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北师大版数学九年级下册知识点总结及例题不错
北师大版数学九年级下册知识点总结及例题
第一章 直角三角形的边角关系
1．正切：
在△中，锐角∠A的对边及邻边的比叫做∠A的正切，记作，即;
①是一个完整的符号，它表示∠A的正切，常省去角的符号“∠”；
②没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边及邻边的比；
③不表示“”乘以“A”；
④的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，的值越大。

例 在△中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化

2. 正弦：
在△中，锐角∠A的对边及斜边的比叫做∠A的正弦，记作，即;

例 在中，若，，，则的周长为

3. 余弦：
在△中，锐角∠A的邻边及斜边的比叫做∠A的余弦，记作，即;

例 等腰三角形的底角为30°，底边长为，则腰长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
4. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。

30 º
45 º
60 º
α

α

α

1

例 △中，∠A，∠B均为锐角，且有，则△是（ ）
A．直角（不等腰）三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等边三角形

5.当从低处观测高处的目标时，视线及水平线所成的锐角称为仰角
当从高处观测低处的目标时，视线及水平线所成的锐角称为俯角

6.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

7.在△中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有
(1)三边之间的关系：a222；
(2)两锐角的关系：∠A＋∠90°；
(3)边及角之间的关系：

(4)面积公式:(为C边上的高);

例 在△中，∠C＝90°，下列式子一定能成立的是（ ）
A． B． C． D．

8.解直角三角形的几种基本类型列表如下：

例 中，∠90°，，∠A的角平分线交于D，且，
则的值为
A、 B、 C、　 D、

例 已知，四边形中，∠ = ∠ =， = 5， = 3， = ，求四边形的面积S四边形.

9.如图2，坡面及水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即

例 一人乘雪橇沿坡度为1:的斜坡滑下，滑下距离S（米）及时间t（秒）之间的关系为S＝,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为
A、 72米 B、36米 　 C、米 D、米

10.从某点的正北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，、、的方位角分别为45°、135°、225°。

11.正北或正南方向线及目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，、、、的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。
图3
图4
图2
h

l
A
B
C

第二章 二次函数
1.二次函数的概念：
形如的函数，叫做x的二次函数。
（1）自变量的取值范围是全体实数。
（2）是二次函数的特例，此时常数0.
（3）在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。

2.二次函数y＝2的图象是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。
[描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线及x轴的交点等方面来描述。]
①函数的定义域是全体实数；
②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。
③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。
当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。
④函数的增减性：
A、当a＞0时　　
B、当a＜0时
⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：
当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；
当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0．

3.二次函数的图象是一条顶点在y轴上且关于y轴对称的抛物线
二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。
4.二次函数的图象是以为对称轴，顶点在（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）

5.二次函数的图象及y＝2的图象的关系：
的图象可以由y＝2的图象平移得到，其步骤如下：
①将配方成的形式；（其中，）；
②把抛物线向右（h>0）或向左（h<0）平移个单位，得到()2的图象；
③再把抛物线向上（k>0）或向下（k<0）平移| 个单位，便得到的图象。

例 将二次函数配方成的形式，则y .

例 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.二次函数的性质：
二次函数配方成则：
① 对称轴：
②顶点坐标：（，）
③增减性： 若a>0，则当x<时，y随x的增大而减小；
当x>时，y随x的增大而增大。
若a<0，则当x<时，y随x的增大而增大；
当x>时，y随x的增大而减小。
④最值：若a>0，则当时，；
若a<0，则当时，

例 抛物线的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.

例 二次函数的最小值是（ ）
A. B. 2 C. D. 1

例 二次函数的图象如图所示，若，，则（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

例 二次函数的图象如右图，则点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限

例 已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）

例 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数及一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

7.画二次函数的图象：（五点法）
①先找出顶点（，），画出对称轴；
②找出图象上关于直线对称的四个点（如及坐标的交点等）；
③把上述五点连成光滑的曲线。

8.二次函数的图象(抛物线)及x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程的两个实数根
抛物线及x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
>0 <> 抛物线及x轴有2个交点；
=0 <> 抛物线及x轴有1个交点；
<0 <> 抛物线及x轴有0个交点（无交点）；

例 已知二次函数，且，，则一定有（ ）
A. B. C. D. ≤0

例 已知抛物线及x轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是.

例 已知抛物线及x轴交点的横坐标为，则.

第三章 圆
1. 圆的定义：
描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”
集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
2. 点及圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
①点在圆上 <> ;
②点在圆内 <> d<r;
③点在圆外 <> d>r.

例 若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，则点P的位置为（　　　　）
A、在⊙A内 B、在⊙A上 C、在⊙A外 D、不能确定

例 若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a>b），则此圆的半径为（ ）
A． B． C． D．

3. 圆的对称性:
（1）及圆相关的概念：
①弦和直径：
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
②弧、半圆、优弧、劣弧：
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以为端点的弧记为“”，读作“圆弧”或“弧”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)
③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
（3）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理及推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
（4）定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

例 两个同心圆的半径分别为3 和4 ，大圆的弦及小圆相切，则 .

例 已知⊙O的半径为2,弦长为,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )
A 1 B 2 C 3 D 4

例 如图为直径是52圆柱形油槽,装入油后,油深为16,那么油面宽度 .

