2019研究生数学考试数三真题.doc

2019年全国硕士研究生入学统一考试
（数学三）试题及答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.当时，若与是同阶无穷小，则（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2.已知方程有3个不同的实根，则k的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3.已知微分方程的通解为，则a，b，c依次为（ ）
（A）1, 0, 1 （B）1, 0, 2 （C）2, 1, 3 （D）2, 1, 4
4.若绝对收敛，条件收敛，则（ ）
（A）绝对收敛 （B）绝对收敛
（C）收敛 （D）发散
5.设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
6.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若，且，则二次型的规范形为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7.设A，B为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8.设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布，则（ ）
（A）与μ无关，与σ2有关 （B）与μ有关，与σ2无关
（C）与μ、σ2都有关 （D）与μ、σ2都无关
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
9. 。
10.曲线的拐点坐标为 。
11.已知函数，则 。
12.以PA, PB分别表示A, B两个商品的价格，设商品A的需求函数，则当PA=10, PB=20时，商品A的需求量对自身价格弹性为 。
13.已知矩阵若线性方程组Ax=b有无穷多解，则a= 。
14.设随机变量X的概率密度为 F(X)为X的分布函数，EX为X的数学期望，则 。
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
已知函数求，并求的极值。
16.（本题满分10分）
设函数具有2阶连续偏导数，函数，求

17.（本题满分10分）
设函数是微分方程满足条件的特解。
（1）求；
（2）设平面区域，求D绕x轴旋转所得旋转体的体积。
18.（本题满分10分）
求曲线与x轴之间图形的面积。
【
19.（本题满分10分）
设
（1）证明：数列单调减少，且
（2）求
20.（本题满分11分）
已知向量组

若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求a的取值，并将β3用α1, α2, α3线性表示。
21.（本题满分11分）
已知矩阵与相似
（1）求x, y；
（2）求可逆矩阵P，使得

22.（本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为令
（1）求 Z的概率密度；
（2）p为何值时，X与Z不相关；
（3）X与Z是否相互独立；
23.（本题满分11分）
设总体X的概率密度为 ，其中是已知参数，是未知参数，A是常数，是来自总体X的简单随机样本。
（1）求A；
（2）求的最大似然估计量。