为m=75
（Ⅱ）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，估计这次考试的与格率（60分与以上为与格）为右边四个小矩形面积之和．平均数为各小矩形面积与底边中点横坐标乘积的和．
解答： 解：（Ⅰ）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为m=75（分）；（3分）
前三个小矩形面积为0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4，
∵中位数要平分直方图的面积，∴（7分）
（Ⅱ）依题意，60与以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 （0.015+0. 03+0.025+0.005）*10=0.75
所以，抽样学生成绩的合格率是75% （11分）
利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
估计这次考试的平均分是71分．（14分）
点评： 本题考查频率分步直方图，本题解题的关键是正确运用直方图，在直方图中理解小正方形的面积是这组数据的频率，众数是最高小矩形中点的横坐标．平均数为各小矩形面积与底边中点横坐标乘积的和．

18．（12分）已知椭圆 C：=1，（a＞b＞0）上一点P到它的两个焦点F1（左），F2（右）的距离的和是2，短轴长为2
（1）求椭圆C的标准方程与离心率的值．
（2）若直线PF1的倾斜角为450，求直线PF1被椭圆C截的弦长的长度．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）首先，根据焦距和短轴长，求解得到c=，b=1，然后，确定其标准方程；
（2）首先，写出直线的方程，然后，联立方程组，利用弦长公式进行求解．
解答： 解：（1）∵2c=2，2b=2，
∴c=，b=1，
∴a=，
∴椭圆C的标准方程，
离心率为e==．
（2）∵直线PF1的倾斜角为450，
∴它的斜率为1，
∵F1（﹣，0），
∴直线l的方程为：y=x+．
联立方程组，，
得4x2+6x+3=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
∴弦长
=
∴直线PF1被椭圆C截的弦长的长度．
点评： 本题重点考查了直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程等知识，属于中档题．

19．（12分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
（1）求中三等奖的概率；
（2）求中奖的概率．

考点： 等可能事件的概率；互斥事件的概率加法公式．
专题： 计算题；应用题．
分析： （1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件可以通过列举得到，满足条件的事件从列举出的结果中得到，根据等可能事件的概率公式，得到结果．
（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件在前面一问已经做出，满足条件的事件可以列举出所有的结果，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式，得到结果．
解答： 解：（1）设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回的取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），
（0，3），（1，0），（1，1）（1，2），（1，3），（2，0），
（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的结果
两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1）
两个小球号相加之和等于3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）
由互斥事件的加法公式得：，
即中三等奖的概率为；
（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种；（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）
两个小球相加之和等于4的取法有3种；（1，3），（2，2），（3，1）
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2）
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：（3，3）
由互斥事件的加法公式得：
即中奖的概率为：．
点评： 本题考查等可能事件的概率，考查互斥事件的概率，是一个同学们都感兴趣的情景问题，是一个基础题．

20．（12分）命题p：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；命题q：对任意的实数x都有x2+ax+a＞0恒成立； 如果p且q为假，p或q为真，求实数a的取值范围．

考点： 复合命题的真假．
专题： 简易逻辑．
分析： 根据一元二次方程解的情况和判别式△的关系，一元二次不等式的解为R时判别式△的取值情况求出命题p，q下a的取值范围，然后根据p且q为假，p或q为真得到p真q假，或p假q真，求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．
解答： 解：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；
∴△=1﹣4a≥0，∴a≤；
∴p：a；
对任意的实数x都有x2+ax+a＞0恒成立；
∴△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4；
∴q：0＜a＜4；
如果p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假；
∴，或∴；
∴；
∴实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪．
点评： 考查一元二次方程有解时判别式的取值情况，一元二次不等式解为R时判别式△的取值情况，以与p且q，p或q的真假和p，q真假的关系．

21．（13分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例与人均GDP如下表：
行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP（单位：美元）
A 25% 8000
B 30% 4000
C 15% 6000
D 10% 3000
E 20% 10000
（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．

考点： 古典概型与其概率计算公式；列举法计算基本事件数与事件发生的概率；概率的应用．
专题： 应用题；概率与统计．
分析： （Ⅰ）利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论；
（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可得出结论．
解答： 解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400
∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，GDP都达到中等偏上收入国家标准的区域有A，C，E，抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，
∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
点评： 本题考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然、或然思想．

22．（13分）2014-2015学年高一（1）班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：

（1）求2014-2015学年高一（1）班参加校生物竞赛人数与分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；
（2）若要从分数在[80，100]之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在[90，100]之间的概率．

考点： 茎叶图；频率分布直方图；古典概型与其概率计算公式．
专题： 图表型．
分析： （1）根据分数在[50，60）的频率为0.008×10，和由茎叶图知分数在[50，60）之间的频数为2，得到全班人数．最后根据差值25﹣2﹣7﹣10﹣2求出分数在[80，90）之间的频数即可．又分数在[80，90）之间的频数为4，做出频率，根据小长方形的高是频率比组距，得到结果．
（2）本小题是一个等可能事件的概率，将分数编号列举出在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件，至少有一份在[90，100]之间的基本的事件有9个，得到概率．
解答： 解．（1）∵分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，
∴2014-2015学年高一（1）班参加校生物竞赛人数为n==25． …（2分）
所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4 …（4分）
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为=0.016．…（6分）
（2）设至少有一人分数在[90，100]之间为事件A
用a，b，c，d表示[80，90）之间的4个分数，用e，f表示[90，100]之间的2个分数，则满足条件的所有基本事件为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e）（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15个，（10分）
其中满足条件的基本事件有：（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e）（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共9个
根据古典概型概率计算公式，得…（11分）
答：至少有一人分数在[90，100]之间的概率…（12分）
点评： 本题考查频率分步直方图和等可能事件的概率，本题解题的关键是在列举时要做到不重不漏，本题是一个基础题．

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