一元一次不等式应用题精讲及分类训练(分类训练含答案).doc

一元一次不等式（组）解应用题精讲及分类练习
识别不等式（组）类应用题的几个标志，供解题时参考.
一.下列情况列一元一次不等式解应用题
1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超过”等.
例1．为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电千瓦时0.56元(“峰电” 价),22：00至次日8：00每千瓦时0.28元(“谷电” 价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.当“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?
分析：本题的一个不等量关系是由句子“当‘峰电’用量不超过每月总电量的百分之几时,使用‘峰谷’电合算”得来的，文中带加点的字“不超过”明显告诉我们该题是一道需用不等式来解的应用题.
解:设当“峰电”用量占每月总用电量的百分率为x时,使用“峰谷”电合算,月用电量总量为y.依题意得0.56xy+0.28y(1－x)＜0.53y.
解得x＜89℅
答：当“峰电”用量占每月总用电量的89℅时，使用“峰谷”电合算．
2．应用题仍含有一个不等量关系，但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的，而是用比较隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断．
例2．周未某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一段路程所用的时间之比为2：3．
⑴直接写出甲、乙两组行进速度之比；
⑵当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰Ａ处，且Ａ处离山顶的路程尚有1.2千米．试问山脚离山顶的路程有多远？
⑶在题⑵所述内容（除最后的问句外）的基础上，设乙组从Ａ处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇．请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答（要求：①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件）．
解：⑴甲、乙两组行进速度之比为3：2．
⑵设山腰离山顶的路程为x千米，依题意得方程为，
解得x＝（千米）．经检验x＝是所列方程的解，
答：山脚离山顶的路程为千米．
⑶可提问题：“问B处离山顶的路程小于多少千米？”再解答如下：
设B处离山顶的路程为ｍ千米（ｍ＞0）
甲、乙两组速度分别为3k千米／时，2k千米／时（k＞0）
依题意得＜，解得ｍ＜0.72(千米).
答:B处离山顶的路程小于0.72千米.
说明:本题由于所要提出的问题被两个条件所限制,因此,所提问题应从句子“乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇”去突破,若注意到“甲组到达山顶后休息片刻”中加点的四个字,我们就可以看出题中隐含着这样一个不等关系:乙组从A处走到B处所用的时间比甲组从山顶下到B处所用的时间来得少,即可提出符合题目要求的问题且可解得正确的答案.
二.下列情况列一元一次不等式组解应用题
1.应用题中含有两个(或两个以上,下同)不等量的关系.它们是由两个明显的不等关系体现出来,一般是讲两件事或两种物品的制作、运输等.
例3.已知服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这两种面料生产M,N两种型号的时装共80套.已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6米,B种布料0.9米,可获利45元;做一套N型号的时装需用A种布料1.1米,B种布料0.4米,可获利润50元.若设生产N型号码的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元.
(1)求y(元)与x(套)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(2)服装厂在生产这批时装中,当N型号的时装为多少套时,所获利润最大?最大利润是多少?
分析:本题存在的两个不等量关系是:①合计生产M、N型号的服装所需A种布料不大于70米;②合计生产M、N型号的服装所需B种布料不大于52米.
解:(1),即.
依题意得
解之,得40≤x≤44.
∵x为整数,∴自变量x的取值范围是40,41,42,43,44.
(2)略
2.两个不等关系直接可从题中的字眼找到,这些字眼明显存在着上下限.
例4.某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,则最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖.请回答下列问题:
(1)用含x的代数式表示m;
(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.
分析:不等字眼“不足3本”即是说全部课外读物减去5(x－1)本后所余课外读物应在大于等于0而小于3这个范围内.
解:(1)m=3x+8
(2)由题意,得
∴不等式组的解集是:5<x≤
∵x为正整数,∴x=6.
把x=6代入m=3x+8,得m=26.答:略
例5.某城市的出租汽车起步价为10元(即行驶距离在5千米以内都需付10元车费),达到或超过5千米后,每行驶1千米加1.2元(不足1千米也按1千米计).现某人乘车从甲地到乙地,支付车费17.2元,问从甲地到乙地的路程大约是多少?
分析:本题采用的是“进一法”,对于不等关系的字眼“不足1千米也按1千米计”,许多同学在解题时都视而不见,最终都列成了方程类的应用题,事实上,顾客所支付的17.2元车费是以上限11公里来计算的,即顾客乘车的范围在10公里至11公里之间.理论上收费是按式子10+1.2(x-5)来进行的,而实际收费是取上限值来进行的.
解:设从甲地到乙地的路程大约是x公里,依题意,得
10+5×1.2＜10+1.2(x-5)≤17.2
解得10＜x≤11
答:从甲地到乙地的路程大于10公里,小于或等于11公里.

