一元一次方程复习(含答案).doc

一元一次方程单元复习
一、知识网络

二、学习目标：
1、经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。
2、通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。
3、了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。
4、能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想。通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。
三、教学重点：
一元一次方程的解法，列方程解应用题
四、教学难点：
一元一次方程的解法，列方程解应用题
五、知识要点梳理
知识点一：一元一次方程及解的概念
1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解
要点诠释：
（1）一元一次方程必须满足的3个条件： 只含有一个未知数； 未知数的次数是1次； 整式方程．
（2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．
知识点二：方程变形——解方程的重要依据
1、等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）:
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：如果，那么；(c为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：如果，那么；如果，那么
2、分数的基本的性质:
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：（其中m≠0）
注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，　如方程：－=1.6，将其化为的形式： －=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
知识点三：解一元一次方程的一般步骤：
1、解一元一次方程的基本思路：
通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x＝a的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤是：
变形名称
具体做法
变形依据
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式基本性质2
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
去括号法则、分配律　
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
等式基本性质1
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
合并同类项法则
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程
的解x＝
等式基本性质2
注意：
(1)解方程时应注意：
①解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活安排求解步骤。熟练后，步骤及检验还可以合并简化。②去分母时，不要漏乘没有分母的项。去分母是为了简化运算，若不使用，可进行分数运算。③去括号时，不要漏乘括号内的项，若括号前为“－”号，括号内各项要改变符号。
(2)在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况：
①移项时忘记改变符号；②去分母时，易忘记将某些整式也乘最简公分母； ③分数线兼有括号的作用，在去分母后，易忘记添加括号；
3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
(1)a≠0时，方程有唯一解；
(2)a=0，b=0时，方程有无数个解；
(3)a=0，b≠0时，方程无解。
知识点四：列一元一次方程解应用题的一般步骤:
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答。注意：
(1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x的代数式表示。
(2)解应用题时，不能漏掉“答”， “设”和“答”中都必须写清单位名称。
(3)列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。
(4)一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。重复利用同一个条件，会得到一个恒等式，无法求得应用题的解。
知识点五：常见的一些等量关系
常见列方程解应用题的几种类型：
类型
基本数量关系
等量关系
(1)和、差、倍、分问题
①较大量＝较小量＋多余量
②总量＝倍数×倍量
抓住关键性词语
(2)等积变形问题

变形前后体积相等
(3)行程问题
相遇问题
路程＝速度×时间
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离
追及问题
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程
同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程
顺逆流问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
顺流的距离＝逆流的距离
(4)劳力调配问题

