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必修二直线与方程专题讲义
1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
①　 关于倾斜角的概念要抓住三点：
ⅰ.与x轴相交; ⅱ.x轴正向; ⅲ.直线向上方向.
②　 直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.
③　 倾斜角的范围.
④　 ；
（2）直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在.
②经过两点的直线的斜率公式是.
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.
2、直线方程的几种形式
名称
方程的形式
已知条件
局限性
点斜式

为直线上一定点，为斜率
不包括垂直于x轴的直线
斜截式

为斜率，是直线在y轴上的截距
不包括垂直于x轴的直线
两点式

是直线上两定点
不包括垂直于x轴和y轴的直线
截距式

是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距
不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线
一般式

，，为系数
无限制，可表示任何位置的直线
注：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定）
（1）若，直线垂直于x轴，方程为；
（2） 若，直线垂直于y轴，方程为；
（3） 若，直线方程可用两点式表示）
3、两条直线平行与垂直的判定
（1） 两条直线平行
斜截式：对于两条不重合的直线，则有

注：当直线的斜率都不存在时，的关系为平行.
一般式：已知 , ，则

注：
与相交
（2）两条直线垂直
斜截式：如果两条直线斜率存在，设为，则
注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直.
一般式：已知 , ，则

4、线段的中点坐标公式
若两点，且线段的中点的坐标为，则
5、 直线系方程
（1）过定点的直线系
①斜率为且过定点的直线系方程为
②过两条直线, 的交点的直线系方程为（为参数），其中直线l2不在直线系中
（2）平行垂直直线系
①平行于已知直线的直线系
②垂直于已知直线的直线系
6、两条直线的交点
设两条直线的方程是, 两条直线的交点坐标就是方程组的解，
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.
7、几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点间的距离公式
特别地，原点与任一点的距离
（2）点到直线的距离
点到直线的距离
（3）两条平行线间的距离
两条平行线, 间的距离
注：①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算.
8、有关对称问题
（1）中心对称
①若点及关于对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程.
（2）轴对称
①点关于直线的对称
若两点与关于直线对称，则线段的中点在对称轴上，而且连接的直线垂直于对称轴上，由方程组
？
可得到点关于对称的点的坐标（其中）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
注：①曲线、直线关于一直线对称的解法：换，换. 例：曲线关于直线对称曲线方程是
②曲线关于点的对称曲线方程是
9、直线上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：
（1）在直线上求一点P，使取得最小值，
①　 若点位于直线的同侧时，作点（或点）关于的对称点或,
②　 若点位于直线的异侧时，连接交于点，则为所求点.
可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.
（2）在直线上求一点使取得最大值，
方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”
①　 若点位于直线的同侧时，连接交于点，则为所求点.
②　 若点位于直线的异侧时，作点（或点）关于的对称点或,
(3) 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”.
10、直线过定点问题
（1）含有一个未知参数，
（1）
令，将，从而该直线过定点
（2）含有两个未知参数

令 ，从而该直线必过定点.
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