2020年中考数学动态问题-折叠中图形存在性问题(含答案).doc

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题
一、基础知识点综述
动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.
实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.
要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.
存在性问题
主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点.
解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论.
解题核心知识点：
折叠性质；
①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；
勾股定理；
相似图形的性质、三角函数等.
★等腰三角形存在性问题
解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕；
★直角三角形存在性问题
解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解.
二、精品例题解析
题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题
例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为

例2.（2017·蜀山区期末）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B= .

题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题
例3.（2017·营口）在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　 　．

例4.（2019·唐河县三模）矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△CEF为直角三角形时，AP的长为 .

例5.（2019·许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=16, AD=10，sinA=, 点M为AB边上一动点，过点M作MN⊥AB交AD边于点N，将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处. 当△CDE为直角三角形时，AM的长为 .

例6.（2019·金水区校级一模） 如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点P为AC上一点，过点P作PD⊥BC于点D，将△PCD沿PD折叠，得到△PED，连接AE．若△APE为直角三角形，则PC＝ ．

例7.（2019·卧龙区一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于点E，将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F．如果△EFC是直角三角形，那么AD的长为 ．

例8.（2019·河南模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将△CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且△AGF恰为直角三角形，则线段CF的长为　 　

二、精品例题解析
题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题
例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为 .

【分析】分三种情况讨论：
①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’N=M’O，
设∠ONM=x°，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30°，进而利用三角函数求得ON的长；
②当M’N=ON时，作出图形，得到∠ONM’度数，利用三角函数求解；
③当M’O=ON=OM=，此时M、M’、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.
【答案】1或3.
【解析】解：由△ONM’为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’N=M’O，如图所示，

设∠ONM’=x°，则∠OM’M=∠OMM’ =2x°,
∵∠AOB=90°，
∴x+2x=90，解得：x=30，
在Rt△NOM中，ON=；
②当M’N=ON时，如下图所示，

由①知：∠NOM’=30°，
过M’作M’H⊥OA于H，
∴HM’=,
在Rt△HNM’中，NM’=，
即ON=1；
③当M’O=ON=OM=，

此时M、M’、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.
故答案为：1或3.
例2.（2017·蜀山区期末）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B= .

【分析】由题意知，△CDF是等腰三角形，则CD=CF，
△BDE是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当DE=BD时，设∠B=x°，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=45；
②当BD=BE时，作出图形，设∠B=x°，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=30；
③当BE=DE时，得∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.
【答案】45°或30°.
【解析】解：
由题意知，△CDF是等腰三角形，则CD=CF，∠CDF=∠CFD=45°，
∴∠FDB=135°，
△BDE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：
①当DE=BD时，见下图，

设∠B=x°，
则∠DEB=x，∠EDB=180°－2x，
由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，
∴180－2x+90－x =135，解得：x=45，
即∠B=45°；
②当BD=BE时，如下图所示，

设∠B=x°，
则∠EDB= ，
由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，
∴+90－x =135，解得：x=30，
即∠B=30°；
③当BE=DE时，得∠B=∠EDB，
∴∠FDB=∠FDE+∠EDB=∠A+∠B=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.
故答案为：45°或30°.
题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题
例3.（2017·营口）在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　 　．
【分析】根据题意作出图形，通过分析可知：点E、F均可为直角顶点，因此分两种情况讨论，作出图形后，根据勾股定理等知识求得结果.
【答案】3或6.
【解析】解：∵AD＝8，AB＝6，四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝8，∠B＝90°，
根据勾股定理得：AC＝10．
由分析知，△EFC为直角三角形分下面两种情况：
①当∠EFC＝90°时，如下图所示，

由折叠性质知：∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，AF=AB=6,
∴A、F、C三点共线，
又AE平分∠BAC，
∴CF=AC－AF=4，
设BE=x，则EF=x，EC=8－x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
，
解得：x=3，即BE=3；
②当∠FEC＝90°时，如下图所示．

由题意知：∠FEC＝90°，∠FEB＝90°，
∴∠AEF＝∠BEA＝45°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE＝AB＝6．
综上所述：BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
例4.（2019·唐河县三模）矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△CEF为直角三角形时，AP的长为 .

