成人专升本高等数学一模拟试题之九答案.doc

模拟试题九
一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填写在题后的括号中）
1．当时，是的
A：高阶无穷小 B：低阶无穷小 C：同阶非等价无穷小 D：等价无穷小
答案：D
2．设在点处连续，则：等于
A： B： C： D：
答案：C
3．设，且存在，则：等于
A： B： C： D：
答案：B
4．曲线在点的切线方程为
A： B： C： D：
答案：D
5．设在点的某邻域内存在，且为的极大值，则：等于
A： B： C： D：
答案：C
6．设，则：等于
A： B： C： D：
答案：A
7．设，则：等于
A： B： C： D：
答案：B
8．设平面：与平面：，则：两个平面的关系是
A：平行但不重合 B：重合 C：垂直 D：不平行不垂直
答案：C
9．级数（）
A：绝对收敛 B：条件收敛 C：发散 D：收敛性与有关
答案：A
10．微分方程的通解为
A： B： C： D：
答案：B
二、填空题（每小题4分，共40分）
11．
解答：

12．设，则：
解答：
，所以：
13．函数的单调增区间
解答：
，解得：，所以：当时，该函数单调递增
14．
解答：

15．设，则：
解答：

16．
解答：

17．设是收敛的，则：的取值范围是
解答：
因为：是收敛的，
所以：存在
所以：
18．设平面：，则：过点且与垂直的直线方程为
解答：
因为直线与已知平面垂直，所以：直线的方向向量与平面的法向量平行，则：
因为：直线过点，所以：直线方程是
19．设，则：
解答：

20．微分方程的通解为
解答：
特征方程是，解得特征根为：
所以：微分方程的通解是
三、解答题
21．（本题满分8分）
设，求：
解答：

22．（本题满分8分）
计算：
解答：

23．（本题满分8分）
求：在条件下的条件极值
解答：
构造拉格郎日函数：
则：，令所有偏导数为零，解得：
所以：点为其最小值点，且最小值是
24．（本题满分8分）
求：的通解
解答：
特征方程是：，解得特征根是
所以：微分方程的通解是
25．（本题满分8分）
计算：
解答：

26．（本题满分10分）
计算：，其中区域由、、围成的在第一象限内的区域
解答：

27．（本题满分10分）
在曲线上求一点，使图中阴影部分面积、的面积之和最小
解答：

所以：
则：
令，即：，解得：或（舍）
，计算：，所以：为极小值点
此时最小，为，即：点坐标是

28．（本题满分10分）
证明： 在区间内有唯一的实数根
解答：
令，则：在区间上是连续函数
因为：，，
可知：函数在区间的两个端点处函数值异号，根据闭区间上连续函数的零点定理，有：
至少存在一点使得
因为：，则：在区间上单调递增，可知在区间上至多有一个零点，综上所述：在区间内有唯一的实数根