高中数学必修三算法初步练习题.doc

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1.以选择题或填空题的形式考查程序框图，以含有循环结构的程序框图为主.
2.以数列、分段函数、统计以及不等式为载体，考查算法的三种逻辑结构.
3.给出某种算法语句进行运行计算，主要以熟悉的当前的某种数学运算为背景.

1．(2015·高考课标卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝(　　)

A．0 B．2
C．4 D．14
解析：选B.开始a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14＜18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14＞4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10＞4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6＞4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2＜4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，退出循环，输出a＝2，故选B.
2．(2015·高考课标卷Ⅰ)执行下面所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(　　)

A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C.运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，
S＞0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，
S＞0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，
n＝3，S＞0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S＞0.01；
运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S＞0.01；
运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，
S＞0.01；
运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，
S＜0.01.
输出n＝7.故选C.
3．(2015·高考天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(　　)

A．－10 B．6
C．14 D．18
解析：选B.S＝20，i＝1，
i＝2i＝2，S＝S－i＝20－2＝18，不满足i>5；
i＝2i＝4，S＝S－i＝18－4＝14，不满足i>5；
i＝2i＝8，S＝S－i＝14－8＝6，满足i>5，
故输出S＝6.

考点一　算法与程序框图
命题点1　求输出结果的程序框图
1．算法的概念
算法：通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．
3．算法的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构：是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．
其结构形式为
(2)条件结构：是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．
其结构形式为

(3)循环结构：是指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的处理步骤称为循环体．循环结构又分为当型(WHILE)和直到型(UNTIL)．
其结构形式为

1．(2015·高考陕西卷)根据下边框图，当输入x为2 006时，输出的y＝(　　)

A．2 B．4
C．10 D．28
解析：选C.x每执行一次循环减少2，当x变为－2时跳出循环，y＝3－x＋1＝32＋1＝10.
2．(2015·高考湖南卷)执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝(　　)

A. B．
C. D．
解析：选B.第一次循环：S＝，i＝2；
第二次循环：S＝＋，i＝3；
第三次循环：S＝＋＋，i＝4，满足循环条件，结束循环．
故输出S＝＋＋
＝＝，故选B.

输出的结果要依据程序框图解决的问题而定，有的是代数式的值或范围，有的是运算循环次数，有的是表达式等．
命题点2　求输入变量值的程序框图

3．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.当x≤2时，y＝x2＝x，解得x1＝0，x2＝1，
当2＜x≤5时，y＝2x－3＝x，解得x3＝3；
当x＞5时，y＝＝x，
解得x＝±1(舍去)，故x可为0，1，3.
4．阅读如图程序框图，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x的取值范围是(　　)

A．{x∈R|0≤x≤log23}
B．{x∈R|－2≤x≤2}
C．{x∈R|0≤x≤log23或x＝2}
D．{x∈R|－2≤x≤log23或x＝2}
解析：选C.依题意及程序框图可得
或
解得0≤x≤log23或x＝2，选C.

此类题目相当于已知输出结果求输入量，一般采用逆推法．建立方程或不等式求解．
命题点3　求判断条件或求程序框中的运算式

5．(2016·豫东、豫北十所名校联考)阅读如图所示的程序框图，若输出的n的值为15，则判断框中填写的条件可能为(　　)

A．m<57? B．m≤57?
C．m>57? D．m≥57?
解析：选D.运行该程序，第一次循环：m＝2×1＋1＝3，n＝3；第二次循环：m＝33＋1＝28，n＝7；第三次循环：m＝2×28＋1＝57，n＝15，此时结束循环，输出n，故判断框中可填m≥57？，故选D.
6．(2016·许昌调研)如图给出的是计算＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是(　　)

A．i>100，n＝n＋1 B．i>100，n＝n＋2
C．i>50，n＝n＋2 D．i≤50，n＝n＋2
解析：选C.因为，，…，共50个数，所以算法框图应运行50次，所以变量i应满足i＞50，因为是求偶数的和，所以应使变量n满足n＝n＋2.

