勾股定理中考章节复习知识点经典题型分析总结.docx

勾股定理〔知识点〕
【知识要点】
1. 勾股定理的概念：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。
3. 勾股数：
①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数〔注意：假设a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。〕
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；；8,15,17等
③用含字母的代数式表示组勾股数：
〔为正整数〕；
〔为正整数〕
〔，为正整数〕
4.命题、定理、证明
⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
〔1〕命题必须是个完整的句子；〔2〕这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类〔按正确、错误及否分〕
真命题〔正确的命题〕
命题
假命题〔错误的命题〕
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤
① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出、求证。
③ 经过分析，找出由推出求证的途径，写出证明过程。
〔1〕有一个角为90°的三角形是直角三角形。
〔2〕有两个角互余的三角形是直角三角形。
〔3〕2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
〔4〕如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。〔经典直角三角形：勾三、股四、弦五〕
用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
〔1〕确定最大边〔不妨设为c〕；
〔2〕假设c2＝a2＋b2，那么△ABC是以∠C为直角的三角形；
假设a2＋b2＜c2，那么此三角形为钝角三角形〔其中c为最大边〕；
假设a2＋b2＞c2，那么此三角形为锐角三角形〔其中c为最大边〕
6.直角三角形的性质
〔1〕直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°
〔2〕在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下： BC =AB
∠C=90°
〔3〕直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∠ACB=90°
可表示如下： CD =AB = BD = AD
D为AB的中点
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC
第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和
第二部：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。
勾股定理〔习题〕
一、根本应用
考点1：勾股定理
1.矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,那么这个矩形的面积为______________cm2.
2.〔易错题〕直角三角形的两边，的长满足│x－4│+=0，那么第三边的长为__________
3．如图，在△ABC中，∠BAC=90º，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，那么△ABC斜边上的高AD= ．
4．等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，那么腰上的高为( )
A．12cm B． C． D．
5.在Rt△ABC，∠C=90°
S1
S2
S3
〔1〕 c=17，b=8, 求a。
〔2〕 a∶b=1∶2，c=5, 求a。
〔3〕 b=15，∠A=30°，求a，c。
6.如图：所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，那么正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2。
7. 如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 ．
8.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．
1、以以下各组线段为边长，能构成三角形的是____________，能构成直角三角形的是____________．〔填序号〕
①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，24
2、在以下以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是〔　 　〕
A、a=9，b=41，c=40 B、a=b=5，c= C 、a∶b∶c=3∶4∶5 D a=11，b=12，c=15
3、假设一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，那么此三角形是直角三角形的x2的值是〔 〕
A．42 B．52 C．7 D．52或7
4、的三边为、、，且，求三角形三个内角度数的比．
5、的三边、、满足．试判断的形状．
命题、真命题、假命题判定
1.说出以下命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
〔1〕两条直线平行，内错角相等．
〔2〕如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
2.命题“全等三角形的对应角相等〞
〔1〕它的逆命题是 。
〔2〕这个逆命题正确吗？
〔3〕如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。
3.写出以下命题的逆命题，并判断它是否正确．
(1)等腰三角形的两底角相等；
(2)三角形的三内角之比为l：1：2，那么三角形为等腰直角三角形；
(3)正方形的四个内角都是直角．
的点，并补充完整作图方法
-1
0
1
2
3
4

2.在数轴上〔如图9〕作出表示3-的点〔保存作图痕迹，不写作法〕。
-1
0
1
2
3
4

考点4:勾股定理应用
1.如图，在矩形ABCD中，M是CD中点，AB=8，AD=3．
〔1〕求AM的长；
〔2〕△MAB是直角三角形吗？为什么？
2.如下图，在中，，CD是AB边上高，假设AD=8，BD=2，求CD．
3.〔易错题〕如图，在中∠ACB=90°，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，那么+的值等于 ．
4.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，木箱高BE=m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF。
〔二〕、实际应用：
1. 梯子滑动问题：
，那么梯子底端将向左滑动 米
第1题图 第2题图
2.如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米，〔填“大于〞，“等于〞，或“小于〞〕
3.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米
2. 爬行距离最短问题：
1.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，那么昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米？
B
C

3、实际问题
1. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
2.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，那么江面的宽度为 。
4、方向问题：
1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？
2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．
⑴ 此时轮船离开出发点多少km?
⑵ 假设轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?
5、折叠问题：
1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D及点B重合，那么折叠后DE的长是多少？
2.如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且，那么△DEF是直角三角形吗？为什么？
3.如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE及AD交于点F。
〔1〕试说明：AF=FC；〔2〕如果AB=3，BC=4，求AF的长
6、利用勾股定理测量长度
如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水局部BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
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