从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语
(5)工程问题
工作总量＝工作效率×工作时间
各部分工作量之和＝1
(6)利润率问题
商品利润＝商品售价－商品进价
商品利润率＝×100％
售价＝进价×(1＋利润率)
抓住价格升降对利润率的影响来考虑
(7)数字问题
设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b
抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系
(8)储蓄问题
利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率)
(9)按比例分配问题
甲∶乙∶丙＝a∶b∶c
全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x)
(10)日历中的问题
日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7
日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数
知识点六：整式、等式与方程的关系
1、正确理解代数式、等式和方程的概念
代数式：像－1,0，a，－2x＋5等，这些用运算符号把数或表示数的字母连接成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11，等都是方程。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。
2、整式、等式与方程的区别和联系
区别：
①定义不同。
②从是否含有等号来看。方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
③等式含有“＝”，表示左右两边相等，方程是个特殊的等式，即其中必须含有未知数。所以有：方程是等式，但等式却不一定是方程。
联系：
①当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时，这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式，即这个等式就是方程。如：要使代数式5x＋1的值等于0，即求方程5x＋1＝0的解。
②当两个整式中的字母取特定的值，使这两个整式的值相等时，也构成一个方程。如：要使整式　x＋5的值与整式－x－5的值相等，即求方程的解。
③当含有字母的整式的运算结果等于另一个整式时，也构成方程。如：要使整式x－4的值比　的值大3，即求方程的解。
通过上面的描述，我们知道，方程是由整式构成的，但整式不是方程。
六、规律方法指导
解一元一次方程的注意事项：
1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；
2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于除号，去分母后分子各项应加括号；
3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；
5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；
6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。
列方程解应用题的注意事项：
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为：①设未知数。②根据等量关系列方程。③解方程。④检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需要重新回到开始。⑤作答。
列方程解应用题是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节：一是整体的、系统的审清题意；二是找问题中的等量关系；三是正确求解方程并判断解的合理性，其中，审题是基础，找等量关系是关键，为了找准等量关系，可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。
思想方法总结
本章主要的方法有：化归的方法，分析法，综合法和方程的思想.
1．化归方法，所谓化归即转化，是指求解数学问题时，将较难或较繁或未知的问题进行变换，使之化难为易，化繁为简，化未知为已知，从而使问题得以解决的思维方法，本章中将一元一次方程逐步变形、化简转化为ax=b(a≠0)的形式求解的过程就属于转化的方法.
2．分析法是从未知，看已知，逐步推向已知，即执果索因。
3．综合法是从已知，看未知，逐步推向未知，即由因导果。研究数学问题时，一般总是先分析，在分析的基础上综合，列方程解应用题就是运用了分析法和综合法相结合的数学方法。
4．方程的思想，方程思想设未知数（把它看成以存在的数），让代替未知数的字母和已知数一样参与运算，列方程解应用题。本章列方程解应用题，是方程思想的具体应用.。
七、典型例题
一、概念类
例1、在下列式子(1)2x+3；(2)1-x=x-2；(3)2x-y=6；(4)x+=2中一元一次方程为______个．
分析：一元一次方程应满足：①等式；②一元：一个未知数；③一次：未知数的次数是1； ④整式：方程中的未知数不能出现在分母中。(1)不是等式，(2)满足，(3)含有两个未知数；(4)未知数出现在分母中。
　　答案：1
例2、已知关于x的方程 ax + 5 = -2 - 3a与方程2x +3= -17的解相同, 则a = _________.
分析：首先方程2x +3= -17的解为x=-10，方程 ax + 5 =-2 - 3a与方程2x +3= -17同解，所以方程 ax + 5 = -2 - 3a的解为x=-10，那么-10a+5=-2-3a成立，这是关于a的一元一次方程，进而可求得a。
　　答案：1
二、解法类
例3、下列方程的变形是否正确？如果不正确，指出错在何处，并写出正确的变形.
（1）由3+x=-6, 得x=-6+3.
答：不正确.错在数3从方程的等号左边移到右边时没有变号，正确的变形是由 3+x=-6，得 x=-6-3.
（2）由9x=-4, 得 .
答：不正确，错在被除数与除数颠倒（或分子与分母颠倒了）.正确的变形是由9x=-4, 得 .
　　（3）由5=x-3, 得x=-3-5.
答：不正确.错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是由5=x-3，得5+3=x, 即x=5+3.
　　（4）由，得3x-2=5-4x+1.
答：不正确，没有注意到分数中的“分数线”也起着括号的作用，因此当方程两边的各项都乘以5时，+1没有变号.正确的变形是由，得3x-2=5-(4x+1)，进而得3x-2=5-4x-1.
　　（5）由，得2(x+2)-3(5x-7)=1.
答：不正确.错在当方程两边同乘以12时，等号右边的1漏乘12.正确的变形是由，得2(x+2)-3(5x-7)=12.
例4、解方程
分析：可将每一项里分母、分子中的小数化为整数，然后再约分，或分子、分母直接约分.
　　解：
各项分别化简得，(8x-3)-(25x-4)=12-10x
8x-3-25x+4=12-10x,
-17x+1=12-10x,
-17x+10x=12-1,
-7x=11,
　.
∴ 原方程的解为.
三、应用类
需要掌握以下几类题型：商品销售、银行存贷款、积分、行程、工程、数字问题、日历、比例分配、方案选择。希望同学们能根据下面的例子掌握此类型题目的解题思路。
1.商品销售
此类问题主要涉及的关键量：进价，标价，实际售价，利润，利润率。熟记这些量间的基本关系式：
　　 商品的利润=商品的实际售价-商品的进价.（这里不考虑其它因素）
　　 商品的利润率=
　　 商品打折后的售价=商品的标价÷10×折扣数.
　　另外在解决商品的利润率的问题中，还涉及如下关系式.