循环结构中的条件判断
循环结构中的条件是高考常考的知识点，主要是控制循环的变量应该满足的条件是什么．满足条件则进入循环或者退出循环，此时要特别注意当型循环与直到型循环的区别．
考点二　算法语句
命题点1　输入、输出和赋值语句的应用
输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
语句
一般格式
功能
输入语句
INPUT“提示内容”；
变量输入信息
输出语句
PRINT“提示内容”； 表达式
输出常量、变量的值和系统信息
赋值语句
变量＝表达式
将表达式代表的值赋给变量

1．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是(　　)

A．1，3　　 B．4，1
C．0，0 D．6，0
解析：选B.a＝1，b＝3，得a＝1＋3＝4.b＝4－3＝1，输出值为4，1.
2．写出下列语句的输出结果为________．

解析：∵a＝5，b＝3，∴c＝＝4，d＝c2＝16，即输出d＝16.
答案：d＝16

(1)输入、输出、赋值语句是任何一个算法中必不可少的语句．一个输出语句可以输出多个表达式的值．在赋值语句中，变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换．
(2)一个赋值语句只给一个变量赋值，但一个语句行可以写多个赋值语句．
(3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、分解因式、解方程等)．
命题点2　条件语句的格式
条件语句
(1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应．
(2)条件语句的格式及框图
①IF－THEN格式

②IF－THEN－ELSE格式
IF　条件　THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END　IF

3．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)
输入x；
IF x≤50 THEN
y＝0.5*x
ELSE
y＝25＋0.6*(x－50)
END IF
输出y.
A．25 B．30 C．31 D．61
解析：选C.由题意，得y＝
当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.
∴输出y的值为31.
4．以下给出了一个程序，根据该程序回答：
INPUT　x
IF　x＜3　THEN
y＝2*x
ELSE
IF　x＞3　THEN
y＝x*x－1
ELSE
y＝2
END　IF
END　IF
PRINT　y
END
(1)若输入4，则输出的结果是________；
(2)该程序的功能所表达的函数解析式为________．
解析：(1)x＝4不满足x＜3，∴y＝x2－1＝42－1＝15.输出15.
(2)求x＜3时，y＝2x，当x＞3时，y＝x2－1；否则，即x＝3，y＝2.
∴y＝
答案：(1)15　(2)y＝

一般分段函数可用条件语句编程．编写程序时，“IF”“END IF”配套成对出现．第一个“IF”与程序中最后一个“END IF”配套；第二个“IF”与倒数第二个“END IF”配套等．
命题点3　循环语句的格式
循环语句
(1)程序框图中的循环结构与循环语句相对应．
(2)循环语句的格式及框图．
①UNTIL语句　　　　　　②WHILE语句

5．已知某算法如下：
a＝1
b＝1
s＝1
i＝2
WHILE　i＜＝20
s＝s＋b
t＝a
a＝b
b＝a＋t
i＝i＋1
WEND
PRINT　s
END
(1)指出该程序功能；
(2)当i＝5时，求输出结果s.
解析：(1)当i＝2时，满足i≤20，
∴s＝1＋1；
t＝1，a＝1，b＝1＋1＝2，i＝3，
i＝3≤20，
s＝2＋2；
t＝1，a＝2，b＝3，i＝4，
i＝4≤20，
⋮
∴s＝1＋1＋2＋3…
该程序表示数列1，1，2，3，5，…的前20项和．
(2)当i＝5时，s＝1＋1＋2＋3＋5＝12，输出s＝12.
6．(2016·东北三校模拟)下面程序运行的结果为(　　)
n＝10
S＝100
DO
S＝S－n
n＝n－1
LOOP
UNTIL S＜＝70
PRINT n
END
A．4　　　　 B．5
C．6 D．7
解析：选C.n＝10，S＝100，∴S＝100－10＝90；
n＝10－1＝9，
∴S＝90－9＝81；
n＝9－1＝8，
S＝81－8＝73；
n＝8－1＝7，
S＝73－7＝66≤70.
n＝7－1＝6.

当型循环与直到型循环的不同点必须准确把握．

循环次数不清致误
[典例]　(2016·金华十校联考)如图是输出的值为1＋＋＋…＋的一个程序框图，框内应填入的条件是(　　)

A．i≤99？　 B．i＜99?
C．i≥99? D．i＞99?
正解　S＝0，i＝1；S＝1，i＝3；S＝1＋，i＝5；…；S＝1＋＋…＋，i＝101，输出结果故填入i≤99.
答案　A
[错因]　(1)题意读错，误认为1＋＋＋＋…＋.(2)区分不开A与B的结果，错选为B.(3)弄不清程序的功能，不能应用其他知识点求解；(4)不能准确把握判断框中的条件，对条件结构中的流向和循环结构中循环次数的确定不准确．
[易误]　(1)此框功能是求数列的和：1＋＋＋＋…＋；i有两个作用：计数变量和被加的数，可以试运行几次归纳出答案．
(2)在解决循环结构问题时，一定要弄明白计数变量和累加变量是用什么字母表示的，再把这两个变量的变化规律弄明白，就能理解这个程序框图的功能了，问题也就清楚了．

