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模拟试题九
一、选择题(每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,把所选项前的字母填写在题后的括号中)
1.当时,是的
A:高阶无穷小 B:低阶无穷小 C:同阶非等价无穷小 D:等价无穷小
答案:D
2.设在点处连续,则:等于
A: B: C: D:
答案:C
3.设,且存在,则:等于
A: B: C: D:
答案:B
4.曲线在点的切线方程为
A: B: C: D:
答案:D
5.设在点的某邻域内存在,且为的极大值,则:等于
A: B: C: D:
答案:C
6.设,则:等于
A: B: C: D:
答案:A
7.设,则:等于
A: B: C: D:
答案:B
8.设平面:与平面:,则:两个平面的关系是
A:平行但不重合 B:重合 C:垂直 D:不平行不垂直
答案:C
9.级数()
A:绝对收敛 B:条件收敛 C:发散 D:收敛性与有关
答案:A
10.微分方程的通解为
A: B: C: D:
答案:B
二、填空题(每小题4分,共40分)
11.
解答:
12.设,则:
解答:
,所以:
13.函数的单调增区间
解答:
,解得:,所以:当时,该函数单调递增
14.
解答:
15.设,则:
解答:
16.
解答:
17.设是收敛的,则:的取值范围是
解答:
因为:是收敛的,
所以:存在
所以:
18.设平面:,则:过点且与垂直的直线方程为
解答:
因为直线与已知平面垂直,所以:直线的方向向量与平面的法向量平行,则:
因为:直线过点,所以:直线方程是
19.设,则:
解答:
20.微分方程的通解为
解答:
特征方程是,解得特征根为:
所以:微分方程的通解是
三、解答题
21.(本题满分8分)
设,求:
解答:
22.(本题满分8分)
计算:
解答:
23.(本题满分8分)
求:在条件下的条件极值
解答:
构造拉格郎日函数:
则:,令所有偏导数为零,解得:
所以:点为其最小值点,且最小值是
24.(本题满分8分)
求:的通解
解答:
特征方程是:,解得特征根是
所以:微分方程的通解是
25.(本题满分8分)
计算:
解答:
26.(本题满分10分)
计算:,其中区域由、、围成的在第一象限内的区域
解答:
27.(本题满分10分)
在曲线上求一点,使图中阴影部分面积、的面积之和最小
解答:
所以:
则:
令,即:,解得:或(舍)
,计算:,所以:为极小值点
此时最小,为,即:点坐标是
28.(本题满分10分)
证明: 在区间内有唯一的实数根
解答:
令,则:在区间上是连续函数
因为:,,
可知:函数在区间的两个端点处函数值异号,根据闭区间上连续函数的零点定理,有:
至少存在一点使得
因为:,则:在区间上单调递增,可知在区间上至多有一个零点,综上所述:在区间内有唯一的实数根
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