　　注意会由基本关系式推出式子的变形，以便于解决问题.
例如：由×100%=利润率，可得商品的实际售价=商品的进价×(1+利润率).
例7、商店里的皮上衣每件标价为2200元，在一次促销活动中，它打八折销售，结果仍获利10%，求此商品的进价.
分析：题中的相等关系是商品的进价×(1+利润率)=商品的实际售价.
解：设此商品的进价为x元，依题意 (1+10%)x=2200×0.8.
解这个方程，得x=1600.
答：此商品的进价为1600元.
例8、以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价40%，后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？
解：设该商品的成本为a元，则商品的现价为(1+30%)a元，依题意其后来折扣后的售价为
(1+30%)a×(1+40%)(1-50%)=0.91a.
∵0.91a-a=-0.09a, ∴ ×100%=-9%.
答：商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为9%.
2.银行存贷款
例9、夏老师欲购买一辆汽车，销售商告诉夏老师，若采取分期付款方式：一种付款方式是第一月付4万元，以后每月付款一万元；另一种付款方式是前一半时间每月付款1万四千元，后一半时间，每月付款1万1千元；两种付款方式中付款钱数和付款时间都相同。销售商还说若夏老师一次性付款，可少付车款1万6千元。夏老师看了看自己的存折决定一次性付清购车款，同学们帮夏老师算算，夏老师要付款多少万元？
分析：在应用题中通常利用一个（或多个）已知条件找关系式，剩下的一个条件列方程。由分期付款两种付款方式中付款时间都相同设时间是未知数，进而由付款钱数相同列方程。
　　解：设分期付款总共付x期，由题意得：

解得：x=12
故4+(x-1)=4+(12-1)=15(万元)
15-1.6=13.4（万元）
答：夏老师要付款13.4万元。
3.积分
例10、足球比赛的计分规则为：胜一场积3分，平一场得一分，负一场积0分，一支足球队在某个赛季共需比赛14场，现已比赛8场，输了一场，得17分。
（1）前8场比赛中，这支球队共胜了几场？
（2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？
分析：总得分=胜场得分+平场得分+负场得分。第2问要得最高分，前8场的比赛得分已确定，只要后面（14-8）场比赛每次都赢。
解：（1）设这支球队共胜了x场球，则平了(8-x-1)场球，由题意得：
3x+(8-x-1)=17
解得：x=5
（2）17+（14-8）×3=17+18=35
答：前8场比赛中，这支球队共胜了5场。这支球队打满14场比赛，最高能得35分。
4.行程问题
行程问题是与实际生活联系密切的一类问题，也是变化最多的一类问题。对于行程问题，抓住相向、背向、同向、追上、相遇等关键词语，借助草图的直观性，对题目进行具体分析，找到等量关系列方程，有利于培养分析问题、解决问题的能力。
例11、A、B两地相距216千米，甲、乙分别在A、B两地，若甲骑车的速度为15千米/时，乙骑车的速度为12千米/时。
（1）甲、乙同时出发，相向而行，几小时后相遇？相遇地点离B地有多远？
　　　　 解：设x小时后甲、乙相遇，

　　　　 　　依题意，得15x+12x=216。
　　　　 　　解这个方程，得x=8。
　　　　 　　当x=8时，12x=12×8=96。
　　　　 答：8小时后甲、乙相遇，相遇地点离B地96千米。
　　（2）甲、乙同时出发，同向而行，乙在前、甲在后，问甲几小时追上乙？
　　　　 解：设x小时后甲追上乙。

　　　　 　　依题意，得15x-12x=216。
　　　　 　　解这个方程，得x=72。
　　　　 答：需72小时甲追上乙。
　　（3）甲、乙同时出发，背向而行，问几小时后他们相距351千米？
　　　　 解：设x小时后，甲、乙相距351千米，

　　　　 　　依题意，得15x+12x=351-216，
　　　　 　　解这个方程，得x=5。
　　　　 答：5小时后，甲、乙相距351千米。
　　（4）甲、乙相向而行，甲出发三小时后乙才出发，问乙出发几小时后两人相遇？
　　　　 解：设乙出发x小时后两人相遇。

　　　　 　　依题意，得15(3+x)+12x=216,
　　　　 　　解这个方程，得x=.
　　　　 答：乙出发小时后，甲、乙两人相遇。
　　（5）甲、乙相向而行，要使他们相遇于AB的中点，乙要比甲先出发几小时？
　　　　 解：设当乙比甲早出发x小时，使甲、乙二人相遇于AB的中点。

