九年级数学期末复习压轴题.doc

九年级数学期末复习-压轴题
九年级数学期末复习-压轴题

1．如图，直线y=﹣x+2及x轴交于点B，及y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．
（1）求B，C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴及x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线及抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．

2．如图，直线y=﹣x+2及x轴交于点B，及y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（﹣1，0）．
（1）求B、C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴及x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线及抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

3．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）及x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），及y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴及x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

4．如图1，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）及x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），及y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴及x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足AC+QC最小时，求出Q点的坐标；
（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．

5．如图1，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）及x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），及y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴及x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足|QB﹣QC|最大时，求出Q点的坐标；
（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．

九年级数学期末复习-压轴题
参考答案及试题解析

1．（2015•乳山市一模）如图，直线y=﹣x+2及x轴交于点B，及y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．
（1）求B，C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴及x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线及抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．

【解答】解：（1）令x=0，则y=﹣x+2=2；令y=0，则0=﹣x+2，解得x=4，
所以B（4，0），C（0，2）；

（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把A、B的坐标代入得，
，
解得．
∴该二次函数的关系式为y=﹣x2+x+2；

（3）如图2，过C点作CM⊥EF于M，
设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2）
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a，（0≤a≤4），
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）
=﹣a2+4a+
=﹣（a﹣2）2+，（0≤a≤4），
∴a=2时，S四边形CDBF的最大值为；
∴E（2，1）；

（4）存在，
如图3，∵抛物线y=﹣x2+x+2的对称轴x=﹣==，
∴OD=，
∵C（0，2），
∴OC=2，
在RT△OCD中，由勾股定理得CD=，
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD，
如图所示，作CE⊥对称轴于E，
∴EP1=ED=2，
∴DP1=4，
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）．

2．（2015•曲靖一模）如图，直线y=﹣x+2及x轴交于点B，及y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（﹣1，0）．
（1）求B、C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴及x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线及抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

【解答】解：（1）令x=0，可得y=2，
令y=0，可得x=4，
即点B（4，0），C（0，2）；

（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入解析式得，
，
解得：，
即该二次函数的关系式为y=﹣x2+x+2；

（3）∵y=﹣x2+x+2，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD．
如图1所示，作CE⊥对称轴于E，
∴EP1=ED=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；

（4）当y=0时，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
∵直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤a≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤a≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．

3．（2009•十堰）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）及x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），及y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴及x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）及x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴
解得：
∴所求抛物线解析式为：
y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵抛物线解析式为：
y=﹣x2﹣2x+3，
∴其对称轴为x==﹣1，
∴设P点坐标为（﹣1，a），当x=0时，y=3，
∴C（0，3），M（﹣1，0）
∴当CP=PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2=a2，解得a=，
∴P点坐标为：P1（﹣1，）；
∴当CM=PM时，（﹣1）2+32=a2，解得a=±，
∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；
∴当CM=CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32=（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a=6，
∴P点坐标为：P4（﹣1，6）
综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）
或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；

（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）
∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a
∴S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF
=（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）
=
=﹣+
∴当a=﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为（﹣，）．

4．（2016秋•富顺县月考）如图1，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）及x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），及y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴及x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足AC+QC最小时，求出Q点的坐标；
（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．

【解答】解：（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入y=ax2+bx+6得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+6．

（2）如图1中，

由题意C（0，6），M（﹣2，0），
∴CM==2，
①当P1C=CM时，可得P1（﹣2，12），
②当MP2=MC时，P2（﹣2，2），
③当MP3=MC时，P3（﹣2．﹣2）．
综上所述满足条件的点P坐标（﹣2，12）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）．

（3）如图2中，连接BC交对称轴于Q，此时QA+QC最小．

∵B（﹣6，0），C（0，6），
∴直线BC的解析式为y=x+6，
∴点Q（﹣2，4）．

（4）如图3中，设E（m，﹣m2﹣2m+6）．连接EO．

∵S四边形BOCE=S△BOE+S△COE=×6×（﹣m2﹣2m+6）+×6×（﹣m）=﹣（m+3）2+，
∵a=﹣＜0，
∴m=﹣3时，四边形BOCE的面积最大，最大值为，此时点E（﹣3，）．

5．（2014秋•江津区期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）及x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），及y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴及x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足|QB﹣QC|最大时，求出Q点的坐标；
（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．

【解答】解：（1）由题知：，
解得：，
故所求抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+6；

（2）∵抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+6，
∴对称轴为x==﹣2，
设P点坐标为（﹣2，t），
∵当x=0时，y=6，
∴C（0，6），M（﹣2，0），
∴CM2=（﹣2﹣0）2+（0﹣6）2=40．
①当CP=PM时，（﹣2）2+（t﹣6）2=t2，解得t=，
∴P点坐标为：P1（﹣2，）；
②当CM=PM时，40=t2，解得t=±2，
∴P点坐标为：P2（﹣2，2）或P3（﹣2，﹣2）；
③当CM=CP时，由勾股定理得：40=（﹣2）2+（t﹣6）2，解得t=12，
∴P点坐标为：P4（﹣2，12）．
综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣2，）或P（﹣2，2）或P（﹣2，﹣2）或P（﹣2，12）；

（3）∵点A（2，0）和点B（﹣6，0）关于抛物线的对称轴x=﹣2对称，
∴QB=QA，
∴|QB﹣QC|=|QA﹣QC|，
要使|QB﹣QC|最大，则连结AC并延长，及直线x=﹣2相交于点Q，即点Q为直线AC及直线x=﹣2的交点，
设直线AC的解析式为y=kx+m，
∵A（2，0），C（0，6），
∴，
解得，
∴y=﹣3x+6，
当x=﹣2时，y=﹣3×（﹣2）+6=12，
故当Q在（﹣2，12）的位置时，|QB﹣QC|最大；

（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（n，﹣n2﹣2n+6）（﹣6＜n＜0），
则EF=﹣n2﹣2n+6，BF=n+6，OF=﹣n，
S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF
=（n+6）•（﹣n2﹣2n+6）+（6﹣n2﹣2n+6）•（﹣n）
=﹣n2﹣9n+18=﹣（n+3）2+，
所以当n=﹣3时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为（﹣3，）．

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