2019年高考数学试题北京文科数学.doc

2019·北京卷(文科数学)

1.A1[2019·北京卷] 已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B= (　　)
A.(-1,1) B.(1,2) C.(-1,+∞) D.(1,+∞)
1.C　[解析] ∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞).

2.L4[2019·北京卷] 已知复数z=2+i,则z·z= (　　)
A.3 B.5 C.3 D.5
2.D　[解析] ∵z=2+i,∴z·z=|z|2=22+12=5.

3.B3[2019·北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　)
A.y=x12 B.y=2-x C.y=log12x D.y=1x
3.A　[解析] 易知y=x12在区间(0,+∞)上单调递增,故选A.

4.L1[2019·北京卷] 执行如图1-1所示的程序框图,输出的s值为 (　　)

图1-1
A.1 B.2 C.3 D.4
4.B　[解析] 由程序框图可得,k=1,s=1,s=2×123×1-2=2,1≥3不成立,执行循环体;
k=2,s=2×223×2-2=2,2≥3不成立,执行循环体;
k=3,s=2×223×2-2=2,3≥3成立,结束循环,输出s=2.

5.H6[2019·北京卷] 已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5,则a= (　　)
A.6 B.4 C.2 D.12
5.D　[解析] 因为双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率为5,所以e=ca=a2+1a2=5,所以a2=14,所以a=12.

6.A2,B4[2019·北京卷] 设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.C　[解析] 若b=0,则f(x)=cos x,所以f(x)是偶函数;
若f(x)是偶函数,则cos(-x)+bsin(-x)=cos x+bsin x对x∈R恒成立,即bsin x=0对x∈R恒成立,所以b=0.
综上,“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.

7.B7[2019·北京卷] 在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lg E1E2,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 (　　)
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1
7.A　[解析] 若太阳的星等m1=-26.7,天狼星的星等m2=-1.45,则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25.因为m2-m1=52lgE1E2,所以lgE1E2=10.1,所以E1E2=1010.1.

8.C2,C6,C8[2019·北京卷] 如图1-2,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 (　　)

图1-2
A.4β+4cos β B.4β+4sin β
C.2β+2cos β D.2β+2sin β
8.B　[解析] 设圆的圆心为O,连接OA,OB,AB,设弦AB的中点为D,连接OD(如图所示).依题意得,圆O的半径R=2,由正弦定理知ABsinβ=2R,所以AB=4sin β.
因为∠AOB=2β,所以图中劣弧AB所对的弓形面积S弓形=S扇形AOB-S△AOB=12×2β×22-12×22sin 2β=4β-2sin 2β.
欲求阴影区域面积的最大值,只需求点P到弦AB的距离d的最大值.
因为OD=R2-(AB2) 2=22-(4sinβ2) 2=2cos β,d≤R+OD,
所以阴影区域面积的最大值为
S弓形+12AB·(R+OD)=4β-2sin 2β+12×4sin β·(2+2cos β)=4sin β+4β.

9.F2,F3[2019·北京卷] 已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　　. 
9.8　[解析] 因为a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,所以-4×6+3m=0,解得m=8.

10.E5[2019·北京卷] 若x,y满足x≤2,y≥-1,4x-3y+1≥0,则y-x的最小值为　　　　,最大值为　　　　. 
10.-3　1　[解析] 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分.

由x=2,4x-3y+1=0得x=2,y=3,即B(2,3).设k=y-x,当直线k=y-x经过点B(2,3)时,k取得最大值,即为1;当直线k=y-x经过点A(2,-1)时,k取得最小值,即为-3.所以y-x的最小值为-3,最大值为1.

11.H3,H4,H7[2019·北京卷] 设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为　　　　　　　. 
11.(x-1)2+y2=4　[解析] 因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为l:x=-1,所以焦点到准线的距离为2,所以所求圆的半径为2,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=4.

12.G2,G7[2019·北京卷] 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图1-3所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为　　　　. 

图1-3
12.40　[解析] 由三视图可得,该几何体是一个棱长为4的正方体割去一个底面为直角梯形的直四棱柱ABCD-EFGH后剩余的部分(如图所示),所以该几何体的体积为43-12×(2+4)×2×4=40.

13.G4,G5[2019·北京卷] 已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:
①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:　　　　　　　　　. 
13.若m∥α,l⊥α,则l⊥m(答案不唯一)　[解析] 若m∥α,且m⊄α,过直线m的平面β与平面α相交,记交线为n,由线面平行的性质定理,可得m∥n,又l⊥α,所以l⊥n,所以l⊥m.