　　　　 　　依题意，得，解这个方程，得x=.
　　　　 答：只要乙比甲先出发小时，两人就能相遇于AB的中点。
　　（6）甲、乙同时出发，相向而行，甲到达B处，乙到达A处都分别立即返回，几小时后相遇？
　　　　 相遇地点距离A有多远？
　　　　 解：设x小时后甲乙相遇，

　　　　 　　依题意，得15x+12x=216×3
　　　　 　　解这个方程，得x=24.
　　　　 　　当x=24时，12x-216=72.
　　　　 答：24小时后两人相遇，相遇地点距离A地72千米。
例12、一架飞机往返于甲、乙两城市之间，顺风飞行需3小时，逆风飞行需3小时20分；若风速是每小时30千米，求甲、乙两城之间的距离。
解法1：设甲、乙两城之间相距x千米，
　　　　　　依题意，得，解这个方程，得x=1800。
答：甲、乙两城相距1800千米。
解法2：设飞机的速度为x千米/时，则飞机顺风飞行时，速度为(x+30)千米/时，
　　　　　　飞机逆风飞行时速度为(x-30)千米/时。
　　　　　　依题意：3(x+30)= (x-30)
　　　　　　解这个方程，得x=570，当x=570时，3(x+30)=3×600=1800。
　　答：甲、乙两城相距1800千米。
5.工程问题
例13、一项工程，甲队独做20天完成，乙队独做30天完成.甲队单独做了5天，剩下的部分由甲、乙合做，几天可以完成？
分析：甲队单独做20天完成任务，一天完成总工作量的；乙队单独做30天完成，一天完成总工作量的；两队合做一天完成总工作量的.这个问题中的相等关系是：甲独做的工作量+甲、乙合做的工作量=全部工作量.
　　解：设剩下的部分由甲、乙合做x天可以完成，根据题意，
　　　　得,解这个方程，得x=9.
　　答：剩下的部分由甲、乙合做，9天可以完成.
　　说明：工程问题中，工作总量=工作效率×工作时间，常常将工作总量看作“1”.
6．数字问题
例14、有一个三位数的个位数字为1，如果把这个1移到最前面的位置上，那么所得的新三位数的2倍比原数多15，求原来的三位数.
分析：此题属于数字问题，其中三位数如何用代数式表示是列方程的关键，一般来说，一个三位数，百位上的数为a，十位上的数为b，个位上的数为c，则这个三位数写成100a+10b+c.在题目中，如果把原三位数的前两位数字看成整体并设为x，则原三位数可表示为： 10x+1.同样新三位数表示为100×1+x.
　　解：设原三位数的前两位数为x，则原三位数是10x+1，新三位数为100×1+x，依题意得.
　　　　2(100×1+x)-15=10x+1
　　　　解这个方程得 x=23.。∴ 原三位数是10x+1=10×23+1=231.
　　答：原三位数为231.
7.日历
例15、在下边的日历中, 带阴影的方框里有四个数, 随着方框的移动，请你探究这四个数的关系. 设最小的一个数为a, 则这四个数之和为 _________ (用含a的代数式表示).

分析：在日历中最小的数为a，则和它相邻的右边
这个数为a+1。又一周为7天，则a下面的数为
a+7，和它相邻的数为a+8。
答：4a+16
8.比例分配
例16、某车间有28名工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均可生产甲种零件12个或乙种零件18个，要是按1：2配套组装。问：生产两种零件的工人应如何安排？
分析：利用甲、乙两种零件配套生产的总组数相同列方程。
解：设生产甲零件的工人数为x人，则生产乙零件的工人数为（28-x）人，由题意得:

　　　　解得：x=12
　　　　28-12=16
　　答：生产甲种零件的工人有12人，生产乙种零件的工人有16人。
9.方案选择
例17、某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该厂某领导提出了两种可行方案：
方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
解：(1)若选择方案1，依题意，
　　　　　 总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元.
　　　　(2)若选择方案2.
　　 　　　设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售，依题意，得
　　　　　 ，
　　　　　 解这个方程，得x=1.5.
　　　　　 当x=1.5时，9-x=7.5.
　　　　　 总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元.
　　　　　 ∵ 12000＞10500,
　　　　　 ∴ 选择方案2较好.
　　答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片.
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