执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次，第二次输出的a的值分别为(　　)

A．0.2，0.2 B．0.2，0.8
C．0.8，0.2 D．0.8，0.8
解析：选C.由程序框图可知：当a＝－1.2时，∵a<0，
∴a＝－1.2＋1＝－0.2，a<0，
a＝－0.2＋1＝0.8，a>0.∵0.8<1，输出a＝0.8.
当a＝1.2时，∵a≥1，∴a＝1.2－1＝0.2.
∵0.2<1，输出a＝0.2.

1．考前必记
(1)程序框图各个图示的意义和作用．
(2)三种基本逻辑结构框图的模型．
(3)输入语句、输出语句、赋值语句的格式和功能．
(4)条件语句的格式和功能．
(5)当型循环语句、直到型循环语句的格式和功能．
2．答题指导
(1)看到循环问题，想到是当型循环还是直到型循环，弄清楚循环变量和次数．
(2)看到循环结构求输出的值，想到把变量值输入，依次计算．
(3)看到需要变量的值时，想到输入语句；看到需要输出变量的值时，想到输出语句；看到对变量或代数式赋值处理时，想到赋值语句．
(4)看到因变量取值不同而有不同的运行时，想到条件语句．
(5)看到先满足条件而执行循环体时，想到当型循环结构．
看到先执行循环体后判断条件时，想到直到型循环结构．
　　课时规范训练

1．(2015·高考天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为(　　)

A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.S＝10，i＝0，
i＝i＋1＝1，S＝S－i＝10－1＝9，不满足S≤1，
i＝i＋1＝2，S＝S－i＝9－2＝7，不满足S≤1，
i＝i＋1＝3，S＝S－i＝7－3＝4，不满足S≤1，
i＝i＋1＝4，S＝S－i＝4－4＝0，满足S≤1，
所以输出i＝4.
2．(2014·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)

A．1 B．3
C．7 D．15
解析：选C.程序框图运行如下：
k＝0<3，S＝0＋20＝1，k＝1<3；S＝1＋21＝3，k＝2<3；S＝3＋22＝7，k＝3.输出S＝7.
3．(2015·高考安徽卷)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为(　　)

A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B.a＝1，n＝1时，条件成立，进入循环体；a＝，n＝2时，条件成立，进入循环体；a＝，n＝3时，条件成立，进入循环体；a＝，n＝4时，条件不成立，退出循环体，此时n的值为4.
4．(2015·高考陕西卷)根据下边所示框图，当输入x为6时，输出的y＝(　　)

A．1 B．2
C．5 D．10
解析：选D.当x＝6时，x＝6－3＝3，此时x＝3≥0；
当x＝3时，x＝3－3＝0，此时x＝0≥0；
当x＝0时，x＝0－3＝－3，此时x＝－3<0，
则y＝(－3)2＋1＝10.
5．(2015·高考四川卷)执行如图所示的程序框图，输出S的值为(　　)

A．－ B．
C．－ D．
解析：选D.当k＝2时，k>4不成立；当k＝3时，k>4不成立；当k＝4时，k>4不成立，当k＝5时，输出S＝sin＝sin＝sin ＝.
6．(2016·贵阳检测)执行如图所示的程序框图，若判断框中填入“k>8？”，则输出的S＝(　　)

A．11 B．20
C．28 D．35
解析：选B.第一次循环：S＝10＋1＝11，k＝10－1＝9；第二次循环：S＝11＋9＝20，k＝9－1＝8，跳出循环，故输出的S＝20.
7．(2015·高考山东卷)执行下边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．

解析：输入x的值后，根据条件执行循环体可求出y的值．
当x＝1时，1＜2，则x＝1＋1＝2；当x＝2时，不满足x＜2，则y＝3×22＋1＝13.
答案：13
8．(2014·高考天津卷)阅读下边的框图，运行相应的程序，输出S的值为________．