14.E8[2019·北京卷] 李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元; 
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　. 
14.130　15　[解析] ①一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60+80=140(元),超过120元,所以顾客少付10元,即顾客需要支付130元.
②设促销前总价为T元,当T<120时,x=0,当T≥120时,x>0,
依题意得(T-x)×80%≥0.7T对T≥120恒成立,
所以x≤18T对T≥120恒成立,等价于当T≥120时,x≤18Tmin=18×120=15,所以x的最大值为15.

15.C5,C8[2019·北京卷] 在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.
(1)求b,c的值;
(2)求sin(B+C)的值.
15.解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得
b2=32+c2-2×3×c×-12.
因为b=c+2,
所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×-12,
解得c=5.
所以b=7.
(2)由cos B=-12得sin B=32.
由正弦定理得sin A=absin B=3314.
在△ABC中,B+C=π-A,
所以sin(B+C)=sin A=3314.

16.D2,D3,D5[2019·北京卷] 设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.
16.解:(1)设{an}的公差为d.
因为a1=-10,
所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.
因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,
所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),
所以(-2+2d)2=d(-4+3d),
解得d=2.
所以an=a1+(n-1)d=2n-12.
(2)由(1)知,an=2n-12.
所以,当n≥7时,an>0;当n≤6时,an≤0.
所以,Sn的最小值为S6=-30.

17.I1,I2,K2[2019·北京卷] 改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变,近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:

　　　　支付金额
支付方式　　　　
不大于2000元
大于2000元
仅使用A
27人
3人
仅使用B
24人
1人

(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数.
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率.
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.
17.解:(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30(人),仅使用B的学生有24+1=25(人),A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40(人),估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为40100×1000=400.
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2000元”,则P(C)=125=0.04.
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2000元”.
假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04.
答案示例1:可以认为有变化.理由如下:
P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.
答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:
事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化.

18.G4,G5[2019·北京卷] 如图1-4,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.

图1-4
(1)求证:BD⊥平面PAC.
(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE.
(3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.
18.解:(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又因为底面ABCD为菱形,
所以BD⊥AC,
所以BD⊥平面PAC.
(2)证明:因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,且E为CD的中点,
所以AE⊥CD,
所以AB⊥AE,
所以AE⊥平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PAE.
(3)棱PB上存在点F,使得CF∥平面PAE.
取F为PB的中点,取G为PA的中点,连接CF,FG,EG,
则FG∥AB,且FG=12AB.
因为底面ABCD为菱形,且E为CD的中点,
所以CE∥AB,且CE=12AB.
所以FG∥CE,且FG=CE,
所以四边形CEGF为平行四边形,
所以CF∥EG.
因为CF⊄平面PAE,EG⊂平面PAE,
所以CF∥平面PAE.

19.H1,H5[2019·北京卷] 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
19.解:(1)由题意得,b2=1,c=1,
所以a2=b2+c2=2.
所以椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则直线AP的方程为y=y1-1x1x+1.
令y=0,得点M的横坐标xM=-x1y1-1.
又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=x1kx1+t-1.
同理,|ON|=x2kx2+t-1.
由y=kx+t,x22+y2=1得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,
则x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2.
所以|OM|·|ON|=x1kx1+t-1·x2kx2+t-1
=x1x2k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2
=2t2-21+2k2k2·2t2-21+2k2+k(t-1)·-4kt1+2k2+(t-1)2
=21+t1-t.
又|OM|·|ON|=2,
所以21+t1-t=2,
解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).

20.B11,B12[2019·北京卷] 已知函数f(x)=14x3-x2+x.
(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;
(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x;
(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值.
20.解:(1)由f(x)=14x3-x2+x得f'(x)=34x2-2x+1.
令f'(x)=1,即34x2-2x+1=1,得x=0或x=83.
又f(0)=0,f83=827,
所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-827=x-83,
即y=x与y=x-6427.
(2)证明:令g(x)=f(x)-x,x∈[-2,4].
由g(x)=14x3-x2得g'(x)=34x2-2x.
令g'(x)=0得x=0或x=83.
当x变化时g'(x),g(x)的变化情况如下:

x
-2
(-2,0)
0
0,83
83
83,4
4
g'(x)

+
0
-
0
+

g(x)
-6
↗
0
↘
-6427
↗
0

所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.
故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x.
(3)由(2)知,
当a<-3时,M(a)≥F(0)=|g(0)-a|=-a>3;
当a>-3时,M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;
当a=-3时,M(a)=3.
综上,当M(a)最小时,a=-3.