高考数学专题复习函数与导数(理科)练习题.doc

高考数学专题复习 《函数与导数》 练习题

1．已知函数的图像过点和．
（1）求函数的解析式；
（2）记，是正整数，是数列的前项和，求满足　的值.

2．已知函数是定义在上的周期函数，5是的一个周期，函数　在上是奇函数，又知在区间上是一次函数，在区间上是二次函数，且在时函数取得最小值－5
（1）证明：；
（2）试求函数在上的解析式；
（3）试求函数在上的解析式.

3．我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元，乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时），每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
（1）设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为，试求和.
（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？

4．已知为正常数.
（1）可以证明：定理“若，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若在上恒成立，且函数的最大值大于1，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）；
（3）对满足（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值.试构造一个定义在上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以首项的等差数列.

5．设函数为实数），
（1）若且对任意实数均有成立，求表达式；
（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；
（3）设且为偶函数，求证：.

6．已知定义域为的函数同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若则有成立.解答下列各题：
（1）求的值；
（2）函数在区间上是否同时适合①②③？并予以证明；
（3）假定存在，使得且，求证.

7．对于函数，若存在，使成立，则称为的“滞点”？已知函数.
（1）试问有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；
（2）已知数列的各项均为负数，且满足，求数列的通项公式.

8．设函数的图像关于原点对称，的图像在点　处的切线的斜率为－6，且当时有极值.
（1）求的值；
（2）若，求证：.

9．已知函数.
（1）判定函数的单调性；
（2）设，证明：.

10．设函数定义域为，对于任意实数总有，且当时，
（1）求的值；
（2）证明：当时，；
（3）证明：在上单调递减，并举两个满足上述条件的函数；
（4）若且试求的取值范围.

参考答案
1．解：（1）由题意得： 解得：，；
（2），
∵为等差数列
∴
由得
∴
∵
∴．

2．解：（1）依题意有：
∴．
（2）设
和
由（1）知： ①
又 ②
由 ①②解得：，．
（3）

∵
∴当时，，
得：

3．解：（1）

（2）当时，由，得，∴，
当时，恒成立，
∴当时，，
当时，，
故当小张活动时间时选择甲家俱乐部合算；当时，选择乙家俱乐部合算．

4．解：（1）若，则（当且仅当时取等号）
（2）在（0，2）上恒成立，即
，∴即
又∵

∴ 即时，
∵，∴，
综上可知：，
∵为奇函数，∴时，有最小值．
故猜测和时，递减；时，递增．
（3）依题意，只须以4为周期即可，设，
，此时
即，

5．解：（1）∵，∴，由恒成立，知，
∴，从而，
∴
（2），∴或
∴或
（3）∵为偶函数，∴，故必有：在上递增．
∵ ∴，即，∴

6．解：（1）令，由①得，由③得，∴
∴．
（2）①②易证，若，，，
，故适合①②③．
（3）由③知：任给，时，，
，
若，则矛盾；
若，则矛盾；
故．

7．解：（1）由 得，∴有两个滞点0和2．
（2），∴ ①
②
②-①有：，
∴，
∵，∴，即是等差数列，且，
当时，有，∴，∴．

8．解：（1）依题意为奇函数，∴，∴
∵，，
∴， ∴．
（2），由，，
即递减，
∴当时，，，
∴，．

9．解：（1），
∴在时单调递减．
（2）由（1）知：，即：，
即：，∴，
而，∴．

10．解：（1）令， ，有．
（2）令，则，∴，
∵，∴．
（3）设，则，于是，
∴

∴，即单调递减，
例：，等．
（4）∵，
显然当时，，
当时，，
要使，必须 即，∴，
∴即可．

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