奥数.详解行程.发车间隔-接送和扶梯问题.教师版.doc

发车间隔、接送和扶梯问题

一、 发车间隔
间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。
在班车里——即柳卡问题
不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
在班车外——联立3个基本公式好使
（1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔
（2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔
（3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔
综上总结发车问题可以总结为如下技巧
（1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答；
（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。
（3） 当出现多次相遇和追及问题——柳卡
二、 接送问题
校车问题——行走过程描述
队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明。
常见接送问题类型

根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：
（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）
（2）车速不变-班速不变-班数多个
（3）车速不变-班速变-班数2个
（4）车速变-班速不变-班数2个
标准解法：
画图＋列3个式子
1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；
2、班车走的总路程；
3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
三、 扶梯问题
1、当人顺着扶梯的运动方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速就是扶梯自身的台阶运行速度。有：人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度
扶梯静止可见台阶总数=时间×人速+时间×扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数
2、当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的实际速度
扶梯静止可见台阶总数=时间×人速-时间×扶梯速=人走的台阶数-扶梯自动运行的台阶数。

重难点

（1） 能够熟练运用柳卡解题方法解多次相遇和追及问题；熟练应用三个公式解间隔问题
（2） 对扶梯问题中顺(逆)扶梯速度、扶梯速度、人的速度的理解。
（3） 准确画出接送问题的过程图——标准：每个量在相同时间所走的路程要分清
（4） 运用行程中的比例关系进行解题
例题精讲

一、 发车间隔
【例 1】 俩兄弟要将两车西瓜运到城里去卖，但由人来拉太累，雇拖拉机太贵，所以租了头毛驴，两兄弟计划先由哥哥拉车，弟弟赶毛驴拉另一辆车，然后在中途弟弟让毛驴返回去帮哥哥拉车，自个儿拉着车行走完最后一段路，已知兄弟俩人的拉车速度相同，毛驴拉车或行走的速度为人拉车的速度的3倍，那么弟弟应该在哪儿将毛驴赶回去？

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 毛驴的速度是人的速度的3倍，所以毛驴遇到先前拉车的哥哥时，毛驴走的路程是哥哥走的路程的2倍，而毛驴与哥哥走的路程和相当于从出发点到毛驴折返点距离的两倍，所以哥哥走的路程等于从出发点到毛驴折返点距离的两倍除以（3+1），毛驴应该在出发点和折返点的中点遇上哥哥的，同样的，毛驴折返后所走的路程是弟弟所走的路程的3倍，而毛驴在这段时间里与弟弟所走的路程和相当于从毛驴与哥哥的相遇点到终点的距离的2倍，所以折返点是相遇点与终点的中点.由此得到出发点到相遇点的距离等于相遇点到折返点的距离等于折返点到终点的距离.因此弟弟应该在总路程的2/3路段将毛驴赶回来.

【巩固】 甲、乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需45分。有一名乘客乘坐6点16分从甲站开出的汽车，途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车？

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 提示：这名乘客7点01分到达乙站时，乙站共开出8辆车。
【答案】8辆。

【例 2】 某人沿着电车道旁的便道以每小时千米的速度步行，每分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？
【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设电车的速度为每分钟米．人的速度为每小时千米，相当于每分钟75米．根据题意可列方程如下：，解得，即电车的速度为每分钟300米，相当于每小时18千米．相同方向的两辆电车之间的距离为：(米)，所以电车之间的时间间隔为：(分钟)．
【答案】分钟

【巩固】 小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。 每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。 问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 假设小明在路上向前行走了60（20、30的最小公倍数）分钟后，立即回头再走60分钟，回到原地。这时在前60分钟他迎面遇到辆车，后60分钟有辆车追上他。那么在两个60分钟里他共遇到朝同一方向开来的5辆车，所以发车的时间为分钟
【答案】分钟

【例 3】 在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明。已知公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，问：相邻两车间隔几分？

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 解：设车速为a，小光的速度为b，则小明骑车的速度为3b。根据追及问题“追及时间×速度差＝追及距离”，可列方程
　　10（a－b）＝20（a－3b），
　　解得a＝5b，即车速是小光速度的5倍。小光走10分相当于车行2分，由每隔10分有一辆车超过小光知，每隔8分发一辆车。
【答案】8分。

