资源描述
<p>选修4-5 不等式选讲,第1页,第1页,一、主干知识,1.含有绝对值不等式解法：,(1)|f(x)|a(a0),_.,(2)|f(x)|a(a0),_.,(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c不等,式，可利用绝对值不等式几何意义求解,f(x)a或f(x)a,af(x)a,第2页,第2页,2.含有绝对值不等式性质：,_|ab|_.,3.柯西不等式：,(1)柯西不等式代数形式：设a，b，c，d为实数，则,_，当且仅当adbc时,等号成立,|a|b|,|a|b|,(a,2,b,2,)(c,2,d,2,)(acbd),2,第3页,第3页,(2)若a,i,，b,i,(iN,*,)为实数，则,当且仅当b,i,0(i1,2，n)或存在一个数k，使得,a,i,kb,i,(i1,2，n)时，等号成立,(3)柯西不等式向量形式：设 为平面上两个向量，,则 当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立,4.算术几何不等式：,若a,1,a,2,a,n,为正数，则_，,当且仅当a,1,=a,2,=a,n,时等号成立.,第4页,第4页,二、主要办法,1.比较法：,普通在证实不等式题目中，首先考虑用比较法，它是最基本不等式证实办法.比较法普通有“作差比较法”和“作商比较法”.,2.综合法：,用综合法证实不等式过程中，所用到依据普通是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式.,第5页,第5页,3.分析法：,用分析法证实不等式关键是对原不等式等价转换，它是从要证实结论出发，逐步寻找使它成立充足条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立事实(定义、公理或已证实定理、性质等)，从而得出要证命题成立.,4.反证法：,有些不等式，从正面证假如不易说清，能够考虑反证法，但凡含有“至少”“惟一”或者其它否认词命题合用反证法.,第6页,第6页,5.放缩法：,放缩法是在证题过程中，依据不等式传递性，常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式各项之和变小(或变大)，或把和(或积)里各项换以较大(或较小)数，或在分式中扩大(或缩小)分式中分子(或分母)，从而达到证实目的.,6.数学归纳法：,用数学归纳法证实与正整数相关不等式证实过程与用数学归纳法证实其它命题同样，先要奠基，后进行假设与推理，两者缺一不可.,第7页,第7页,1(江苏高考)已知ab0,求证:2a,3,-b,3,2ab,2,-a,2,b.,【证实】,2a,3,-b,3,-(2ab,2,-a,2,b)=2a(a,2,-b,2,)+b(a,2,-b,2,)=,(a,2,-b,2,)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).,由于ab0,因此a-b0,a+b0,2a+b0,从而,(a-b)(a+b)(2a+b)0,即2a,3,-b,3,2ab,2,-a,2,b.,第8页,第8页,2.(福建高考)设不等式x2a(aN,*,)解集为A,且,(1)求a值.,(2)求函数f(x)=x+a+x2最小值.,【解析】,(1)由于 因此,解得 又由于aN,*,，因此a=1.,(2)由于|x+1|+|x2|(x+1)(x2)|=3.,当且仅当(x+1)(x-2)0即-1x2时取到等号，因此f(x),最小值为3.,第9页,第9页,热点考向 1,含有绝对值不等式,【典例1】,已知函数f(x)=|x+a|+|x2|.,(1)当a=3时，求不等式f(x)3解集.,(2)若f(x)|x4|解集包括1,2，求a取值范围.,第10页,第10页,【解题探究】,通过度类讨论，将不等式中绝对值符号化去，转化为普通,一元一次不等式，再求解集.,(1)当a=-3时，因两个绝对值零点分别是x=2,x=3，故当,x2时，f(x)=,_,；,当2x1.,(1)当a=2时，求不等式f(x)4|x4|解集.,(2)已知关于x不等式|f(2x+a)2f(x)|2解集为x|1x2，求a值.,第14页,第14页,【解析】,(1)当a=2时，,当x2时，由f(x)4|x4|2x+64x1；,当2x0，且a1，设,(1)当a=2时，求f(2),f(3).,(2)当nZ且n2时，比较f(n)与n大小，并证实你结论.,【解题探究】,因所给函数并不原则，故利用换元法，设t=log,a,x，则x=,_,，,从而f(t)=,_,，由此求f(2),f(3)；当nZ且n2时，,这是相关正整数一个命题，故可利用数学归纳法证实，即判,断n=2时，f(n),_,n，再设当n=k时猜想不等式成立，通过适,当放缩，证n=k+1时，也成立.,a,t,第21页,第21页,【解析】,(1)设t=log,a,x，则x=a,t,因此f(t)=,因此f(x)=当a=2时，f(x)=,从而,(2)猜想f(n)n.证实下列：,办法一：因f(log,a,x)=,当n=2时，,第22页,第22页,假设当n=k时成立，即,于是f(k+1)k+1.,综合得，对n2所有正整数，都有f(n)n.,第23页,第23页,办法二：当n=2时，,假设当n=k时成立，即,则当n=k+1时，f(k+1)=,综合得，对,n2,所有正整数，都有,f(n)n.,第24页,第24页,【办法总结】,不等式证实惯用技巧,不等式证实办法主要有比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法等；惯用技巧有适当放缩、恰当结构、适时代换、灵活分拆、引入参数等.,第25页,第25页,【变式训练】,(新课标全国卷)设a，b，c均为正数，,且a+b+c=1，证实：,(1)ab+bc+ca,(2),【证实】,(,1)由a,2,+b,2,2ab,b,2,+c,2,2bc,c,2,+a,2,2ca得,a,2,+b,2,+c,2,ab+bc+ca.,由题设得(a+b+c),2,=1,即a,2,+b,2,+c,2,+2ab+2bc+2ca=1,因此3(ab+bc+ca)1，即ab+bc+ca,当且仅当“a=b=c”时等号成立.,第26页,第26页,(2)由于,当且仅当“a,2,=b,2,=c,2,”时等号成立,故,即,因此,第27页,第27页,第28页,第28页,第29页,第29页,</p>
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
