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返回,后页,前页,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,在本节中所讨论曲线和曲面,因为它们,方程是以隐函数(组)形式出现,所以,在求它们切线或切平面时,都要用到隐函,数(组)微分法.,3,几 何 应 用,三、曲面切平面与法线,返回,一、平面曲线切线与法线,二、空间曲线切线与法平面,*,四、用参数方程表示曲面,第1页,一、平面曲线切线与法线,曲线,L,：,条件：,上一点,近旁,F,满足,隐函数定理条件,可确定可微隐函数:,处切线：,第2页,总之,当,例1,求笛卡儿叶形线,在点,处切线与法线.,解,设 由1 例 2,讨,论 近旁满足隐函数定理,第3页,条件.轻易算出,于是所求切线与法线分别为,例2,用数学软件画出曲线,图象；并求该曲线在点,处,切线与法线.,第4页,解,在 MATLAB 指令窗内执行以下绘图指令:,syms x,y;,ezplot(x2+y-sin(x*y),-4,4,-8,1);,就马上得到曲线,L,图象(见本例末页图186).,令 轻易求出:,第5页,由此得到,L,在点 处切线与法线分别为：,若在上面 MATLAB 指令窗里继续输入以下指,令,便可画出上述切线与法线图象.,hold on;,a=(pi)(1/3);b=a2;,ezplot(2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b);,ezplot(1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b),第6页,图 186,第7页,例3,设普通二次曲线为,试证,L,在点 处切线方程为,证,第8页,由此得到所求切线为,利用 满足曲线,L,方程,即,整理后便得到,第9页,二、空间曲线切线与法平面,先从参数方程表示曲线开始讨论.,在第五章3 已学过,对于平面曲线,若 是其上一点,则曲线,在点 处切线为,下面讨论空间曲线.,第10页,(A),用参数方程表示空间曲线:,类似于平面曲线情形,不难求得 处切线为,过点 且垂直于切线 平面 ,称为曲线,L,在点 处,法平面,(见图187).,第11页,因为切线 方向向量即为,法平面 法向量,所以法,平面方程为,(B),用直角坐标方程表示空间曲线：,设 近旁含有连续,一阶偏导数,且,图 187,第12页,不妨设 于是存在隐函数组,这也就是曲线,L,以,z,作为参数一个参数方程.,依据公式(2),所求切线方程为,第13页,应用隐函数组求导公式,有,于是最终求得切线方程为,对应于(3)式法平面方程则为,第14页,解,轻易求得 故切向向量为,例 4,求空间曲线,在点 处切线和法平面.,由此得到切线方程和法平面方程分别为,第15页,syms t;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);,ezplot3(x,y,z,-2*pi,2*pi),绘制上述空间曲线程序与所得图形以下:,第16页,图 188,第17页,例5,求曲线,在点 处切线与法平面.,解,曲线,L,是一球面与一圆锥面交线.令,依据公式(5)与(6),需先求出切向向量.为此计算,F,G,在点 处雅可比矩阵:,第18页,由此得到所需雅可比行列式:,第19页,故切向向量为,据此求得,第20页,三、曲面切平面与法线,以前知道,当,f,为可微函数时,曲面,z,=,f,(,x,y,),在点 处切平面为,现在新问题是:曲面 由方程,给出.若点 近旁,含有连续一阶偏导数,而且,第21页,不妨设 则由方程(7)在点 近旁惟一,地确定了连续可微隐函数,因为,所以 在 处切平面为,又因(8)式中非零元素不指定性,故切平面方程,第22页,普通应写成,随之又得到所求法线方程为,回顾 1,现在知道,函数 在点,P,梯度,其实就是等值面 在点,P,法向量:,第23页,回顾 2,若把由(4)表示空间曲线,L,看作两曲面,交线(图18,9),则,L,在 切线与此二曲,面在 法线都相垂,直.而这两条法线,方向向量分别是,图 189,第24页,故曲线(4)切向向量可取 向量积:,这比前面导出(5),(6)两式过程更为直观,也容,易记得住.,第25页,例6,求旋转抛物面 在点,解,令 则曲面法向量为,处切平面和法线.,从而由(9),(10)分别得到切平面为,法线为,第26页,(,),例7,证实:曲面 任一切平,面都过某个定点(这里,f,是连续可微函数).,(,),证,令 则有,第27页,(,),于是曲面在其上任一点 处法向量,可取为,由此得到切平面方程:,将点 代入上式,得一恒等式:,第28页,这说明点 恒在任一切平面上.,第29页,四、用参数方程表示曲面,曲面也能够用以下双参数方程来表示:,这种曲面可看作由一族曲线所组成:每给定,v,一,个值,(11)就表示一条以,u,为参数曲线;当,v,取,某个区间上一切值时,这许多曲线集合组成了,一个曲面.现在要来求出这种曲面切平面和法线,方程.,为此假设,且,第30页,(11)式中三个函数在 近旁都存在连续一阶偏,导数.因为 在 处法线必垂直于 上过,任意两条曲线在 切线,所以只需在 上取两条特,殊曲线(,见图1810,):,它们切向量分别为,图 1810,第31页,则所求法向量为,至此,不难写出切平面方程和法线方程分别为,第32页,解,先计算在点 处法向,例8,设曲面参数方程为,试对此曲面切平面作出讨论.,量:,第33页,由此看到,当 时 说明在曲面(12),而当 时,法向量可取,上存在着一条曲线,其方程为,在此曲线上各点处,曲面不存在切平面,我们称这,种曲线为该曲面上一条,奇线.,与之对应切平面则为,第34页,法线则为,当动点 趋于奇线(13)上,点 时,法向量,存在极限(普通不一定存在):,第35页,此点处 不存在法,此时切平面存在极限位置:,有时需要用此“极限切平面”来补充定义奇线上,切平面.,注,曲面上,孤立奇点,往往是曲面尖点,如圆锥,面,顶点 在,线和切平面.而曲面上,奇线,则往往是该曲面,“摺线”、“边界限”或是曲面本身“交叉线”.,第36页,曲面(12)及其奇线(边界限)图象以下:,图 1811,第37页,定义,若 存在连续一阶偏导数,且满足,则称曲面 为,一,光滑曲面.,对于用双参数方程(11)表示曲面,应怎样定义,它为光滑曲面?请读者自行考虑.,第38页,复习思索题,1.,模仿例2、例4,使用数学软件(比如 MATLAB),分别绘出例1 中曲线和例8 中曲面.,自几何对象计算公式也不一样.试考虑怎样才能较,2.,曲线或曲面因为它们表示形式不一样,造成各,轻易地记住这许多公式?,3.,光滑曲面有怎样几何特征?对于用参数方程,(11)表示曲面,应怎样定义它为光滑曲面?,第39页,为何说是一条边界限?,4.,例8 所讨论曲面上,对应于 那条奇线,第40页,
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