九年级数学圆中常见辅助线作法.doc

圆中常见辅助线的作法
典型例题：
例题1、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是 弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为______________

例题2、如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。
求证：直线L与⊙O相切。

例题3、如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD．

例题4、如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，
那么OP的长的取值范围是_________．

1．  遇到弦时（解决有关弦的问题时）
1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；
②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
2．  遇到有直径时
常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形
3．  遇到90°的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4．  遇到有切线时
（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点
作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
（2）常常添加连结圆上一点和切点
作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

5．  遇到证明某一直线是圆的切线时
（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
6．  遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；
②垂直关系；③全等、相似三角形。

7．  遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：
①    内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；
②    内心到三角形三条边的距离相等

8．  遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点
作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

例题讲解
例题1、如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。

例题2、如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，
则∠C的度数是________.

例题3、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=
例题4、如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，
AB=6，AC=8，⊙O的半径是

例题5、如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。
求证：直线L与⊙O相切。

例题7、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为______________

例题8、如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=

例题9、如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．

课后练习
1、已知：P是⊙O外一点，PB，PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．

2、如图，ΔABC中，∠C=90°，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O的半径.

3、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切.

4、如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？

5、如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积.

6、如图，已知AB是⊙的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E,BF⊥CD，垂足为F.求证：DE=CF.

7、如图，O2是⊙O1 上的一点，以O2为圆心，O1O2为半径作一个圆交⊙O1 于C，D．直线O1O2分别交⊙O1 于延长线和⊙O1 ，⊙O2于点A与点B．连结AC，BC．⑴求证：AC=BC；⑵设⊙O1 的半径为r，求AC的长．⑶连AD，BD，求证：四边形ADBC是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC的面积．

8、已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连AC交⊙O于D，过D作⊙O的切线EF，交BC于E点.求证：OE//AC.