陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习.doc

课题：定积分与微积分基本定理
考纲要求：① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 .
② 了解微积分基本定理的含义.
教材复习
定积分
积分的定义及相关概念
如果函数在区间上连续，用分点，将区间 等分成个小区间，在每个小区间上任取一点(…，)，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间 上的定积分，记作.其中， 与 分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间， 叫做被积函数， 叫做积分变量，叫做被积式．
定积分的性质：
① ；② (为常数)；
③ ；

定积分的几何意义：
① 当函数在区间上恒正时，定积分

的几何意义是由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积（左图中的阴影部分）即； 当≤时， .
② 一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲边
以及直线，之间的曲边梯形的面积的代数和（右图中的阴影部分），其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数.
微积分基本定理
如果是区间上的连续函数，并且，那么 ，

这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．
定积分的应用
曲边梯形的面积：一般地，设由曲线，
以及直线所围成的平面图形的面积为，
则 （）.
匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数()在时间区间上的定积分，即 .
简单几何体的体积：若几何体是由曲线与直线以及轴所围成的区域绕轴旋转一周得到的，则其体积为
基本知识方法：
求定积分有两种途径：牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义；当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.
若是连续的奇函数，则 ；
若是连续的偶函数，则
典例分析：
考向一　定积分的计算（考虑牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义）
问题1．计算下列积分：
； ； ；

；

考向二　利用定积分求面积
问题2．求下图中阴影部分的面积．
解：

考向三　定积分的应用
问题3．一物体以的速度运动，在前的平均速度为

（福建）如图所示，在边长为 的正方形
中任取一点 ，则点恰好取自阴影部分的概率为

课后作业：
计算定积分：①； ②；

③； ④

（届高三西工大附中六模）=

（届高三湖北武汉调研）

走向高考：
（北京）直线过抛物线：的焦点且与轴垂直，则与所围成的
图形的面积等于

（江西）若，，则的大小关系为

（湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止.在此期间汽车继
续行驶的距离（单位;）是

（湖南）若，则常数的值为

（江西）计算定积分

（湖南） 等于
（陕西）设，若，则

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