【巩固】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度。甲与电车属于相遇问题，他们的路程和即为相邻两车间距离，根据公式得，
类似可得，
那么，即，
解得米/分，因此发车间隔为9020÷820=11分钟。
【答案】11分钟

【例 4】 某人乘坐观光游船沿顺流方向从A港到B港。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过，已知A、B两港间货船的发船间隔时间相同，且船在净水中的速度相同，均是水速的7倍，那么货船发出的时间间隔是__________分钟。

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 由于间隔时间相同，设顺水两货船之间的距离为“1”，逆水两货船之间的距离为（7－1）÷（7＋1）＝3/4。所以，货船顺水速度－游船顺水速度＝1/40，即货船静水速度－游船静水速度＝1/4，货船逆水速度＋游船顺水速度＝3/4×1/20＝3/80，即货船静水速度＋游船静水速度＝3/80，可以求得货船静水速度是（1/40＋3/80）÷2＝1/32，货船顺水速度是1/32×（1＋1/7）＝1/28），所以货船的发出间隔时间是1÷1/28＝28分钟。
【答案】28分钟

【巩固】 小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？公共汽车的速度是小明步行速度的几倍？

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 假设小明在路上向前行走了（、的最小公倍数）分钟后，立即回头再走分钟，回到原地。这时在前分钟他迎面遇到（辆）车，后分钟有（辆）车追上他，那么在两个分钟里他共遇到朝同一方向开来的辆车，所以发车的时间间隔为：（分）。公共汽车的发车时间以及速度都是不变的，所以车与车之间的间隔也是固定不变的。根据每隔分钟就有辆公共汽车从后面超过他，我们可以得到：
间隔（车速步速）；每隔分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，我们可以得到：间隔（车速步速），所以（车速步速）（车速步速），化简可得：车速倍步速。
【答案】倍

【例 5】 甲城的车站总是以20分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡，车辆（包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的80%和120%，有一名学生从乙城骑车去甲城，已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位学生骑车的学生在平路、上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车？

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先看平路上的情况，汽车每分钟行驶汽车平路上汽车间隔的1/20，那么每分钟自行车在平路上行驶汽车平路上间隔的1/80，所以在平路上自行车与汽车每分钟合走汽车平路上间隔的1/20+1/80=1/16，所以该学生每隔16分钟遇到一辆汽车，对于上坡、下坡的情况同样用这种方法考虑，三种情况中该学生都是每隔16分钟遇到一辆汽车.
【答案】16分钟

【巩固】 甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行．每辆电车都隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔8分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔9分钟遇到迎面开来的一辆电车．已知电车行驶全程是45分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了 分钟．

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 由题意可知，两辆电车之间的距离
电车行12分钟的路程
电车行8分钟的路程小张行8分钟的路程
电车行9分钟的路程小王行9分钟的路程
由此可得，小张速度是电车速度的，小王速度是电车速度的，小张与小王的速度和是电车速度的，所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的，即分钟，所以小张与小王在途中相遇时他们已行走了54分钟．
【答案】54分钟

二、 接送问题
【例 6】 某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告，往返需用1小时．这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达．问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 车下午2时从学校出发，如图，

在点与劳模相遇，再返回点，共用时40分钟，由此可知，在从到用了分钟，也就是2时20分在点与劳模相遇．此时劳模走了1小时20分，也就是80分钟．
另一方面，汽车走两个需要1小时，也就是从点走到点需要30分钟，而前面说走完 需要20分钟，所以走完要10分钟，也就是说．走完，劳模用了80分钟；走完，汽车用了20分钟．劳模用时是汽车的4倍，而汽车行驶距离是劳模的2倍，所以汽车的速度是劳模速度的倍．
【点拨】复杂的行程问题总要先分析清楚过程．我们不把本题看作是一道相遇问题，因为在路程和速度都不知道的情况下，解相遇问题需要初中代数的知识．直接求出相遇点到两端、的长度关系，再通过时间的倍数关系，就可以解出本题．解这道题，最重要的就是找出劳模和汽车间路程及所有时间的倍数关系．通过汽车的用时推出
与的倍数关系，再得出答案．
如何避开运用分数和比例，方法有很多．对于这道题，如果认为学校与工厂间相距为3000米，则做出这道题就更容易了：汽车1分钟走米．相距1000米，劳模走了80分钟，所以劳模的速度是每分钟走米，汽车速度是劳模的倍．而实际上，3000米这个附加条件对结果并不起作用，只是使解题人的思路更加清晰．
【答案】倍

