初中数学竞赛标准教程及练习44：数的整除(二).doc

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初 中数学竞赛精品标准教程及练习（44）
数的整除（二）
一、内容提要
第一讲介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.
几个常用的定理，公式，法则：
⑴　n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）.
例如：a为整数时，2a(a+1)，　　6a(a+1)(a+2), 　24a(a+1)(a+2)(a+3)， ……
⑵　若a 且ac, 　 则　a(bc).
⑶　若a,　b互质，且ac, bc ，　　则abc .
反过来也成立：a,　b互质，　abc，　则ac, bc.
例如：8和15互质，8｜a, 15|a，　 　　则120｜a.
反过来也成立：　若120｜a.　　　　　则　8｜a, 15|a.
⑷由乘法公式（n为正整数）推得：
由(a－b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an－bn . 　 得 (a－b)|(an－bn).
(a+b)(a2n－a2n－1b+……ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1 . 　　 　(a+b)|(a2n+1+b2n+1).
(a+b)(a2n－1－a2n－2b+……+ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n . (a+b)|(a2n－b2n).
　概括起来：齐偶数次幂的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a－b.
齐奇数次幂的和或差式a2n+1＋b2n+1或a2n+1－b2n+1只分别含有因式a＋b或a－b.
例如（a+b）| (a6－b6), 　(a－b)| (a8－b8)；
(a+b)|(a5+b5)， 　(a－b)|(a5－b5).
二、例题
例1. 已知:整数n>2.　　求证：n5－5n3+4n能被120整除..
证明：n5－5n3+4n＝n(n4－5n2+4)=n(n－1)(n+1)(n+2)(n－2).
　　∵(n－2) (n－1)n(n+1) (n＋2)是五个连续整数，能被n!整除，
∴　120｜n5－5n3+4n.
例2. 已知：n为正整数.　求证：n3+n2+n是3的倍数.
证明：n3+n2+n＝n（2n2+3n+1）
=n(n+1)(2n+1)
　=n(n+1)(n+2+n－1)
= n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n－1).
∵　3！｜n(n+1)(n+2)，　且3！｜n(n+1)(n－1)..
∴　3｜n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n－1).
即n3+n2+n是3的倍数.
　（上两例关鍵在于创造连续整数）
例3.　求证：⑴　33｜255＋1；　　⑵　1989｜（19901990－19881988）.
证明：⑴　255＋1＝25×11＋111＝3211＋111.
　　　　　∵(32＋1)|(3211+111 ) ， 即33｜255＋1.
　⑵　19901990－19881988＝19901990－19881990＋19881990－19881988.（添两项）
∵（1990＋1988）｜（19901990－19881990）.　
即1989×2｜（19901990－19881990）.
∵　19881990－19881988=19881988(19882－1)
＝19881988（1988＋1）（1988－1）.
即　19901990－19881988＝1989×2N＋1989×19881988×1987.　（N是整数）　
　　∴　1989｜19901990－19881988.
例4　设n是正整数，　求证：7｜（32n+1+2n+2）.
证明：32n+1+2n+2＝3×32n+4×2n=3×9 n+4×2 n＋3×2　n－3×2　n　（添两项）
＝（4×2 n＋3×2　n）＋（3×9 n－3×2　n）
＝（4＋3）＋3（9 n－2　n）
＝7×2 n＋3（9－2）N . （N是整数）
∴7｜（32n+1+2n+2）
　（例3，4是设法利用乘法公式）
例5. 已知能被33整除，求x,　y的值.
解：∵33＝3×11，
∴1＋9+x+y+8+7其和是3的倍数，　即x+y=3K－25 (k为整数).
又（1＋x+8）－(9+y+7)其差是11的倍数，即x－y=11h+7(h是整数).
∵0≤x≤9，　0≤y≤9，
∴0≤x＋y≤18，9≤x－y≤9，x+y>x－y, 且 x+y和x－y同是奇数或偶数.
符合条件的有　.
解得.
例6.设N＝，且17｜N, 求　x..
解：N＝2078＋100x=17×122＋4＋17×6x－2x
＝17×（122＋6x）+4－2x.
∵　17｜N，　　　
∴17｜4－2x ，
当 4－2x=0.
∴　x=2.

三、练习44
1. 要使2n+1能被3整除，整数n应取＿＿＿，若6｜（5 n－1）, 则整数n应取＿＿＿.
2. 求证：
①　4!|（n4+2n3－n2－2n）； 　②　24｜n(n2－1)(3n+2)；
③　6｜（n3+11n）； 　　④　30｜（n 5－n）.
3. 求证：
①　100｜9910－1）；　　　　　②　57｜（23333＋72222）；
③　995｜（996996－994994）；　④　1992｜（997997＋995995）.
4. 设n是正整数，求证　3 n+3n+2+62n能被33整除.
5. 求证：六位数能被7，11，13，整除.
6. 已知：五位数能被77整除，求x,　y的值.
7. 已知：a,　b,　c都是正整数，且6｜（a+b+c）.
求证：6｜（a3+b3+c3）.

三、练习44参考答案：
1. 正奇数；正偶数　　
2. ①，②分解为4个连续整数③n(n-1)(n+1)+12n ④n(n-1)(n+1)(n2-4+5)
3. ②81111＋491111③添项－1，1④添项995997－995997
4. 化为3n(1+32)+36n=11×3n＋36 n－3n＝……
5. 7×11×13＝1001六位数105a+104b+103c+102a+10b+c=……
6. 仿例5
7. 由6｜（a+b+c）可知a,b,c中至少有一个是偶数，且a3+b3+c3－3abc含有因式a+b+c