4. 圆周角和圆心角的关系:
（1）弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.
（2）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的是角度数及弧的度数相等,而不是角及弧相等.即不能写成∠ ,这是错误的.
（3）圆周角的定义:
顶点在圆上,并且两边都及圆相交的角,叫做圆周角.
（4）圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；
推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

例 下面四个命题中,正确的一个是 ( )
A 平分一条弦的直径必垂直于这条弦
B 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C 圆心角相等,圆心角所对的弧相等
D 在一个圆中,平分一条弧和它所对弦的直线必经过这个圆的圆心

例 如图，△内接于⊙O，若∠40°，则∠的度数为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°

例 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子、在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度8个单位，6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位

5.确定圆的条件:
（1）确定一个圆必须的具备两个条件:
圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.
（2）经过三点作圆要分两种情况:
i. 经过同一直线上的三点不能作圆.
. 经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.
定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
(3) 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
i. 三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.
. 三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
. 三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.

例 平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（　　　　）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、等腰梯形

6. 直线及圆的位置关系
(1)直线和圆相交、相切、相离的定义:
相交: 直线及圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.
相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.
相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
（2）直线及圆的位置关系的数量特征:
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；
①d<r <> 直线L和⊙O相交.
② <> 直线L和⊙O相切.
③d>r <> 直线L和⊙O相离.
（3）切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
（4）切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1： 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2： 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.
①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
（5）三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.
（6）三角形内心的性质:
i. 三角形的内心到三边的距离相等.
. 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.

例 下列四个命题中正确的是（　　　　）
①及圆有公共点的直线是该圆的切线
②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线
③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线
④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线
A、①② B、②③ C、③④ D、①④

例 过⊙O外一点P作⊙O的两条切线、，切点为A和B，若8，的弦心距为3，则的长为( )
A、5 B、 C、 D、8

例 如图，P为⊙O外一点，、分别切⊙O于A、B，切⊙O于点E，分别交、于点C、D，若5，则△的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10

7.圆和圆的位置关系.
（1） 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.
外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.
外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.
相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.
内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.
内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内含的一个特例.
（2）两圆位置关系的性质及判定:
两圆外离 <> d>
两圆外切 <> 
两圆相交 <> <d< (R≥r)
两圆内切 <>  (R>r)
两圆内含 <> d< (R>r)
（3）相切两圆的性质:
如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.
（4）相交两圆的性质:
相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

例 已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径R为4，两圆的圆心距O1O2为1，则这两圆的位置关系是（ ）
（A）相交 （B）内含 （C）内切 （D）外切

8. 弧长及扇形的面积
（1） 圆周长公式:
圆周长2R (R表示圆的半径)
（2）弧长公式:
弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)
（3）扇形定义:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
（4）弓形定义:
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.
（5）圆的面积公式.
圆的面积 (R表示圆的半径)
（6）扇形的面积公式:
扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)
（7）弓形的面积公式:

(1)当弓形所含的弧是劣弧时,
(2)当弓形所含的弧是优弧时,
(3)当弓形所含的弧是半圆时,

例 如图，一块边长为8 的正三角形木板，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为(点A、B、C′在同一直线上)（　　　　）

A、16π B、π C、π D、π

例 要修一段如上图所示的圆弧形弯道，它的半径是48 m，圆弧所对的圆心角是60°，那么这段弯道长_ (保留π).

例 两同心圆中，大圆的弦切小圆于C点，且20,则夹在两圆间的圆环面积是

9.圆锥的有关概念:
（1） 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.
（2） 圆锥的侧面展开图及侧面积计算:
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.
如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:

例 一个圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积是 。

例 圆锥的底面半径为3,侧面展开图是圆心角为120º的扇形,求圆锥的侧面积。

10. 及圆有关的辅助线
（1）如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.
（2）如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.
（3）如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.
（4）若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.

第四章 统计及概率
1. 实验频率及理论概率的关系只是在实验次数很多时,实验频率接近于理论概念,但实验次数再多,也很难保证实验结果及理论值相等,这就是“随机事件”的特点.
2. 游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机会,或者游戏多方赢的机会相等.
3. 表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在0及1之间.
4. 概率的预测的计算方法:某事件A发生的概率:

5. 用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点:
(1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果;
(2)要弄清楚所有机会均等的结果.

例 如图是某校九年级一班50名学生的一 次数学测验成绩的扇形统计图，按图中划分的分数段，这次测验成绩中所占百分比最大的分数段；85分以上的共有人。

例 下图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图。根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ）
A、 甲户比乙户多
B、 B、乙户比甲户多
C、甲、乙两户一样多
D、无法确定哪一户多

例 甲乙二人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近五次训练成绩分别用实线和虚线连结，如图所示，下面的错误的是( )

A． 乙的第二次成绩及第五次成绩相同
B． 第三次测试甲的成绩及乙的成绩相同
C． 第四次测试甲的成绩比乙的成绩多2分
D． 五次测试甲的成绩都比乙的成绩高

例 如图是一个木制圆盘，图中两同心圆,其中大圆直径为20，小圆的直径为10， 一只小鸟自由自在地在空中飞行，小鸟停在小圆内(阴影部分)的概率是 。

例 如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）

A． B． C． D．

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