【巩固】 张工程师每天早上点准时被司机从家接到厂里。一天，张工程师早上点就出了门，开始步行去厂里，在路上遇到了接他的汽车，于是，他就上车行完了剩下的路程，到厂时提前分钟。这天，张工程师还是早上点出门，但分钟后他发现有东西没有带，于是回家去取，再出门后在路上遇到了接他的汽车，那么这次他比平常要提前 分钟到厂。

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 第一次提前分钟是因为张工程师自己走了一段路，从而导致汽车不需要走那段路的来回，所以汽车开那段路的来回应该是分钟，走一个单程是分钟，而汽车每天点到张工程师家里，所以那天早上汽车是点接到工程师的，张工程师走了分钟，这段路如果是汽车开需要分钟，所以汽车速度是张工程师步行速度的5倍，第二次，实际上相当于张工程师提前半小时出发，时间是遇到汽车之后的5倍，则张工程师走了分钟时遇到司机，此时提前（分钟）。
【答案】分钟

【例 7】 A、B两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于卡车的速度为士兵行军速度的5倍，因此卡车折回时已走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的3倍，而卡车折回所走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的2倍，卡车接到B连士兵后，还要行走3倍B连士兵遇到卡车时已走路程才能追上A连士兵，此时他们已经到达了目的地，因此总路程相当于4倍B连士兵遇到卡车时已走路程，所以B连士兵遇到卡车时已走路程为8千米，而卡车的总行程为（3+2+3）×8=64千米，这一段路，卡车行驶了64÷40=8/5小时，即1小时36分钟这也是两营士兵到达目的地所花的时间.
【答案】1小时36分钟

【巩固】 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是千米/小时，学校有一辆汽车，它的速度是每小时千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，设两地相距千米，那么各个班的步行距离是多少？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于汽车速度是甲乙两班步行速度的倍，设乙班步行份，汽车载甲班到点开始返回到点相遇，这样得出，汽车从点返回最终与乙班同时到达点，汽车又行走了份，所以总路程分成份，所以每份千米，所以各个班的步行距离为千米．
【答案】千米

【例 8】 甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，求这些学生到达终点一共所花的时间.
【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如图所示：

虚线为学生步行部分，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的11倍，所以大巴车第一次折返点到出发点的距离是乙班学生搭车前步行距离的6倍，如果将乙班学生搭车前步行距离看作是一份的话，大巴车第一次折返点到出发点的距离为6份，大巴车第一次折返到接到乙班学生又行驶了5分距离，……如此大巴车一共行驶了6+5+6+5+6=28份距离，而A到F的总距离为8份，所以大巴车共行驶了28千米，所花的总时间为28/55小时.
【答案】28/55小时

【巩固】 海淀区劳动技术学校有名学生到离学校千米的郊区参加采摘活动，学校只有一辆限乘人的中型面包车．为了让全体学生尽快地到达目的地．决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行的速度是每小时千米，汽车行驶的速度是每小时千米．请你设计一个方案，使全体学生都能到达目的地的最短时间是多少小时?

