八年级下册数学第十七章勾股定理导学案(老师用).doc

： 八年级数学下 勾股定理 导学案 编制备课：庄会堂
勾股定理
学习目标
掌握勾股定理，会用面积法证明勾股定理。
导学过程
一、 忆一忆
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）
（1）两锐角之间的关系：
（2）若D为斜边中点，则斜边中线是
（3）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系是：
二、学一学
1、（1）、画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长
问题：你是否发现+与，+和的关系，即+ ，+ ，
2、完成23页的探究，补充下表，你能发现正方形A、B、C的关系吗？

A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
图1

图2

由此我们可以得出什么结论？可猜想：
命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 。
三、合作探究：阅读证明勾股定理的方法看哪个组给同学讲的清楚明白
方法1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：
证明：4S△+S小正=
S大正=
根据的等量关系：由此我们得出勾股定理的内容是
方法2、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C
的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=______________
右边S=_______________
左边和右边面积相等，即
化简可得：
方法3、根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
四、练一练：
1、在Rt△ABC，∠C=90°
（1）已知a=b=5,求c。（2）已知a=1,c=2, 求b。（3）已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c

2、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的长为 。
3．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
4.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（　　）
A、56 B、48 C、40 D、32
6、已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长；②ΔABC的面积．

7．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

3m

4m

20m

五、反思:

勾股定理（二）
学习目标：
1．会用勾股定理进行简单的计算。
。
学习过程：
一忆一忆
1.勾股定理的内容
2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，如果a=3,c=6,求b

二、解决实际问题
（利用勾股定理解决下面两个问题十分钟过后看哪组完成得好）
1.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长．
问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图1所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
B
C
1m

2m
A
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？

2、如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

O
B
D
CＣ
A
C
A
O
B
O
D

5m
13m
三、练一练如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?

四、学习检测：
1．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。
2．山坡上两株树木之间的坡面距离是4 米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。
3、如图所示，一个梯子AB长5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为3米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得DB的长为1米，则梯子顶端A下落了 米.

（2） （3）
4、如图12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
C
A
B
5、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？
8km

6km

五、反思：

勾股定理（三）
学习目标:
1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；
2、能在在数轴上表示无理数。
学习导学过程
一、 忆一忆
1.勾股定理： 。
2.在直角三角形中，（）=( ) +( ) （）=( ) +( ) ，
（）=( ) +( ) （）=( ) +( )
(注意括号里要填正整数哦)
二、探究
.三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？

三、学一学（阅读教材26-27页内容，完成下面题目看谁能给大家讲的清楚明白）
如图，已知OA=OB，
(1)说出数轴上点A所表示的数
（2）在数轴上作出对应的点

四、试一试
利用尺规，在数轴上做出

五、学习检测：
1、如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2-10的立方根为（ ）
（A）-10 （B） --10 （C） 8 （D） -12

2. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
A
B
C
D

7cm

A
B
C

第2题图
第4题图

3. 如图所示，在△ABC中，三边a,b,c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜a＜c
4．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 .
5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______
6．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。

7．△ABC中，若∠A=∠B=∠C，AC=10 cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。
8．在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要_______分的时间.

9．有一个长方体盒子，它的长是70cm，宽和高都是50cm．在A点处有一只蚂蚁，它想吃到B点处的食物．，那么它爬行的最短路程是多少？

反思：

勾股定理的逆定理（一）
学习目标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
导学过程
一忆一忆
勾股定理：
二、学一学
阅读教材31页---32页内容，结合教材完成下面问题，十分钟后看哪组能借助例子给大家讲得清楚明白
1、画出6cm、8cm、10cm为三边长的三角形是直角三角形吗？

图18.2-2
2、如图18.2-2，若△ABC的三边长、、满足，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．

3、三角形三边满足什么条件是直角三角形
4、.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
（1）什么叫互为逆命题

（2）什么叫互为逆定理

（3）任何一个命题都有 _____，但任何一个定理未必都有 __
5.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？
（1） 两直线平行，内错角相等；
（2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3） 全等三角形的对应角相等；
（4） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
三、练一练：
1：判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：
（1）； （2）．
（3）； （4）；
2.如果三条线段长a,b,c满足，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？

3.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？

4.思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？

四.学习检测
1.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．

2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？

3.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。

五、反思：

勾股定理逆定理（2）
学习目标：
1、 会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，
2、 能够理解勾股定理及其逆定理解决实际问题。
导学过程
一、 忆一忆
用字母表示勾股定理及逆定理
二、试一试
结合提示试着完成下面两题看谁完成得好
已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD的面积。
解析：求不规则图形的面积时，要把不规则图形
如图所化辅助线

图18.2-3
2“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

三、练一练

1一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为
A 3:4:5 B 5:4:3 C 20:15:12 D 10:8:2
2.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式 +（b-18）2+=0则△ABC是 _______三角形。
3.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形； B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形。
4.若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断△ABC的形状。

5.已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC。求：四边形ABCD的面积。

6.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。

5.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

7.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。

8.如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝ＢＣ，求证：∠ＥＦＡ＝90。.

五、教学反思：

勾股定理复习（1）
学习目标
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.
2.勾股定理的应用.
3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.
一、知识回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：

1.勾股定理：
(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有： 这就是勾股定理．
(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．
,．
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．
2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.
3.勾股定理的作用：
(1）已知直角三角形的两边，求第三边；
(2）在数轴上作出表示（n为正整数）的点．
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．
(3)三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若，则三角形是直角三角形；若，则三角形是锐角三角形；若，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．
二、合作交流：
例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?

三、质疑导学：
例2：如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．

四、学习检测：
1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A．7，24，25 B．3，4，5 C．3，4，5 D．4，7，8
2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
3.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（　　）
A．6cm 　　B．8．5cm C．cm D．cm
4.在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角

5．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm
6．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．
7．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．
8．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿

勾股定理复习(2)
学习目标
1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．
2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．
考点一、已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为______．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
3．在数轴上作出表示的点．

4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长；②ΔABC的面积．

考点二、利用列方程求线段的长
A
D
E
B
C

1．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17
（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有
2.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是 .

3.如图1，在△ABC中，AD是高，且，求证：△ABC为直角三角形。

考点四、灵活变通
1.在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=

6
8
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为_________．
3.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm
4.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （取3）
5.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到 B点，那么它所爬行的最短路线的长是
6.若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形是______________________．
7.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，
则该地毯的长度至少是 米。
考点五、能力提升
1.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，
且．你能说明∠AFE是直角吗？

2.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

14