解析：n＝3，S＝0＋(－2)3＝－8，n－1＝2>1；S＝－8＋(－2)2＝－4，n－1＝1≤1，终止循环，故输出S＝－4.
答案：－4
9．(2014·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．

解析：由x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3.
当x＝1时，满足1≤x≤3，
所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；
当x＝2时，满足1≤x≤3，
所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；
当x＝3时，满足1≤x≤3，
所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；
当x＝4时，不满足1≤x≤3，
所以输出n＝3.
答案：3
10．(2014·高考辽宁卷)执行如图所示的程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________．

解析：初始值：i＝0，S＝0，T＝0，n＝3，
①i＝1，S＝1，T＝1；
②i＝2，S＝3，T＝4；
③i＝3，S＝6，T＝10；
④i＝4，S＝10，T＝20，
由于此时4≤3不成立，停止循环，输出T＝20.
答案：20

1．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝(　　)

A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D.x＝2，t＝2，M＝1，S＝3，k＝1.
k≤t，M＝×2＝2，S＝2＋3＝5，k＝2；
k≤t，M＝×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝3；
3>2，不满足条件，输出S＝7.
2．(2016·长春质量检测)下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是(　　)

A．6 B．10
C．91 D．92
解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于或等于90的学生人数，由茎叶图知：数学成绩大于或等于90的学生人数为10，因此输出的结果为10.故选B.
3．(2015·高考重庆卷)执行如图所示的程序框图，则输出s的值为 (　　)

A. B．
C. D．
解析：选D.由s＝0，k＝0满足条件，则k＝2，s＝，满足条件；k＝4，s＝＋＝，满足条件；k＝6，s＝＋＝，满足条件，k＝8，s＝＋＝，不满足条件，此时输出s＝，故选D.
4．如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法功能是(　　)

A．输出使1×2×4×…×i≥1 000成立的最小整数i
B．输出使1×2×4×…×i≥1 000成立的最大整数i
C．输出使1×2×4×…×i≥1 000成立的最大整数i＋2
D．输出使1×2×4×…×i≥1 000成立的最小整数i＋2
解析：选D.该程序框图表示的算法功能是输出使1×2×4×…×i≥1 000成立的最小整数i＋2，选D.
5．(2014·高考湖北卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．

解析：由题意，程序运行如下：
k＝1＜9，S＝21＋1＝3，k＝2＜9；
S＝3＋22＋2＝9，k＝3＜9；
S＝9＋23＋3＝20，k＝4＜9；
S＝20＋24＋4＝40，k＝5＜9；
S＝40＋25＋5＝77，k＝6＜9；
S＝77＋26＋6＝147，k＝7＜9；
S＝147＋27＋7＝282，k＝8＜9；
S＝282＋28＋8＝546，k＝9≤9；
S＝546＋29＋9＝1 067，k＝10＞9，输出S＝1 067，程序结束．
答案：1 067
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S＝________．

解析：由程序框图知，S可看成一个数列{an}的前2 015项的和，其中an＝(n∈N*，n≤2 015)，
∴S＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.故输出的是.
答案：
专题测试六　概率、统计、算法初步、推理与证明
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是
A．①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样
B．①简单随机抽样；②分层抽样；③系统抽样
C．①系统抽样；②简单随机抽样；③分层抽样
D．①分层抽样；②系统抽样；③简单随机抽样
解析：选A.由各抽样方法的适用范围可知较为合理的抽样方法是：①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．故选A.
2．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取(　　)
A．6人 B．8人
C．12人 D．14人
解析：选B.∵有男运动员28人，女运动员21人，∴总体个数是28＋21＝49，从全体队员中抽出一个容量为14的样本，每个个体被抽到的概率是＝，∴男运动员应抽取28×＝8(人)，选B.
3.为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为4的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷400个点，已知恰有100个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是(　　)

A．12 B．8
C．6 D．4
解析：选D.正方形面积为16，阴影部分面积约为×16＝4.故选D.
4.某中学为了检验1 000名在校高三学生对函数模块的掌握情况，进行了一次测试，并把成绩进行统计，得到的频率分布直方图如图所示，则考试成绩的中位数大约(保留两位有效数字)为(　　)

A．70 B．73
C．75 D．76
解析：选B.设考试成绩的中位数为x，则有(x－70)×0.035＋(0.025＋0.01＋0.005)×10＝0.5，解得x≈73，即中位数约为73，故选B.
5．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为(　　)