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于名学生要分次乘车，分别命名为甲、乙、丙、丁四组，且汽车的速度是步行速度的倍，乙组步行份路程，则汽车载甲组行驶份，放下甲组开始返回与乙组的学生相遇，汽车载乙组追上甲组，把乙组放下再返回，甲组也步行了份，丙组、丁组步行的路程和乙组相同，如图所示，所以全程为份，恰好是千米，其中汽车行驶了千米，共步行了千米，所以全体学生到达目的地的最短时间为（小时）
【答案】小时

【例 9】 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少千米？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一：不妨设乙班学生先步行，汽车将甲班学生送至A地后返回，在B处接到乙班学生，最后汽车与乙班学生同时到达公园，如图：

：=1：12，：=1：16。乙班从C至B时，汽车从C~A~B，则两者路程之比为1：16，不妨设CB=1，则C~A~B=16，CA=（1＋16）÷2=8.5，则有CB：BA=1：7.5；类似设AD=1，分析可得AD：BA=1：5.5，综合得CB：BA：AD=22：165：30，说明甲乙两班步行的距离之比是15：11。
方法二：如图，假设实线代表汽车行驶的路线，虚线代表甲班和乙班行走的路线，假设乙班行驶份到达点，则汽车行驶份到达点，汽车与乙班共行驶份在点相遇，其中乙班步行了份，同时甲班步行了份，此时汽车与甲班相差份，这样甲班还需步行份，所以甲班与乙班步行的路程比为
方法三：由于汽车速度是甲班速度的倍，是乙班速度的倍，设乙班步行份，则汽车载甲班学生到点返回与乙班相遇，共行份，所以，类似的设甲班步行份，则汽车从点返回到点又与甲班同时到达点，所以,，所以,所以甲班与乙班步行的路程比为
【答案】

【巩固】 甲、乙两班同学到42千米外的少年宫参加活动，但只有一辆汽车，且一次只能坐一个班的同学，已知学生步行速度相同为千米／小时，汽车载人速度是千米／小时，空车速度是千米/小时．如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】

行车路线如图所示，设甲、乙两班步行的路程为1，车开出后返回接乙班．
由车与乙相遇的过程可知：，解得，
因此，车开出千米后，放下甲班回去接乙班，甲班需步行千米，共用小时．
【答案】小时

【例 10】 有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车时车速为每小时50公里．问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生要步行全程的几分之几？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 由于两个班的同学都是一段路步行一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达少年宫，两个班的同学步行的路程一定要一样长．如图所示，

图中A是学校，B是少年宫，C是第一班学生下车的地点，D是第二班学生上车的地点．由上所述AD和CB一样长，设第一班同学下车时，第二班同学走到E处．由于载学生时车速为每小时40公里，而步行的速度为每小时4公里，是车速的1/10，因而AE是AC的1/10．在第一班学生下车后，汽车从C处迎着第二班学生开，车速是每小时50公里，而第二班学生从E处以每小时4公里的速度向前走，汽车和第二班学生在D点相遇．这是普通的行程问题，不难算出ED是EC的.由于EC是AC的1-=，可见ED是AC的．这样AD就是AC的．又AD=CB，AD就是AB的，故第一班学生步行了全程的．
【答案】

【巩固】 （2008年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛）甲、乙二人由地同时出发朝向地前进，、两地之距离为千米．甲步行之速度为每小时千米，乙步行之速度为每小时千米．现有一辆自行车，甲骑车速度为每小时千米，乙骑车的速度为每小时千米．出发时由甲先骑车，乙步行，为了要使两人都尽快抵达目的地，骑自行车在前面的人可以将自行车留置在途中供后面的人继续骑．请问他们从出发到最后一人抵达目的地最少需要多少小时？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设甲骑车至离地千米处后停车，且剩余千米改为步行，则乙步行了千米后，剩余千米改为骑车．因要求同时出发且尽速抵达目的地，故花费的时间应该相同，
因此可得：，解得．
故共花费了小时．
【答案】小时

【例 11】 (第八届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)、两地相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人．问：有三人并配备一辆摩托车从地到地最少需要多少小时？(保留—位小数)

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题实际上是一个接送问题，要想使所用的时间最少，三人应同时到达．假设这三人分别为甲、乙、丙．由于摩托车只可同时带两个人，所以可安排甲一直骑摩托车，甲先带乙到某一处，丙则先步行，甲将乙带到后再折回去接丙，乙开始步行，最后三人同时到达．要想同时到达，则乙与丙步行的路程和乘车的路程都应相等．如下图所示．