【分析】当△CEF为直角三角形时，通过分析知：∠FCE<90°，不可能为直角顶点，故分两种情况讨论：∠EFC=90°或∠FEC=90°，作出图形求解；
【答案】或1.
【解析】解：分以下两种情况讨论：
（1）∠EFC=90°，如下图所示，

由折叠性质知：∠A=∠PFE=90°，AP=PF
所以点P、F、C在一条直线上，
∵EF=ED=3，
∴Rt△CEF≌Rt△CED，
由勾股定理得：CE=5，
∴CD=CF=4，
设AP=x，则PF=x，PC=x+4，BP=4－x，
在Rt△BCP中，由勾股定理得：
，
解得：x=，即AP=；
（2）∠FEC=90°，如下图所示，

过F作FH⊥AD于H，过P作PG⊥FH于G，
易知∠EFH=∠ECD，
∴,
∴,
即FH=, ∴EH=,AH=PG=，
由∠FPG=∠HFE，
∴cos∠FPG= cos∠HFE，
即,
,
解得：PF=1；
故答案为：或1.
例5.（2019·许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=16, AD=10，sinA=, 点M为AB边上一动点，过点M作MN⊥AB交AD边于点N，将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处. 当△CDE为直角三角形时，AM的长为 .

【分析】分两种情况讨论：当∠CDE＝90°，根据折叠的性质及勾股定理求解；当∠DEC＝90°，过D作DH⊥AB于H，根据相似三角形的性质：得到DH＝6，AH＝8，设EH＝x，根据勾股定理得到x＝8﹣2，x＝8+2（舍去），得AE＝AH+HE＝16﹣2，于是得到AM＝8﹣．
【答案】4或8﹣.
【解析】解：当△CDE为直角三角形时，
①当∠CDE＝90°，如下图所示，

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴DE⊥AB，
由折叠知：MN⊥AB，AM＝EM，
∴MN∥DE，
∴AN＝DN＝AD＝5，
由sinA＝＝，
∴MN＝3，AM＝4；
②当∠DEC＝90°，如下图所示，
过D作DH⊥AB于H，

由题意知：∠HDC＝90°，
∴∠HDC+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠HDE＝∠DCE，
∴△DHE∽△CED，
∴，
∵sinA＝，AD＝10，∴DH＝6，AH＝8，
设EH＝x，
∴DE＝4，
由勾股定理得：DH2+HE2＝DE2，62+x2＝16x，
解得：x＝8﹣2，x＝8+2（不合题意舍去），
∴AE＝AH+HE＝16﹣2，
∴AM＝8﹣，
故答案为：4或8﹣．
例6.（2019·金水区校级一模）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点P为AC上一点，过点P作PD⊥BC于点D，将△PCD沿PD折叠，得到△PED，连接AE．若△APE为直角三角形，则PC＝ ．

【答案】.
【解析】解：当∠AEP＝90°时，
设PC＝x，在Rt△PDC中，sinC＝，cosC＝，
所以PD＝x，CD＝x．
由折叠知：DE＝CD＝x．
∴BE＝BC﹣CE＝x．
在△ABE和△EDP中，∠B＝∠PDE，
∠BAE+∠AEB＝90°，∠PED+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠PED．
∴△ABE∽△EPD．
∴，即，解得x＝．
故答案为:．
例7.（2019·卧龙区一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于点E，将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F．如果△EFC是直角三角形，那么AD的长为 ．

【分析】根据勾股定理得到AB＝10，分三种情况讨论：∠CFE＝90°，∠ECF＝90°，∠CEF＝90°时，得到结论．
【答案】或5.
【解析】解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：AB＝10，
（1）若∠CFE＝90°，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠A＝90°，
由折叠知：∠A＝∠2，AE＝EF，
∴∠1＝∠B，
即CF＝BC＝6，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝EF2+CF2，
CE2＝（8﹣CE）2+62，
∴CE＝，
∴AE＝，
由△ADE∽△ACB，得：
∴AD＝；
（2）当∠ECF＝90°时，点F与B重合，AD＝5；
（3）当∠CEF＝90°时，则EF∥BC，∠AFE＝∠B，
∵∠A＝∠AFE，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC（与题设矛盾），
∴这种情况不存在，
故答案为：或5．
例8.（2019·河南模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将△CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且△AGF恰为直角三角形，则线段CF的长为　 　
【答案】.
【解析】解：（1）当∠AFG=90°时，如下图所示，

设CF＝y
可得：△AFG∽△ABC
∴
即
解得：x＝；
（2）当∠AGF=90°时，如下图，

设CF＝x
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5
由折叠知：GF＝FC．
∵∠AGF＝∠ABC＝90°
∴GF∥EC
∴△AGF∽△ABC
∴
即
解得：x＝；
故答案为：.
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