用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：
⑴审题，找出不等关系；
⑵设未知数；
⑶列出不等式；
⑷求出不等式的解集；
⑸找出符合题意的值；
⑹作答。

（分配问题）
1、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人？。

设：一共有X个小朋友，则玩具总数=3X+4件。
第二次分的时候，前面X-1个小朋友每人得到4件，则一共有4(X-1)=4X-4件。
余下的不足3件，也就是 0<(3X+4)-(4X-4)<3
化简得 0<-X+8<3，8>X>5
因为小朋友的人数为整数，所以X的取值有2个，分别是6人和7人。
当6个小朋友时，玩具总数22件，前5个每人分4件，最后1人得2件；
当7个小朋友时，玩具总数25件，前6个每人分4件，最后1人得1件。

2、解放军某连队在一次执行任务时，准备将战士编成8个组，如果每组人数比预定人数多1名，那么战士人数将超过100人，则预定每组分配战士的人数要超过多少人？
设：预定每组x人。

由已知得：8x+8>100
解得：x>11.5

根据实际情况，解得预定每组分配战士的人数至少12人。

3、把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？
解：设有x只猴子和y颗花生，则：
y-3x=8， ①
5x-y＜5， ②
由①得：y=8+3x， ③
③代入②得5x-(8+3x)＜5,
∴ x＜6.5
因为y与x都是正整数，所以x可能为6，5，4，3，2，1，相应地求出y的值为26，23，20，17，14，11.
经检验知，只有x=5，y=23和x=6，y=26这两组解符合题意.
答：有五只猴子，23颗花生，或者有六只猴子，26颗花生.

4、 把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。问这些书有多少本？学生有多少人？
设有X名学生，那么有（3X+8）本书，于是有
0≤(3x+8)-5(x-1)<3
0≤-2x+13<3
-13≤-2x<-10
5<x≤6.5
因为x整数，所以 X=6。
即有6名学生，有26本书。

5、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间 8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
设宿舍有x间
∵如果每间数宿舍住4人，则有20人没有宿舍住
∴学生人数为4x+20
∵如果每间住8人，则有一间宿舍住不满
∴0<8x-（4x+20）<8, x为整数
∴0<4x-20<8
∴20<4x<28
∴5<x<7
∴x=6 即宿舍有6间，学生人数有4x+20=44人

6、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。问有笼多少个？有鸡多少只？
设有x个笼子
4x+1<40 得x<=9
5(x-2)+3>4x+1得x>8
所以x=9

7、 用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？
设有X辆汽车

4X+20=8(X-1)
4X+20=8X-8
4X=28
X=7

有7辆汽车

8、一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
（1） 如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：
（2） 可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？
不空也不满表示 最后一间房有1~5人。
6(x-1)<4x+19<6x

9.5<x<12.5 x=10或11或12

10间宿舍，59人
11间宿舍，63人
12间宿舍，67人
3组解

（积分问题）
1、某次数学测验共20道题（满分100分）。评分办法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。某学生有1道未答。那么他至少答对几道题才能及格？
因为总共有20道题，一道未答，则总共答了19道题。
设答对X道，则答错（19-X）道题。根据题意得：
5X-2(19-X)>=60
7X>=98
X>=14
所以，至少答对14题就及格了。

2、在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分，至少要答对多少道题目？
解：设至少需要做对x道题(x为自然数)。
4x －2×(25－x)≥60
4x－50＋2x≥60
6x≥110
X≥19
答：至少需要做对19道题。

3、一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？
设神箭队答对x题。则答错15-2-x，即（13-x）题
8x-4（13-x）>90
解得x>71/6
所以至少答对12道题

设飞艇队答对x题。则答错(15-x)题
8x-4(15-x)>90
解得x>25/2
所以至少答对13道题

4、在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？
8次：5x8=40,40-2=38,38>35
追问
不等式的方法.....？
回答
恩。。。因为每名射手打10枪必须打完

5.有红、白颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的两倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每一个红球都记作数3，则总数为60，求白球和红球各几个？

可令白球的个数x，则红球的个数(60-2x)/3；
依题意有： x＜(60-2x)/3＜2x，得：7.5＜x＜12，，
故：15＜2x＜24，-24＜-2x＜-15，得：12＜(60-2x)/3＜15，
(60-2x)/3=13时，x不是整数；因此(60-2x)/3=14；得x=9；
所以：白球的个数9，红球的个数14.

（比较问题）
1、某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。已知两家旅行社的全票价都是240元，至少要多少名学生选甲旅行社比较好？

240*0.6=144 240*0.5=120
假定有X个学生 就有
240+120x >144（x+1）
X=4 所以至少4人选甲旅行社比较好

2、李明有存款600元，王刚有存款2000元，从本月开始李明每月存款500元，王刚每月存款200元，试问到第几个月，李明的存款能超过王刚的存款。
答：第x个月,李明的存款能超过王刚的存款
600+500x>2000+200x
x>14/3
取x=5
到第5个月,李明的存款能超过王刚的存款

3、暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。假设这两位家长至带领多少名学生去旅游，他们应该选择甲旅行社？
设有X名学生去旅游。
则500*2+0.7*500X=0.8*500（X+2）
解得X=4
所以，当学生人数少于4人时，乙旅行社便宜。
当学生人数等于4人时，甲乙旅行社一样便宜。
当学生人数大于4人时，甲旅行社便宜。

（行程问题）
1、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？
解：设后半小时的速度至少为x千米/小时
50+（1-1/2）x≥120
50+1/2x≥120
1/2x≥70
x≥140
答：后半小时的速度至少是140千米/小时。

2、爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？
假设导火索长为X厘米
人要跑100米，速度为5m/s，那么人就要跑100/2=20秒，
导火索长为 x cm，速度为0.8cm/s，那么导火索燃烧的时间就是 X/0.8 秒
导火索燃烧的时间必须要大于人抛开的时间才会安全，就是：
X/0.8》20
就是x》16

3、 王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？

设王凯至少需要跑x分钟
210x+90(18-x)≤2100
210x+1620-90x≤2100
120x≤480
x=4
答：所以至少需要跑4分