由于丙从从走到的时间内甲从到再回到，相同的时间内二者所行的路程之比等于速度的比，而两者的速度比为，所以，全程，所以从地到地所用的时间为：(小时)．
【答案】小时

【巩固】 两辆同一型号的汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带20桶汽油（连同油箱内的油）。每桶汽油可以使一辆汽车前进60千米，两车都必须返回出发地点，两辆车均可借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，那么这辆车最远可达到离出发点多少千米远的地方？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 甲乙两车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进， 每车最多能带20桶汽油（连同油箱内的油）。每桶汽油可以使一辆汽车前进60千米，两车都必须返回出发地点。为了使一辆车（例如甲车）尽可能地远离出发点，则甲、乙车同行，各耗掉a桶油时，乙车停下，并把甲车加满油（恰好加a桶），还需留下2a桶油供甲车返回到此地时补给甲（a桶）和自己（a桶）供返回原地时用所以乙车20桶=4a，a=5桶即甲车共向乙车最多借2a=10桶油 所以甲车最远可达到离出发点（10+20）*60/2=900千米远的地方必须返回
【答案】900千米

三、 扶梯问题
【例 12】 小明站着不动乘电动扶梯上楼需秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 电梯每秒完成，电梯加小明徒步上楼每秒完成，小明徒步上楼每秒完成，所以小明徒步上楼需(秒).
【答案】秒

【巩固】 如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的同时小明逆着向下走需秒到达楼下（千万别模仿！），那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 小明徒步走的速度是，所以小明徒步上楼需(秒).
【答案】秒

【例 13】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过级台阶到达地面．从站台到地面有 级台阶．

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 小强每秒走一阶，需要秒；每秒走2阶，需要秒．
设电梯每秒钟需要走阶，由电梯长度可得：，解得．
那么扶梯长度为（阶）．
本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：
“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？”
采用牛吃草问题的方法，电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：阶，电梯的速度为阶/秒，扶梯长度为（阶）．
【答案】阶

【巩固】 小丁在捷运站搭一座电扶梯下楼．如果他向下走阶，则需时秒即可由电扶梯顶到达底部；如果他向下走阶，则需时秒即可由电扶梯顶到达底部．请问这座电扶梯有几阶？

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2008年，台湾小学数学竞赛，决赛
【解析】 首先从题中可以看出两种情况下小丁的速度是不相同的，否则两次走过的阶数之比为，时间之比也应该为才对．
既然小丁的速度有变化，那么应该考虑其中的不变量，也就是电扶梯的速度不变．假设这座电扶梯有阶，那么在第一种情况下电扶梯走了阶，第二种情况下电扶梯走了阶，根据电扶梯的速度相同可得，解得．
即这座电扶梯有49阶．
【答案】49阶

【例 14】 在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下级台阶到达底部，然后从底部上级台阶回到顶部．自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的倍．则该自动楼梯从底到顶的台阶数为 ．

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 本题要知道向上与向下的时间之比(即是电梯运行时间的比)，可用量化思想．，设该自动楼梯从底到顶的台阶数为级，自动楼梯的速度为级/单位时间．则有：，解得．即该自动楼梯从底到顶的台阶数为108级．
【答案】108级

【巩固】 自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走级，女孩每分走级，结果男孩用了分到达楼上，女孩用了分到达楼上．问该扶梯露在外面的部分共有多少级？

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 男孩每分钟比女孩每分钟多行扶梯级数的，相差级，因此自动扶梯露在外面的部分共有级．
【答案】级

【例 15】 小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走级．如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦，不要效仿!)，需要用下楼时倍的速度走级才能走到上端．请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级?