A．2 B．2
C．4 D．6
解析：选B.由程序框图可知，S＝1，i＝1；S＝1，i＝2；S＝，i＝3，S＝2，i＝4；S＝2，i＝5，此时跳出循环，输出S＝2，故选B.
6．从1，2，3，4，5中随机抽取三个不同的数，则其和为奇数的概率为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B.从1，2，3，4，5中随机抽取三个不同的数共有(1，2，3)、(1，2，4)、(1，2，5)、(1，3，4)、(1，3，5)、(1，4，5)、(2，3，4)、(2，3，5)、(2，4，5)、(3，4，5)共10种情况，其中(1，2，4)、(1，3，5)、(2，3，4)、(2，4，5)中三个数字和为奇数，所以概率为.选B.
7．已知m是区间[0，4]内任取的一个数，那么函数f(x)＝x3－2x2＋m2x＋3在x∈R上是增函数的概率是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C.因为函数f(x)＝x3－2x2＋m2x＋3在x∈R上是增函数，所以f′(x)＝x2－4x＋m2≥0恒成立，所以Δ＝(－4)2－4m2≤0，解得m≥2或m≤－2，而m∈[0，4]，所以m∈[2，4]，所以所求的概率为＝.
8．(2016·太原一模)如果随机变量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3≤ξ≤－1)＝0.4，则P(ξ≥1)＝(　　)
A．0.4 B．0.3
C．0.2 D．0.1
解析：选D.因为ξ～N(－1，σ2)，由正态曲线的性质知P(ξ≥1)＝0.5－P(－3≤ξ≤－1)＝0.1.
9．(2014·高考陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为(　　)
A．x，s2＋1002 B．x＋100，s2＋1002
C．x，s2 D．x＋100，s2
解析：选D.＝x，yi＝xi＋100，所以y1，y2，…，y10的均值为x＋100，方差不变，故选D.
10．阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入的实数x的取值范围是(　　)

A. B．
C. D．
解析：选B.该程序框图的作用是计算分段函数f(x)＝的值域．因为输出的函数值在区间内，故≤2x≤，所以x∈[－2，－1]，选择B.
11．在区间[－6，6]内任取一个元素x0，抛物线x2＝4y在x＝x0处的切线的倾斜角为α，则α∈的概率为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C.当切线的倾斜角α∈时，切线斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，抛物线x2＝4y在x＝x0处的切线斜率是x0，故只要x0∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)即可，若在区间[－6，6]内取值，则只能取区间[－6，－2]∪[2，6]内的值，这个区间的长度是8，区间[－6，6]的长度是12，故所求的概率是＝.
12.如图，A，B两点之间有6条网线连接，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.从中任取3条网线且使每条网线通过最大信息量，设这3条网线通过的最大信息量之和为ξ，当ξ≥6时，保证线路信息畅通，则线路信息畅通的概率为(　　)

A. B．
C. D．
解析：选C.从6条网线中随机任取3条网线共有C＝20种方法，
∵1＋1＋4＝1＋2＋3＝6，∴P(ξ＝6)＝＝，
∵1＋2＋4＝2＋2＋3＝7，∴P(ξ＝7)＝＝，
∵1＋3＋4＝2＋2＋4＝8，∴P(ξ＝8)＝＝，
∵2＋3＋4＝9，∴P(ξ＝9)＝＝，
∴P(ξ≥6)＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＝＋＋＋＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．架子上有2个不同的红球，3个不同的白球，4个不同的黑球．若从中取2个不同色的球，则不同的取法种数为________．
解析：由题知，共有不同的取法2×3＋2×4＋3×4＝26种．
答案：26
14．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为x，则m，n，x的大小关系为________．(用“<”表示)

解析：由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5，6)的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5；x＝
≈5.97.故n<m<x.
答案：n<m<x
15．若的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，则n＝________．
解析：由题知，T7＝C()n－6，Tn＋1－6＝Tn－5＝C()6.由＝，化简得6＝6－1，所以－4＝－1，所以n＝9.
答案：9
16．已知a，b，c为集合A＝{1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如图所示的算法框图给出一个算法，输出一个整数a，则输出的数a＝5的概率是________．

解析：由算法可知输出的a是a，b，c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，从集合A＝{1，2，3，4，5}中选三个不同的数共有10种取法：123，124，125，134，135，145，234，235，245，345满足条件的有6种，所以所求概率为＝.
答案：
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负．设这支篮球队与其他篮球队比赛，获得胜利的事件是独立的，并且获得胜利的概率是.
(1)求这支篮球队首次获得胜利前已经负了2场的概率；
(2)求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望和方差．
解：(1)由题知，这支篮球队第一、二场负，第三场胜，三个事件互相独立，
所求概率P1＝××＝.
(2)获胜场数ξ服从二项分布B，
∴E(ξ)＝6×＝2，
D(ξ)＝6××＝.
18．(12分)在试验中得到变量y与x的数据如下表：
x
0.25
0.2
0.125
0.1
0.062 5
y
8
10
16
22
34
由经验知，y与之间具有线性相关关系，令ui＝，经计算得

(1)试求y与x之间的回归方程；(，的值保留两位小数)
(2)当x＝2.19时，预报y的值．
附
解：(1)＝461，＝8.6，＝18，
∴＝≈2.19，＝18－2.19×8.6≈－0.83.
∴＝－0.83＋2.19u.
所求回归方程为＝－0.83＋.
(2)当x＝2.19时，＝－0.83＋＝0.17.
19．(12分)某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：

支持
不支持
总计
中型企业
60
30
90
小型企业
120
100
220
总计
180
130
310
(1)能否在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造与企业规模有关”？
(2)从180家支持节能降耗改造的企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小型企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖励总数为X万元，求X的分布列和数学期望．
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k)
0.050
0.025
0.010
k
3.841
5.024)
6.635
解：(1)K2＝≈3.854，
因为3.854>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造与企业规模有关”．
(2)由题可知支持节能降耗技术改造的企业中，中、小型企业数之比为1∶2，按分层抽样得到的12家中，中、小型企业分别为4家和8家．
设9家获得奖励的企业中，中、小型企业分别为m家和n家，则(m，n)可能为(1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)．
与之对应，X的可能取值为130，170，210，250.
P(X＝130)＝＝，P(X＝170)＝＝，
P(X＝210)＝＝，P(X＝250)＝＝.
X的分布列如下：
X
130
170
210
250
P

E(X)＝130×＋170×＋210×＋250×＝210.
20．(12分)为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm)，其频率分布直方图如图所示．

(1)求该植物样本高度的平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)假设该植物的高度Z服从正态分布N(μ，a2)，其中μ近似为平均数x，a2近似为样本方差s2，利用该正态分布求P(64.5<Z<96)．
附：≈10.5，若Z～N(μ，a2)，则P(μ－a<Z<μ＋a)＝0.682 6，P(μ－2a<Z<μ＋2a)＝0.954 4
解：(1)根据频率分布直方图，得该植物样本高度的平均数x＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.05＝75，
方差s2＝(55－75)2×0.1＋(65－75)2×0.2＋(75－75)2×0.35＋(85－75)2×0.3＋(95－75)2×0.05＝110.
(2)由(1)知，Z～N(75，110)，
从而P(64.5<Z<75)＝×P(75－10.5<Z<75＋10.5)
＝×0.682 6
＝0.341 3，
P(75<Z<96)＝×P(75－2×10.5<Z<75＋2×10.5)
＝×0.954 4.
＝0.477 2，
∴P(64.5<Z<96)＝P(64.5<Z<75)＋P(75<Z<96)
＝0.341 3＋0.477 2
＝0.818 5.
21．(12分)某校随机抽取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩(满分60分)，统计后获得成绩数据的茎叶图(以十位数字为茎，个位数字为叶)，如图所示．

(1)分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好；
(2)从这两组数据中各取2个数据，求其中至少有2个满分(60分)的概率；
(3)规定客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，以这20人的样本数据来估计此次高三数学模拟的总体数据，若从总体中任选4人，记X表示抽到“优秀客观卷”的学生人数，求X的分布列及数学期望．
解：(1)甲、乙两组数据平均数分别为51.5，49，甲班的客观题平均成绩更好．
(2)设从这两组数据中各取2个数据，其中至少有2个满分为事件A，则P(A)＝＝.
(3)由题知X～B，其分布列如下：
X
0
1
2
3
4
P

E(X)＝4×＝2.
22．(12分)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程，民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．
解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1，2，3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.
(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，
由已知，η～B，且ξ＝3－η.
所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C＝，
P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C×＝，
P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C××＝，
P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C＝，
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.

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