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 小淘气上楼走60级的时间，下楼只能走(级)．而下楼走了36级，所以下楼用的时间是上楼时间的(倍).
设小淘气上楼的时间自动扶梯走了级，则下楼的时间内自动扶梯走了级．
根据自动扶梯的级数可列方程：，解得(级)，
自动扶梯有(级)．
【答案】级

【巩固】 甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层．当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了60级到达一层．如果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往下走80级．那么，自动扶梯不动时甲从下到上要走多少级？

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 首先，由于第一种情况下甲往下走时走的总台阶数是第二种情况下的，也就是说在相同时间内，自动扶梯由上往下走了两层高度的，而甲和自动扶梯共同走了两层高度的，说明第一种情况下，甲乙相遇时甲的高度是两层之间高度的．那么可知甲和自动扶梯的速度和与自动扶梯的速度之比是，说明甲走动的速度是扶梯速度的2倍．
如果甲沿着扶梯向下走，那么整体的速度就和自动扶梯的速度一样，是整体向上走时速度的，所用的时间就是向上走所用时间的3倍，那么甲所走的台阶数就是向上时所走台阶数的3倍．因此甲向上走时实际走了级台阶．甲走级台阶的同时自动扶梯向上移动了级台阶，因此如果扶梯不动，甲从下到上要走级台阶．
【答案】级

课堂检测

【随练1】 小明骑自行车到朋友家聚会，一路上他注意到每隔12分钟就有一辆公交车从后边追上小乐，小明骑着骑着突然车胎爆了，小明只好以原来骑车三分之一的速度推着车往回走，这时他发现公交车以每隔4分钟一辆的频率迎面开过来，公交车站发车的间隔时间到底为多少？

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设公交车之间的间距为一个单位距离，设自行车的速度为x，汽车的速度为y，根据汽车空间和时间间距与车辆速度的关系得到关系式：12×（y-x）=4×（y+1x/3），化简为3y=5x.即y/x=5/3，而公交车与自行车的速度差为1/12，由此可得到公交车的速度为5/24，自行车的速度为1/8，因此公交车站发车的时间间隔为24/5=4.8分钟.
【答案】4.8分钟

【随练2】 有5位探险家计划横穿沙漠．他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶312千米的汽油．显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠．于是，他们计划在保证其余车完全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠，当然实现这一计划需要几辆车相互借用汽油．问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠？

【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 首先得给这5辆吉普车设计一套行驶方案，而这个方案的核心就在于：其中的4辆车只是燃料供给车，它们的作用就是在保证自己能够返回的前提下，为第5辆车提供足够的燃料．

如图所示，5辆车一起从A点出发，设第1辆车到B点时留下足够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车．注意，B点的最佳选择应该满足刚好使这4辆车全部加满汽油．
剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油．
剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车．此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶312千米．
以这种方式，第5辆车能走多远呢？我们来算算．
5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶312千米的汽油分成6份，2份自己往返AB，4份给另外4辆车每辆加1份，刚好使这4辆车都加满汽油．因此AB的长为：（千米）．
接下来，就把5辆车的问题转化为4辆车的问题．4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份汽油，再加上第2辆车从C经B返回A，所以第2辆车仍然要把汽油分成6等份，3份供自己从B到C，再从C返回A，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是52千米．同样的道理，（千米）．
所以第5辆车最远能行驶：（千米）．
【答案】千米

【随练3】 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的3倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？

【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 男孩与女孩走完电梯的时间比为：．
　　　　所以有 电梯可见部分级数电梯运行速度
电梯可见部分级数电梯运行速度
　　　　解得 电梯运行速度(级)．
　　　　所以电梯可见部分级数为：(级)．
【点评】本题的关键是求出男孩和女孩走完电梯的时间比，另外结合二元一次方程比较容易理解数量关系．请对比原例题，体会其中的数量关系．
【答案】级

家庭作业

【作业1】 小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米/时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车．到家时迎面来的公共汽车数了11辆，后面追过的公共汽车数了9辆．如果公共汽车按相等的时间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少？

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 可以假设小红放学走到家共用99分钟，那么条件就可以转化为：“每隔9分钟就有辆公共汽车迎面开来，每隔11分钟就有辆公共汽车从后面超过他”．根据汽车间隔一定，可得：间隔（车速步速）（车速步速），化简可得：车速 倍的步速．所以车速为（千米/时）．
【答案】千米/时

【作业2】 一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？

【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？
由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，
这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。对于骑车人可作同样的分析.
因此，如果我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人（单位都是米/分钟），则：间隔距离=（V汽-V人）×6（米）